高中物理 第1章 機械振動 第3節(jié) 單擺知識導航素材 魯科版選修3-4（通用）

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1、第3節(jié)單擺 思維繳活 在現代家庭中，經常見到落地鐘表、擺鐘等各種形式的機械鐘表，它們有著共同的部件——鐘擺.如圖1-3-1所示.不同類型的鐘擺雖然擺動的快慢不同，但都在做等幅振動，那么應該怎樣描述它們的運動呢？鐘擺計時的原理又是什么？ 圖1-3-1 提示：鐘擺計時是利用單擺做簡諧運動時的等時性原理. 自主整理 一、單擺的運動 1.單擺的理想化模型：一根不可伸長且___________的細線懸掛一__________的裝置，叫單擺. 2.單擺的運動特點：擺球以懸掛點為圓心，在豎直平面內沿著以為___________中點的一段圓弧做往復運動，它沿圓弧做___________圓

2、周運動. 3.單擺的回復力：如圖1-3-2所示，擺球受___________和___________兩個力作用，將重力沿切向和徑向分解，則繩子的___________和重力的___________的合力提供了擺球做圓周運動所需的向心力，而重力的___________提供了擺球振動所需的回復力F=___________，在擺角很小時，sinθ≈,F的方向可認為與x平行，但方向與位移方向相反，所以回復力可表示為___________，令k=___________,則___________. 圖1-3-2 由此可見，單擺在擺角較小的情況下的振動是___________. 二、單擺的周期

3、 1.單擺的周期公式：___________，它是荷蘭物理學家___________首先發(fā)現的. 2.周期公式的使用條件是擺角很小，一般取___________. 3.決定周期的因素：擺長l是指___________的距離，g是指___________.單擺做簡諧運動的周期只與l、g有關，與___________、___________無關，在一定地點___________，一定，一定___________的周期一定，利用單擺的等時性可制成計時器. 三、利用單擺測定重力加速度 1.測量原理：由單擺周期公式可得g=___________,測出___________和___________

4、，計算出當地的重力加速度g. 2.測量中應注意以下幾點： （1）小球擺動時，擺角應___________，且應在同一豎直面上擺動. （2）測定擺長l應從懸掛點到小球球心處，用___________懸線長，用___________測小球直徑. （3）計算單擺的振動次數時，應以擺球通過最低位置時開始計時，以后擺球從同一方向通過最低位置時計數. （4）用T=計算單擺的周期，但應適當增大單擺擺動的次數. （5）多測幾組l、T的數據，分別計算重力加速度，然后取平均值.也可以分別以l和T2為縱坐標和橫坐標，作出函數g=的圖象，理論上它是一條直線，這條直線的__________就等于當地的重力加

5、速度. 高手筆記 1.單擺在運動的過程中能量的轉化 如圖1-3-3所示，A→O,回復力做正功（重力做正功），重力勢能減小，動能增加，到O時，動能最大，勢能最小；O→A′，回復力做負功，動能減小，勢能增加，到達A′時，動能為零，勢能最大.同理分析A′→O,O→A過程中能量的轉化過程.在此過程中，因為只有重力做功，所以總機械能不變. 圖1-3-3 2.單擺的回復力 單擺振動的回復力是重力在切線方向的分力，或者說是擺球所受合外力在切線方向的分力；擺球所受合外力沿擺線方向的分力作為擺球做圓周運動的向心力.在擺球振動的平衡位置處擺球的回復力為零，合外力指向圓心，即合外力全部充當向心力，在

6、擺球偏離平衡位置最遠處，向心力為零，合外力全部充當回復力.所以單擺的回復力并不是單擺所受的合外力，而只是合外力沿切線方向的分力. 名師解惑 1.如何確定等效擺長和等效重力加速度？ 剖析：（1）等效擺長l：擺長l是指擺動圓弧的圓心到擺球重心的距離，而不一定是擺線的長. 例如，在圖1-3-4中，三根等長的繩l1、l2、l3共同系住一密度均勻的小球m，球直徑為d.l2、l3與天花板的夾角α＜30°.若擺球在紙面內做小角度的左右擺動，則擺動圓弧的圓心在O1處，故等效擺長為l1+，周期T1=2π;若擺球做垂直紙面的小角度擺動，則擺動圓弧的圓心在O處，故等效擺長為l1+l2sinα+，周期T2=2

7、π. 圖1-3-4 （2）等效加速度g:g不一定等于9.8 m/s2. g由單擺所在的空間位置決定.由g=G知，g隨所在地球表面的位置和高度的變化而變化，而且緯度越低，高度越高，g的值就越小，另外，在不同星球上g也不同. g還由單擺系統的運動狀態(tài)決定，如單擺處在向上加速的升降機中，設加速度為a，則擺球處于超重狀態(tài)，沿圓弧的切向分力變大，則重力加速度的等效值g′=g+a，若升降機加速下降，則g′=g-a.單擺若在軌道上運行的衛(wèi)星內，擺球完全失重，回復力為零，等效值g′=0,擺球不擺動了，周期無窮大. 一般情況下，g′值等于擺球相對于加速系統靜止在平衡位置時，擺球所受的張力與擺球質量

