3、B|，|BF2|成等差數(shù)列，則|AB|的長為( )
A. B．1 C. D.
8．已知橢圓C1：＋＝1(a>b>0)與雙曲線C2：x2－＝1有公共的焦點，C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點．若C1恰好將線段AB三等分，則( )
A．a(chǎn)2＝13 B．a(chǎn)2＝ C．b2＝2 D．b2＝
9．已知焦點在x軸上的雙曲線的漸近線方程是y＝±4x，則該雙曲線的離心率為________．
10．短軸長為，離心率e＝的橢圓的兩焦點為F1，F(xiàn)2，過F1作直線交橢圓于A，B兩點，則△ABF2的周長為________．
11．F是拋物線x2＝2y的焦點，A，B是拋物線
4、上的兩點，|AF|＋|BF|＝6，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為________．
12．已知點F(1,0)，直線l：x＝－1，動點P到點F的距離等于它到直線l的距離．
(1)試判斷點P的軌跡C的形狀，并寫出其方程；
(2)是否存在過N(4,2)的直線m，使得直線m被截得的弦AB恰好被點N所平分？
13．已知離心率為的橢圓C1的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，拋物線C2：y2＝4mx(m>0)的焦點為F2，設(shè)橢圓C1與拋物線C2的一個交點為P(x′，y′)，|PF1|＝.
(1)求橢圓C1和拋物線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若過焦點F2的直線l與拋物線C2交于A，B兩點，問
5、在橢圓C1上且在直線l外是否存在一點M，使直線MA，MF2，MB的斜率依次成等差數(shù)列？若存在，請求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
圖15－1
14．設(shè)直線l：y＝k(x＋1)與橢圓x2＋3y2＝a2(a>0)相交于A，B兩個不同的點，與x軸相交于點C，記O為坐標(biāo)原點．
(1)證明：a2>；
(2)若＝2，求△OAB的面積取得最大值時的橢圓方程．
專題限時集訓(xùn)(十五)
【基礎(chǔ)演練】
1．C [解析] 拋物線的焦點坐標(biāo)為(3,0)，所以m2＋5＝9，解得m＝2，所以雙曲線的離心率為.
2．D [解析] 當(dāng)焦點在x軸上時，＝，解得m＝3；當(dāng)焦
6、點在y軸上時，＝，解得m＝.
3．B [解析] 方法1：根據(jù)已知得點M的軌跡方程為x2＋y2＝3，與雙曲線方程聯(lián)立消掉x得y2＝，解得|y|＝，即為點M到x軸的距離．
方法2：設(shè)||＝m，||＝n，由得m·n＝4，
由S△F1MF2＝m·n＝|F1F2|·d，解得d＝.故選B.
4．D [解析] 設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)．因為A，B兩點到直線x＝－2的距離之和等于5，所以x1＋2＋x2＋2＝5.所以x1＋x2＝1.由拋物線的定義得|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝3.而過拋物線焦點弦的最小值(當(dāng)弦AB⊥x軸時，是最小焦點弦)為4，所以不存在滿足條件的直線．
【提升訓(xùn)練】
7、5．D [解析] 設(shè)P(x0，y0)，則·＝－，化簡得
＋＝1，可以判斷＝，e＝＝＝.
6．A [解析] 根據(jù)·＝0，tan∠PF1F2＝2，可得△PF1F2為直角三角形且|PF2|＝2|PF1|，根據(jù)雙曲線定義得|PF2|－|PF1|＝2a，由此得|PF1|＝2a，|PF2|＝4a，根據(jù)勾股定理(2a)2＋(4a)2＝(2c)2，由此得＝5，即e＝.
7．C [解析] 根據(jù)橢圓定義|AF1|＋|AF2|＝2a＝2，|BF1|＋|BF2|＝2a＝2，兩式相加得|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4，即(|AF1|＋|BF1|)＋(|AF2|＋|BF2|)＝4，而|AF1|＋|
8、BF1|＝|AB|，|AF2|＋|BF2|＝2|AB|，所以3|AB|＝4，即|AB|＝.
8．D [解析] 因為橢圓C1：＋＝1(a>b>0)與雙曲線C2：x2－＝1有公共的焦點，所以c2＝5，a2＝b2＋5；取C2的一條漸近線l：y＝2x，設(shè)l與C1的交點為M，N，聯(lián)立得(4a2＋b2)x2－a2b2＝0，則|MN|＝·，
因為C1恰好將線段AB三等分，所以|MN|＝，所以＝＝，a2＝，b2＝.
9. [解析] 因為焦點在x軸上的雙曲線的漸近線方程是y＝±4x，所以b＝4a，c2＝17a2，e＝.
