2021高考數(shù)學導學練系列 推理與證明教案 蘇教版

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1、用心愛心專心- 1 -推理與證明推理與證明（一）（一）合情推理與演繹推理1了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，了解合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用。2了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理。3了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異。（二）（二）直接證明與間接證明1了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點。2了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過程、特點。（三）（三）數(shù)學歸納法了解數(shù)學歸納法的原理，能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題.1 1推理與證明的內容是高考的新增內容，主要以選擇填空的形式出

2、現(xiàn)。2 2推理與證明與數(shù)列、幾何、等有關內容綜合在一起的綜合試題多。第第 1 1 課時課時合情推理與演繹推理合情推理與演繹推理1.1. 推理一般包括合情推理和演繹推理；2.2.合情推理包括和；歸納推理：從個別事實中推演出，這樣的推理通常稱為歸納推理；歸納推理的思維過程是：、.類比推理：根據兩個（或兩類）對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其它方面也或，這樣的推理稱為類比推理，類比推理的思維過程是：、.3.3.演繹推理：演繹推理是，按照嚴格的邏輯法則得到的推理過程；三段論常用格式為：M 是 P，S 是 P；其中是，它提供了一個個一般性原理；是，它指出了一個個特殊對象；是，它根據一般原理，

3、對特殊情況作出的判斷.4.4.合情推理是根據已有的事實和正確的結論（包括定義、公理、定理等） 、實驗和實踐的結果，以及個人的經驗和直覺等推測某些結果的推理過程，歸納和類比是合情推理常用的思維方法；在解決問題的過程中，合情推理具有猜測和發(fā)現(xiàn)結論、探索和提供思路的作用，有得于創(chuàng)新意識的培養(yǎng)。演繹推理是根據已有的事實和正確的結論，按照嚴格的邏輯法則得到的新結論基礎過關基礎過關考綱導讀考綱導讀高考導航高考導航用心愛心專心- 2 -的推理過程例例 1.1. 已知：23150sin90sin30sin222；23125sin65sin5sin222通過觀察上述兩等式的規(guī)律，請你寫出一般性的命題：_=23（

4、 * ）并給出（ * ）式的證明.解：解：一般形式:23)120(sin)60(sinsin222證明：左邊 =2)2402cos(12)1202cos(122cos1=)2402cos()1202cos(2cos2123=240cos2cos120sin2sin120cos2cos2cos2123240sin2sin=2sin232cos212sin232cos212cos2123=右邊23（將一般形式寫成2223sin (60 )sinsin (60 ),22223sin (240 )sin (120 )sin2等均正確。 ）變式訓練 1：設)()(,cos)(010 xfxfxxf，21

5、( )( ),fxfx1( )( )nnfxfx，nN，則)(2008xf解：解：xcos，由歸納推理可知其周期是 4例例 2.2. 在平面上，我們如果用一條直線去截正方形的一個角，那么截下的一個直角三角形，按圖所標邊長，由勾股定理有：.222bac設想正方形換成正方體，把截線換成如圖的截面，這時從正方體上截下三條側棱兩兩垂直的三棱錐 OLMN，如果用321,sss表示三個側面面積，4s表示截面面積，那么你類比得到的結論是.典型例題典型例題用心愛心專心- 3 -解：解：24232221SSSS。變式訓練變式訓練 2 2：在ABC 中，若C=90，AC=b,BC=a，則ABC 的外接圓的半徑22

6、2bar，把上面的結論推廣到空間，寫出相類似的結論。答案：答案：本題是“由平面向空間類比” ?？紤]到平面中的圖形是一個直角三角形，所以在空間中我們可以選取有 3 個面兩兩垂直的四面體來考慮。取空間中有三條側棱兩兩垂直的四面體 ABCD，且 AB=a，AC=b，AD=c，則此三棱錐的外接球的半徑是2222cbar。例例 3 3. . 請你把不等式“若21,aa是正實數(shù)，則有21122221aaaaaa”推廣到一般情形，并證明你的結論。答案：答案： 推廣的結論：若naaa,21都是正數(shù)，nnnnaaaaaaaaaaa211212322221證明：證明： naaa,21都是正數(shù)122212aaaa，

7、211222aaaa，1212nnnnaaaa，nnaaaa2112nnnnaaaaaaaaaaa211212322221變式訓練變式訓練 3 3： 觀察式子：474131211 ,3531211 ,23211222222， ， 則可歸納出式子為 （）A、121131211222nnB、121131211222nnC、nnn12131211222D、122131211222nnn答案：答案：C。解析：用 n=2 代入選項判斷。例例 4 4. . 有一段演繹推理是這樣的： “直線平行于平面,則平行于平面內所有直線；已知直線b 平面，直線a平面，直線b平面，則直線b直線a”的結論顯然是錯誤的，這是