8、的比值. 2.在用單擺測重力加速度的實驗中，擺球為什么必須在豎直面內擺動？ 剖析：如圖1-3-5所示，用細線懸吊小球，使小球在水平面內做勻速圓周運動，即細線所掃過的面為圓錐面，通常我們稱為圓錐擺，實質上圓錐擺中的小球不是振動，是做勻速圓周運動. 圖1-3-5 設運動過程中細線與豎直方向夾角為θ，線長為l，則小球做圓周運動的半徑r=l·sinθ,向心力F向=mgtanθ 由F向=m·r·得圓錐擺的周期T=2π 顯然該周期小于單擺周期，所以在用單擺測重力加速度的實驗中，強調擺球必須在豎直面內擺動. 講練互動 【例題1】下列關于單擺的說法，正確的是（ ） A.單擺擺球從平

9、衡位置運動到正向最大位移處時的位移為A（A為振幅），從正向最大位移處運動到平衡位置時的位移為-A B.單擺擺球的回復力等于擺球所受的合外力 C.單擺擺球的回復力是擺球重力沿圓弧切線方向的分力 D.單擺擺球經過平衡位置時加速度為零 解析：簡諧運動中的位移是以平衡位置作為起點，擺球在正向最大位移處時位移為A，在平衡位置時位移應為零，故A錯.擺球的回復力是由合外力沿圓弧切線方向的分力（等于重力沿圓弧切線方向的分力）提供，故B錯，C對.擺球經過平衡位置時回復力為零，但向心力不為零，所以合外力不為零，加速度也就不為零，故D錯. 答案：C 黑色陷阱 本題易錯選為BCD，由于做簡諧運動時，彈簧

10、振子所受到的合外力是回復力，所以也把單擺所受的合外力當作回復力.解決本題時，分清單擺做簡諧運動的回復力與所受的合外力是解決本題的關鍵. 變式訓練 1．關于單擺，下列說法中正確的是（ ） A.擺球受到的回復力方向總是指向平衡位置 B.擺球受到的回復力是它的合外力 C.擺球經過平衡位置時，所受的合外力為零 D.擺角很小時，擺球受的合外力的大小跟擺球對平衡位置的位移大小成正比 解析：單擺的回復力不是它的合外力，而是重力沿圓弧方向的分力；當擺球運動到平衡位置時，回復力為零，但合外力不為零，因為小球還有向心力，方向指向懸點（即指向圓心）；另外擺球所受的合外力與位移大小不成正比. 答

11、案：A 2．關于單擺擺球在運動過程中的受力，下列結論正確的是（ ） A.擺球受重力、擺線的張力、回復力、向心力作用 B.擺球受的回復力最大時，向心力為零；回復力為零時，向心力最大 C.擺球受的回復力最大時，擺線中的張力大小比擺球的重力大 D.擺球受的向心力最大時，擺球的加速度方向沿擺球的運動方向 解析：單擺在運動過程中，擺球受重力和繩的拉力，故A錯.重力垂直于繩的分力提供回復力.當回復力最大時，擺球在最大位移處，速度為零，向心力為零，則拉力小于重力，在平衡位置處，回復力為零，速度最大，向心力最大，擺球的加速度方向沿繩指向懸點，故C、D錯，B對. 答案：B 【例題2】若單擺

12、的擺長不變，擺球的質量增加為原來的4倍，擺球經過平衡位置時的速度減小為原來的1/2，則單擺振動的（ ） A.頻率不變，振幅不變 B.頻率不變，振幅改變 C.頻率改變，振幅改變 D.頻率改變，振幅不變 解析：由單擺的周期公式T=2π,因l不變，故T不變，f=不變；當l一定時，單擺的振幅A取決于偏角θ，根據機械能守恒定律，擺球從最大位移處到平衡位置 mgl(1-cosθ)=mv2得v2=2gl(1-cosθ)，與m無關； 由擺球通過最低點的速度減小知單擺的偏角θ減小，所以振幅減小.所以正確選項為B. 答案：B 綠色

13、通道 按照定義，振幅A應為圖1-3-6中擺球在離平衡位置O最遠點P時弦的長度.因θ＜5°,故弦與弧幾乎重合，所以、以及的長度都可以看成是振幅（O′與P等高且在懸點正下方）.θ越大，振幅A越大. 圖1-3-6 變式訓練 3．一單擺的周期T0=2 s，則在下述情況下它的周期T是多少？ （1）擺長變?yōu)樵瓉淼?/4，T=____________s. （2）擺球質量減半，T=____________s. （3）振幅減半，T=____________s. 解析：由單擺的周期公式T=2π,T∝,所以l=l0,T==1 s;單擺的周期T與質量、振幅無關，所以T=T0=2 s. 答案：（1

