（廣東專用）2020高考數(shù)學總復習第八章第九節(jié) 課時跟蹤訓練 理

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1、課時知能訓練 一、選擇題 1．(2020·清遠模擬)過點(0,1)作直線，使它與拋物線y2＝4x僅有一個公共點，這樣的直線有(　　) A．1條　　　　B．2條　　　　C．3條　　　　D．4條 【解析】　設過點(0,1)斜率為k的直線方程為y＝kx＋1. 由得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，(*) 當k＝0時，方程(*)只有一根， 當k≠0時，Δ＝(2k－4)2－4k2＝－16k＋16， 由Δ＝0，即－16k＋16＝0得k＝1， ∴k＝0，或k＝1時，直線與拋物線只有一個公共點， 又直線x＝0和拋物線只有一個公共點，故選C. 【答案】　C 2．直線y＝x＋1截拋物線y2

2、＝2px所得弦長為2，此拋物線方程為(　　) A．y2＝2x B．y2＝6x C．y2＝－2x或y2＝6x D．以上都不對 【解析】　由得x2＋(2－2p)x＋1＝0. x1＋x2＝2p－2，x1x2＝1. ∴2＝· ＝·. 解得p＝－1或p＝3， ∴拋物線方程為y2＝－2x或y2＝6x. 【答案】　C 3．雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，直線l過焦點F，且斜率為k，則直線l與雙曲線C的左、右兩支都相交的充要條件是(　　) A．k＞－ B．k＜ C．k＞或k＜－ D．－＜k＜ 【解析】　由雙曲線漸近線的幾何意

3、義知－＜k＜. 【答案】　D 4．斜率為1的直線l與橢圓＋y2＝1相交于A、B兩點，則|AB|的最大值為(　　) A．2 B. C. D. 【解析】　設橢圓與直線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點， 由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0. 則有x1＋x2＝－t，x1x2＝. ∴|AB|＝|x1－x2| ＝·＝， 當t＝0時，|AB|max＝. 【答案】　C 5．拋物線y＝2x2上兩點A(x1，y1)、B(x2，y2)關于直線y＝x＋m對稱，且x1·x2＝－，則m等于(　　) A. B．2 C. D．3 【解析】　k

4、AB＝＝－1，且y2－y1＝2(x－x)， 得x2＋x1＝－，又(，)在直線y＝x＋m上， ∴＝＋m，y2＋y1＝x2＋x1＋2m. 2(x＋x)＝x2＋x1＋2m， ∴2[(x2＋x1)2－2x2x1]＝x2＋x1＋2m,2m＝3，m＝. 【答案】　A 二、填空題 6．已知(4,2)是直線l被橢圓＋＝1所截得的線段的中點，則l的方程是________． 【解析】　設直線l與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)． 則＋＝1，且＋＝1， 兩式相減得＝－， 又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4， ∴＝－，故直線l的方程為y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0. 【答

5、案】　x＋2y－8＝0 7．直線y＝kx＋1與橢圓＋＝1恒有公共點，則m的取值范圍是________． 【解析】　直線y＝kx＋1過定點(0,1)，由題意，點(0,1)在橢圓內(nèi)或橢圓上． ∴m≥1，且m≠5. 【答案】　m≥1，且m≠5 8．(2020·惠州調(diào)研)已知點P在直線x＋y＋5＝0上，點Q在拋物線y2＝2x上，則|PQ|的最小值等于________． 【解析】　設直線l′平行于直線x＋y＋5＝0，且與拋物線相切，設l′：y＝－x＋m，由得y2＋2y－2m＝0， 由Δ＝4＋8m＝0得m＝－. 則兩直線距離d＝＝，即|PQ|min＝. 【答案】　 三、解答題 圖

6、8－9－3 9．如圖8－9－3，過橢圓＋＝1內(nèi)一點M(1,1)的弦AB. (1)若點M恰為弦AB的中點，求直線AB的方程； (2)求過點M的弦的中點的軌跡方程． 【解】　(1)設直線AB的斜率為k，則AB的方程可設為y－1＝k(x－1)， 由 消去y得(1＋4k2)x＋8k(1－k)x＋4(1－k)2－16＝0， 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝， 又M(1,1)是AB中點，則＝1. 綜上，得＝2，解得k＝－. ∴直線AB的方程為y－1＝－(x－1)， 即x＋4y－5＝0. (2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中點為P(x，y)，

7、則 由①－②得(－)·＝， 而x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y. ∴(－)·＝. 整理，得軌跡方程為x2＋4y2－x－4y＝0. 10．(2020·佛山模擬)已知橢圓P的中心O在坐標原點，焦點在x軸上，且經(jīng)過點A(0,2)，離心率為. (1)求橢圓P的方程； (2)是否存在過點E(0，－4)的直線l交橢圓P于點R，T，且滿足·＝.若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由． 【解】　(1)設橢圓P的方程為＋＝1(a＞b＞0)， 由題意得b＝2，e＝＝， ∴a＝2c，b2＝a2－c2＝3c2，c2＝4，c＝2，a＝4， ∴橢圓P的方程為＋＝1. (2)假設存在滿足題意

8、的直線l. 易知當直線l的斜率不存在時，·＜0不滿足題意． 故可設直線l的方程為y＝kx－4， R(x1，y1)，T(x2，y2)． ∵·＝，∴x1x2＋y1y2＝. 由，得(3＋4k2)x2－32kx＋16＝0， 由Δ＞0得，(－32k)2－4(3＋4k2)×16＞0， 解得k2＞.① ∴x1＋x2＝，x1x2＝， ∴y1y2＝(kx1－4)(kx2－4) ＝k2x1x2－4k(x1＋x2)＋16， 故x1x2＋y1y2＝＋－＋16＝， 解得k2＝1，② 由①②解得k＝±1， ∴直線l的方程為y＝±x－4. 故存在直線l：x＋y＋4＝0或x－y－4＝0滿足題意．

9、 11．(2020·青島模擬)已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，點F1、F2分別是橢圓的左、右焦點，在直線x＝(a、c分別為橢圓的長半軸和半焦距的長)上的點P(2，)，滿足線段PF1的中垂線過點F2.過原點O且斜率均存在的直線l1、l2互相垂直，且截橢圓所得的弦長分別為d1、d2. (1)求橢圓C的方程； (2)求d＋d的最小值及取得最小值時直線l1、l2的方程． 【解】　(1)設橢圓C的方程為＋＝1(a＞b＞0)， 依題意有|PF2|＝|F1F2|＝2c，所以 解得所以，b＝1，所求橢圓方程為＋y2＝1. (2)設kl1＝k，則kl2＝－， 直線l1：y＝kx與橢圓＋y2＝1，聯(lián)立得：x2＝， y2＝， 所以，d＝4(x2＋y2)＝＝4＋， 同理可得：d＝8－， 所以，d＋d＝12＋＝12－ ＝12－≥12－＝， 當且僅當2k2＝，即k＝±1時等號成立， ∴d＋d的最小值為，此時直線l1與l2的方程分別為y＝±x.