高中數(shù)學(xué) 第三章 指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù) 第5節(jié) 對數(shù)函數(shù)(第3課時)基礎(chǔ)知識素材 北師大版必修1(通用)

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1、5.3 對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì) 1.理解并掌握對數(shù)函數(shù)的概念,會畫對數(shù)函數(shù)的圖像. 2.根據(jù)圖像掌握對數(shù)函數(shù)的性質(zhì). 3.能利用對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)來比較大小、求定義域和值域、確定單調(diào)區(qū)間等. 對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì) 如下表所示: a>1 0<a<1 圖像 性質(zhì) (1)定義域:______ (1)定義域:______ (2)值域:______ (2)值域:______ (3)過定點______, 即當(dāng)x=1時,y=0 (3)過定點______, 即當(dāng)x=1時,y=0 (4)當(dāng)x>1時,y>0, 0<x<1時,y<0 (4)當(dāng)x>1時,y<

2、0, 0<x<1時,y>0 (5)是(0,+∞)上的______ (5)是(0,+∞)上的______ ①對數(shù)logax的符號(x>0,a>0,a≠1): 當(dāng)x<1,a<1或x>1,a>1時,logax>0,即當(dāng)真數(shù)x和底數(shù)a同大于(或小于)1時,對數(shù)logax>0,也就是為正數(shù),簡稱為“同正”; 當(dāng)x<1,a>1或x>1,a<1時,logax<0,即當(dāng)真數(shù)x和底數(shù)a中一個大于1,而另一個小于1時,也就是說真數(shù)x和底數(shù)a的取值范圍“相異”時,對數(shù)logax<0,即為負(fù)數(shù),簡稱為“異負(fù)”. 因此對數(shù)的符號簡稱為“同正異負(fù)”. ②助記口訣: 對數(shù)增減有思路,函

3、數(shù)圖像看底數(shù), 底數(shù)只能大于0,等于1來也不行. 底數(shù)若是大于1,圖像從下往上增, 底數(shù)0到1之間,圖像從上往下減. 無論函數(shù)增和減,圖像都過(1,0)點. 【做一做1-1】 函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)的圖像過定點( ). A.(1,1) B.(1,0) C.(0,1) D.(0,0) 【做一做1-2】 函數(shù)y=的定義域是( ). A.(3,+∞) B.[3,+∞) C.(4,+∞) D.[4,+∞) 【做一做1-3】 函數(shù)y=的值域是____

4、____. 答案:(1)(0,+∞) (1)(0,+∞) (2)R (2)R (3)(1,0) (3)(1,0) (5)增函數(shù) (5)減函數(shù) 【做一做1-1】 B 【做一做1-2】 D 使函數(shù)有意義,需log2x-2≥0, 即log2x≥2=log24,∴x≥4. 【做一做1-3】 [-2,+∞) ∵4x-x2≤4, ∴(4x-x2)≥4=-2. 1.函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)的底數(shù)變化對圖像位置有何影響? 剖析:觀察圖像,注意變化規(guī)律: (1)上下比較:在直線x=1的右側(cè),a>1時,a越大,圖像越靠近x軸,0<a<1時,a越小,圖像越靠近x軸. (2

5、)左右比較:(比較圖像與y=1的交點)交點的橫坐標(biāo)越大,對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大. 畫對數(shù)函數(shù)y=logax的圖像時,應(yīng)牢牢抓住三個關(guān)鍵點(a,1),(1,0),. 2.對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)有什么區(qū)別和聯(lián)系? 剖析:將對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)對比列成表,如下表所示: 名稱 指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù) 解析式 y=ax(a>0,a≠1) y=logax(a>0,a≠1) 定義域 (-∞,+∞) (0,+∞) 值域 (0,+∞) (-∞,+∞) 單調(diào)性 當(dāng)a>1時為增函數(shù),當(dāng)0<a<1時為減函數(shù) 函數(shù)值變化情況 當(dāng)a>1時: 若x>0,則y>1; 若x=0

6、,則y=1; 若x<0,則0<y<1 當(dāng)a>1時: 若x>1,則y>0; 若x=1,則y=0; 若0<x<1,則y<0 當(dāng)0<a<1時: 若x>0,則0<y<1; 若x=0,則y=1; 若x<0,則y>1 當(dāng)0<a<1時: 若x>1,則y<0; 若x=1,則y=0; 若0<x<1,則y>0 圖像 y=ax(a>0,a≠1)的圖像與y=logax(a>0,a≠1)的圖像關(guān)于直線y=x對稱 通過將對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行對比,可以發(fā)現(xiàn):當(dāng)a>1或0<a<1時,對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是一致的;定義域和值域恰好相反;對數(shù)函數(shù)的反函數(shù)是指數(shù)函數(shù),所以可以利用指數(shù)函

7、數(shù)的性質(zhì)來研究對數(shù)函數(shù).應(yīng)該注意到:這兩種函數(shù)都要求底數(shù)a>0,a≠1. 題型一 求定義域 【例1】 求函數(shù)f(x)=的定義域. 分析:x取值需使被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)且真數(shù)為正實數(shù). 反思:求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)定義域時,除遵循前面已學(xué)習(xí)過的求函數(shù)定義域的方法外,還要對這種函數(shù)自身有如下要求:(1)要特別注意真數(shù)大于零;(2)要注意對數(shù)的底數(shù);(3)按底數(shù)的取值應(yīng)用單調(diào)性,有針對性地解不等式. 題型二 比較大小 【例2】 比較下列各組中兩個值的大?。? (1)log31.9,log32; (2)log23,log0.32; (3)logaπ,loga3.141. 分析:(1