14、）1 （2）2 （3）2 【例題3】有一單擺，其擺長l=1.02 m，擺球的質量m=0.10 kg，已知單擺做簡諧運動，單擺振動30次用的時間t=60.8 s，試求： （1）當地的重力加速度是多大？ （2）如果將這個擺改為秒擺，擺長應怎樣改變？改變多少？ 解析：由單擺的周期公式可求得g，秒擺是周期為2 s的單擺，根據T∝,可求出秒擺的擺長. （1）當單擺做簡諧運動時，其周期公式 T=2π，由此可得g=4π2l/T2,只要求出T值代入即可. 因為T=s=2.027 s 所以g=4π2l/T2=(4×3.142×1.02)/2.0272 m/s2=9.79 m/s2. （2）

15、秒擺的周期是2 s，設其擺長為l0，由于在同一地點重力加速度是不變的，根據單擺的振動規(guī)律有：, 故有：l0=m=0.993 m. 其擺長要縮短Δl=l-l0=1.02 m-0.993 m=0.027 m. 答案：(1)9.79 m/s(2)其擺長要縮短0.027 m. 綠色通道 單擺的周期公式T=2π是在當單擺做簡諧運動的條件下才適用的.改變單擺的擺長能改變單擺的周期，同一單擺在重力加速度不同的兩地周期也不相同.單擺的周期與單擺的振幅無關，與擺球的質量也無關，另外根據周期公式的變形式g=還可以測重力加速度. 變式訓練 4．一個單擺，在第一個行星上的周期為T1，在第二個行星上的周期

16、為T2，若這兩個行星的質量之比M1∶M2=4∶1,半徑之比R1∶R2=2∶1,則（ ） A.T1∶T2=1∶1 B.T1∶T2=4∶1 C.T1∶T2=2∶1 D.T1∶T2=1∶2 解析：單擺的周期公式為T=2π,同一單擺即有T∝.又據萬有引力定律mg=G,有g=，因此T∝,故T1∶T2== =1∶2. 答案：D 5．某同學要利用單擺測定重力加速度,但因無游標卡尺而沒有辦法測定擺球直徑,他將擺球用不可伸長的細線懸掛起來后,改變擺線的長度測了兩次周期,從而算出了重力加速度,則計算重力加速度的公式是（ ） A. B

17、. C. D. 解析：設擺球重心到球與擺線連接點距離為d,兩次測得擺線長分別為l1和l2，對應周期為T1和T2. 則有g=,g=.兩式聯立可得g=. 答案：B 體驗探究 【問題1】利用單擺測定重力加速度實驗中產生誤差的原因是什么？應如何糾正？ 導思：由實驗原理g=結合實際操作去分析. 探究：（1）擺長l的誤差：測擺長時應是擺線的懸點到球心的距離，除了測量中刻度尺測量所帶來的誤差外，懸點的松緊，線的彈性大小也會造成誤差.這時可選用形變量小的細繩，且在懸點處把繩子系緊，避免松動，掛上擺球，使繩在張緊過程中測量. （2）周期T的誤差：記清擺球過平衡位置的次數n

18、，時間t,則周期應為T=,為減小誤差，n應在30次~50次之間. （3）擺角的選取.在理論上，當單擺的擺角小于5°時擺球做簡諧運動，而在實際中，擺角小于5°的單擺，其運動細節(jié)很難觀察，且實際中阻力的存在，使擺幅越來越小，給測量帶來困難.這時可在擺角為15°以內的情況下研究單擺的運動，此時由于角度而引起的相對誤差為0.5%左右，這在中學物理實驗中是允許的. （4）在擺球做振動時，釋放擺球時不要用力，且注意擺球與懸點在同一豎直面內，否則擺球在擺動中會做圓錐擺運動. 【問題2】利用所學知識探究擺鐘快慢的原因. 導思：擺鐘是單擺做簡諧運動的一個典型應用，其快慢不同是由擺鐘的周期變化引起的.

19、探究：（1）由擺鐘的機械構造所決定，鐘擺每完成一次全振動，擺鐘所顯示的時間為一定值，也就是走時準確的擺鐘的周期T. （2）在擺鐘機械構造不變的前提下，走時快的擺鐘，在給定時間內全振動的次數多，周期小，鐘面上顯示的時間快.走時慢的擺鐘，給定時間內全振動的次數少，周期大，鐘面上顯示的時間就慢.因鐘面顯示的時間總等于擺動次數乘以準確擺鐘的周期TS，即t顯=N·TS,所以在同一時間t內，鐘面指示時間之比等于擺動次數之比. （3）無論擺鐘走時是否準確，鐘面上顯示的時間t顯=N·TS，其中TS為走時準確的擺鐘的周期，N為全振動的次數.對于走時不準確的擺鐘，要計算其全振動的次數，不能用鐘面上顯示的時間除以其周期，而應以準確時間除以其周期，即N非=t/T非. 教材鏈接 【討論與交流】(課本13頁) 可用沙擺畫出單擺的振動圖象.如圖1-3-7所示，當盛沙漏斗下面的薄木板N被勻速地拉出時，擺動著的漏斗中漏出的沙在板上形成曲線，顯示出擺的位移隨時間變化的關系，板上直線OO1代表時間軸. 圖1-3-7 【實驗與探究】測重力加速度課本15頁 測單擺的擺長時，可用米尺測出懸點到小球最下端的長度l0，用游標卡尺測出小球的直徑，則單擺的擺長為l=l0.