10．6 [解析] 由題知即解得
由橢圓的定義知△ABF2的周長為4a＝4×＝6.
9、
11. [解析] |AF|＋|BF|＝6，由拋物線的定義即|AD|＋|BE|＝6，又線段AB的中點到準(zhǔn)線的距離為(|AD|＋|BE|)＝3，拋物線的準(zhǔn)線為y＝－，所以線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為.
12．解：(1)因點P到點F的距離等于它到直線l的距離，所以點P的軌跡C是以F為焦點，直線x＝－1為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為y2＝4x.
(2)方法1：假設(shè)存在滿足題設(shè)的直線m.設(shè)直線m與軌跡C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
依題意，得
①當(dāng)直線m的斜率不存在時，不合題意．
②當(dāng)直線m的斜率存在時，設(shè)直線m的方程為y－2＝k(x－4)，
聯(lián)立方程組
消去y，得k2x2－
10、(8k2－4k＋4)x＋(2－4k)2＝0，(*)
∴x1＋x2＝＝8，解得k＝1.
此時，方程(*)為x2－8x＋4＝0，其判別式大于零，
∴存在滿足題設(shè)的直線m.
且直線m的方程為：y－2＝x－4，即x－y－2＝0.
方法2：假設(shè)存在滿足題設(shè)的直線m.設(shè)直線m與軌跡C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
依題意，得
易判斷直線m不可能垂直于y軸，
∴設(shè)直線m的方程為x－4＝a(y－2)，
聯(lián)立方程組
消去x，得y2－4ay＋8a－16＝0，
∵Δ＝16(a－1)2＋48>0，
∴直線與軌跡C必相交．
又y1＋y2＝4a＝4，∴a＝1.
∴存在滿足題設(shè)的直線m
11、，
且直線m的方程為：y－2＝x－4，即x－y－2＝0.
方法3：假設(shè)存在滿足題設(shè)的直線m.設(shè)直線m與軌跡C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
依題意，得
∵A(x1，y1)，B(x2，y2)在軌跡C上，
∴有將①－②，得y－y＝4(x1－x2)．
當(dāng)x1＝x2時，弦AB的中點不是N，不合題意，
∴＝＝1，即直線AB的斜率k＝1，
注意到點N在曲線C的張口內(nèi)(或：經(jīng)檢驗，直線m與軌跡C相交)，
∴存在滿足題設(shè)的直線m，且直線m的方程為：y－2＝x－4，即x－y－2＝0.
13．解：(1)由已知得：F2(m,0)，c＝m，a＝2m，則橢圓方程為：＋＝1，
∵|PF2|
12、＝4m－＝x′＋m，
∴x′＝3m－，∴y′2＝4m3m－，
∴＋＝1，
∴27m2－34m＋7＝0，
∵m>，∴m＝1，
∴橢圓C1的方程為：＋＝1，拋物線C2的方程為：y2＝4x.
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，設(shè)直線AB的方程為：x＝ny＋1，
kMA＋kMB＝＋＝2kMF2＝，
∴＝，
∴－(y1＋y2)(x0－1)2＋ny0(y1＋y2)(x0－1)＋2ny1y2(x0－1)＝2n2y0y1y2，
∴y2－4ny－4＝0，
∴y1＋y2＝4n，y1y2＝－4，
∴n(x0＋1)(x0－ny0－1)＝0，
∵直線AB不經(jīng)過點M，
13、∴x0－ny0－1≠0，
∴n＝0或x0＝－1，
當(dāng)n＝0時，橢圓上存在兩點M(－2,0)或M(2,0)符合條件；
當(dāng)n≠0時，則當(dāng)x0＝－1時，橢圓上存在兩點M－1，和M－1，－都符合條件．
14．解：(1)證明：依題意，直線l顯然不平行于坐標(biāo)軸，故y＝k(x＋1)可化為x＝y(tǒng)－1.
將x＝y(tǒng)－1代入x2＋3y2＝a2，消去x，得
y2－＋1－a2＝0，①
由直線l與橢圓相交于兩個不同的點，得
Δ＝－4(1－a2)>0，整理得a2>3，即
a2>.
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)由①，得y1＋y2＝，
因為＝2，得y1＝－2y2，代入上式，得y2＝.
于是，△OAB的面積S＝|OC|·|y1－y2|＝|y2|＝<＝.
上式取等號的條件是3k2＝1, 即k＝±.
由y2＝，可得y2＝±.
將k＝，y2＝－ 及k＝－，y2＝這兩組值分別代入①，均可解出a2＝5.
所以，△OAB的面積取得最大值時的橢圓方程是x2＋3y2＝5.
（浙江專用）2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時集訓(xùn)（十五） 理（解析版）