8、)構(gòu)造函數(shù)y=log3x,利用其單調(diào)性比較; (2)分別比較與0的大??; (3)分類討論底數(shù)a的取值范圍. 反思:比較兩個對數(shù)值大小的方法:①單調(diào)性法:當(dāng)?shù)讛?shù)相同時,構(gòu)造對數(shù)函數(shù)利用其單調(diào)性來比較大小,如本題(1);②中間量法:當(dāng)?shù)讛?shù)和真數(shù)都不相同時,通常借助常數(shù)(常用-1,0,1)為媒介間接比較大小,如本題(2);③分類討論:當(dāng)?shù)讛?shù)與1的大小關(guān)系不確定時,要對底數(shù)與1的大小分類討論,如本題(3). 題型三 對數(shù)函數(shù)的圖像 【例3】 作出函數(shù)y=log2|x+1|的圖像,由圖像指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并說明它的圖像可由y=log2x的圖像經(jīng)過怎樣變換而得到. 分析: 反思:(1

9、)掌握對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)的圖像. (2)由y=logax到y(tǒng)=loga(x+h)是平移變換,由y=logax到y(tǒng)=loga|x|是對稱變換,有對稱又有平移時,先對稱再平移. (3)圖像與性質(zhì)是對應(yīng)的,由圖像得性質(zhì)較直觀、形象. 題型四 求單調(diào)區(qū)間 【例4】 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間: (1)y=; (2)y=. 分析:復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷仍然用復(fù)合函數(shù)判斷法,即“同增異減”,但要考慮函數(shù)的定義域. 反思:有關(guān)對數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題,仍然用“同增異減”來處理,但要注意對數(shù)函數(shù)的定義域,即真數(shù)必須大于零. 答案:【例1】 解:要使函數(shù)有意義,需

10、有 即解得<x≤1. ∴函數(shù)f(x)的定義域為. 【例2】 解:(1)(單調(diào)性法)因為y=log3x在(0,+∞)上是增函數(shù),所以log31.9<log32. (2)(中間量法)因為log23>log21=0,log0.32<0, 所以log23>log0.32. (3)(分類討論)當(dāng)a>1時,函數(shù)y=logax在定義域上是增函數(shù),則有l(wèi)ogaπ>loga3.141; 當(dāng)0<a<1時,函數(shù)y=logax在定義域上是減函數(shù),則有l(wèi)ogaπ<loga3.141. 綜上所得,當(dāng)a>1時,logaπ>loga3.141; 當(dāng)0<a<1時,logaπ<loga3.141. 【例3】

11、解:作出函數(shù)y=log2x的圖像,將其關(guān)于y軸對稱得到圖像y=log2|x|的另一分支曲線.再將整個圖像向左平移1個單位長度就得到函數(shù)y=log2|x+1|的圖像.如圖所示. 由圖可得函數(shù)y=log2|x+1|的遞減區(qū)間為(-∞,-1),遞增區(qū)間為(-1,+∞). 【例4】 解:(1)令t=x2-2x-3,則y=在(0,+∞)上遞減. 而t=x2-2x-3在(-∞,1]上遞減,在[1,+∞)上遞增,但t=x2-2x-3>0, ∴x>3或x<-1. 故函數(shù)f(x)=(x2-2x-3)的遞增區(qū)間為(-∞,-1),遞減區(qū)間為(3,+∞). (2)令t= x,則t=x在(0,+∞)上遞

12、減,而y=t2-6t+2在(-∞,3]上遞減,在[3,+∞)上遞增, ∴t=≤3,即x≥時,y=()2-6+2遞增;當(dāng)t=≥3,即0<x≤時,函數(shù)遞減.故函數(shù)y=()2-6+2的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為. 1 (2020廣東高考,文2)函數(shù)f(x)=lg(x-1)的定義域是( ). A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.[1,+∞) D.[2,+∞) 2 已知函數(shù)f(x)=log(a+1)x是(0,+∞)上的增函數(shù),那么a的取值范圍是( ). A.(0,1) B.(1,+∞) C.(

13、-1,0) D.(0,+∞) 3 若函數(shù)y=f(x)是函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)的反函數(shù),且f(2)=1,則f(x)等于( ). A.log2x B. C. D.2x-2 4 (2020浙江臺州高一期末)設(shè)f(x)=則=__________. 5 比較loga2與loga3的大小(a>0,a≠1). 答案:1.B 由x-1>0,得x>1, 所以定義域為(1,+∞). 2.D 由題意得a+1>1,解得a>0. 3.A 由題意,知f(x)=logax,∵f(2)=1, ∴l(xiāng)oga2=1.∴a=2.∴f(x)=log2x.故選A. 4.0 , =f(0)=20-1=0. 5.解:設(shè)f(x)=logax, 當(dāng)0<a<1時,f(x)=logax是減函數(shù), 則f(2)>f(3),即loga2>loga3; 當(dāng)a>1時,f(x)=logax是增函數(shù), 則f(2)<f(3),即loga2<loga3. 綜上可得,當(dāng)0<a<1時,loga2>loga3; 當(dāng)a>1時,loga2<loga3.

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