8、因為（）A.大前提錯誤B.小前提錯誤C.推理形式錯誤D.非以上錯誤答案：答案：A。解析：直線平行于平面,并不平行于平面內所有直線。變式訓練變式訓練 4 4：“AC,BD 是菱形 ABCD 的對角線，AC,BD 互相垂直且平分。 ”補充以上推理的用心愛心專心- 4 -大前提是。答案：答案：菱形對角線互相垂直且平分第第 2 2 課時課時直接證明與間接證明直接證明與間接證明1.1.直接證明：直接從原命題的條件逐步推得結論成立,這種證明方法叫直接證明；直接證明的兩種基本方法分析法和綜合法 綜合法 ；分析法 ；2.2. 間接證明：間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法，反證法是一種常用的間接證明方法；

9、反證法即從開始，經過正確的推理，說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法（歸謬法）.例例 1 1若cba,均為實數(shù)，且62,32,22222xzczybyxa。求證：cba,中至少有一個大于 0。答案答案： （用反證法）假設cba,都不大于 0，即0, 0, 0cba，則有0cba，而3)632() 1() 1() 1()62()32()22(222222zyxxzzyyxcba=3) 1() 1() 1(222zyx222) 1( ,) 1( ,) 1(zyx均大于或等于 0，03 ，0cba，這與假設0cba矛盾，故cba,中至少有一個大于 0。變式訓練變式訓練 1 1

10、： 用反證法證明命題 “abNba, 可以被 5 整除， 那么ba,中至少有一個能被 5 整除。 ”那么假設的內容是答案：答案：a,b 中沒有一個能被 5 整除。解析： “至少有 n 個”的否定是“最多有 n-1 個” 。例例 2.2. ABC 的三個內角 A、B、C 成等差數(shù)列，求證：cbacbba311。答案：答案：證明：要證cbacbba311，即需證3cbcbabacba。即證1cbabac。又需證)()()(cbbabaacbc，需證222bacac典型例題典型例題基礎過關基礎過關用心愛心專心- 5 -ABC 三個內角 A、B、C 成等差數(shù)列。B=60。由余弦定理，有60cos222

11、2caacb，即acacb222。222bacac成立，命題得證。變式訓練變式訓練 2 2：用分析法證明：若a0，則212122aaaa。答案：答案：證明：要證212122aaaa，只需證212122aaaa。a0，兩邊均大于零，因此只需證2222)21()21(aaaa只需證)1(222211441222222aaaaaaaa，只需證)1(22122aaaa，只需證)21(2112222aaaa，即證2122aa，它顯然成立。原不等式成立。例例 3 3已知數(shù)列 na，0na，01a，)(12121Nnaaannn記nnaaaS21)1 ()1)(1 (1)1)(1 (11121211nnaa

12、aaaaT求證：求證：當 Nn時，（1）1nnaa；（2）2 nSn；（3）3nT。解解： （1）證明：用數(shù)學歸納法證明當1n 時，因為2a是方程210 xx 的正根，所以12aa假設當*()nk kN時，1kkaa，因為221kkaa222211(1)(1)kkkkaaaa2121()(1)kkkkaaaa，所以12kkaa即當1nk時，1nnaa也成立用心愛心專心- 6 -根據和，可知1nnaa對任何*nN都成立（2 2）證明：）證明：由22111kkkaaa ，121kn， ， ，（2n） ，得22231()(1)nnaaaana因為10a ，所以21nnSna 由1nnaa及22111

13、21nnnaaa 得1na ，所以2nSn（3 3）證明：）證明：由221112kkkkaaaa ，得111(2 313)12kkkaknnaa， ， ， 所以23421(3)(1)(1)(1)2nnnaaaaaa，于是2222232211(3)(1)(1)(1)2()22nnnnnnaanaaaaa，故當3n時，2111 1322nnT ，又因為123TTT，所以3nT 用心愛心專心- 7 -推理與證明章節(jié)測試題推理與證明章節(jié)測試題1.考察下列一組不等式：,5252522233,5252523344,525252322355.將上述不等式在左右兩端仍為兩項和的情況下加以推廣， 使以上的不等式

14、成為推廣不等式的特例，則推廣的不等式可以是.2已知數(shù)列 na滿足12a ，111nnnaaa（*nN） ，則3a的值為，1232007a aaa的值為3. 已知2 ( )(1),(1)1( )2f xf xff x*xN（），猜想(f x）的表達式為（）A.4( )22xf x ；B.2( )1f xx；C.1( )1f xx；D.2( )21f xx.4. 某紡織廠的一個車間有技術工人m名（mN） ，編號分別為 1、2、3、m，有n臺（nN）織布機，編號分別為 1、2、3、n，定義記號i ja：若第i名工人操作了第j號織布機，規(guī)定1i ja，否則0i ja，則等式41424343naaaa的

15、實際意義是（）A、第 4 名工人操作了 3 臺織布機；B、第 4 名工人操作了n臺織布機；C、第 3 名工人操作了 4 臺織布機；D、第 3 名工人操作了n臺織布機.5. 已知*111()1()23fnnNn ，計算得3(2)2f，(4)2f，5(8)2f，(16)3f，7(32)2f，由此推測：當2n 時，有6. 觀察下圖中各正方形圖案，每條邊上有(2)n n 個圓圈，每個圖案中圓圈的總數(shù)是nS，按此規(guī)律推出：當2n 時，nS與n的關系式24nS38nS412nS7.觀察下式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，則可得出一般結論：.8.函

16、數(shù)( )f x由下表定義：x25314( )f x12345用心愛心專心- 8 -若05a ，1()nnaf a，0,1,2,n ，則2007a9.在一次珠寶展覽會上,某商家展出一套珠寶首飾,第一件首飾是1顆珠寶, 第二件首飾是由6顆珠寶構成如圖 1 所示的正六邊形, 第三件首飾是由 15 顆珠寶構成如圖 2 所示的正六邊形,第四件首飾是由 28 顆珠寶構成如圖 3 所示的正六邊形, 第五件首飾是由 45 顆珠寶構成如圖 4所示的正六邊形, 以后每件首飾都在前一件上,按照這種規(guī)律增加一定數(shù)量的珠寶,使它構成更大的正六邊形,依此推斷第 6 件首飾上應有_顆珠寶;則前n件首飾所用珠寶總數(shù)為_顆.(

17、結果用n表示)10.將正奇數(shù)按下表排成 5 列第 1 列第 2 列第 3 列第 4 列第 5 列第 1 行1357第 2 行1513119第 3 行171921232725那么 2020 應該在第行，第列。11如右上圖，一個小朋友按如圖所示的規(guī)則練習數(shù)數(shù)，1 大拇指，2 食指，3 中指，4 無名指，5 小指，6 無名指，.，一直數(shù)到 2020 時，對應的指頭是(填指頭的名稱).12.在數(shù)列 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，中，第 25 項為_13觀察下列的圖形中小正方形的個數(shù)，則第n個圖中有個小正方形.圖 1圖 2圖 3圖 4用心愛心專心- 9 -14同樣規(guī)格的黑、白兩色正方形瓷磚鋪設

18、的若干圖案，則按此規(guī)律第n個圖案中需用黑色瓷磚_塊 （用含n的代數(shù)式表示）15.如圖所示，面積為S的平面凸四邊形的第i條邊的邊長記為1,2,3,4ia i ，此四邊形內任一點P到第i條邊的距離記為1,2,3,4ih i ，若31241234aaaak，則.412iiSihk類比以上性質,體積為V的三棱錐的第i個面的面積記為1,2,3,4iS i , 此三棱錐內任一點Q到第i個面的距離記為1,2,3,4iHi ,若31241234SSSSK,則41iiiH(B)A.4VKB.3VKC.2VKD.VK16.設O是ABC內一點，ABC三邊上的高分別為,ABChhh， O到三邊的距離依次為, ,abc

19、l l l，則abcABClllhhh_ _，類比到空間，O 是四面體 ABCD 內一點，四頂點到對面的距離分別為,ABCDhhhh，O 到這四個面的距離依次為, , ,abcdl l l l，則有_17在Rt ABC中，兩直角邊分別為a、b，設h為斜邊上的高，則222111hab，由此類比：三棱錐SABC中的三條側棱SA、SB、SC兩兩垂直，且長度分別為a、b、c，設棱錐底面ABC上的高為h，則18、若數(shù)列 na是等差數(shù)列，對于)(121nnaaanb，則數(shù)列 nb也是等差數(shù)列。類比上述性質，若數(shù)列 nc是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，對于0nd，則nd=時，數(shù)列nd也是等比數(shù)列。19已知ABC三

20、邊a，b，c的長都是整數(shù)，且abc ，如果bm（mN*N*） ，則這樣的三角形共有個（用m表示） 用心愛心專心- 10 -20如圖的三角形數(shù)陣中，滿足： （1）第 1 行的數(shù)為 1； （2）第 n（n2)行首尾兩數(shù)均為 n，其余的數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)相加則第 n 行(n2)中第 2 個數(shù)是_（用 n 表示）.122343477451114115616252516621在ABC 中，CBCBAcoscossinsinsin，判斷ABC 的形狀并證明.22 已知a、b、c是互不相等的非零實數(shù).若用反證法證明三個方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0 至少有一個

21、方程有兩個相異實根.應假設23.ABC中，已知Babsin323 ，且CAcoscos，求證：ABC為等邊三角形。24如圖，),(111yxP、),(222yxP、),(nnnyxP)0(21nyyy是曲線C：)0(32yxy上的n個點，點)0 ,(iiaA（ni3 , 2 , 1）在x軸的正半軸上，且iiiPAA1是正三角形（0A是坐標原點） （1）寫出1a、2a、3a；（2）求出點)0 ,(nnaA（nN）的橫坐標na關于n的表達式并證明.用心愛心專心- 11 -推理與證明章節(jié)測試題答案推理與證明章節(jié)測試題答案1.*( ,0, ,)nnmkkmaba ba ba bmkn m n kN31

22、,323. B.4. A5.*21(2 )()2nnfnN6.22(2)nn7.2*(1)(32)(21) ,nnnnnN8.49.*(1)(41)6n nnnN10.251,312食指12.在數(shù)列 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，中，第 25 項為_7_132322nn1448n15、B 提示:平面面積法類比到空間體積法16 1.提示：平面面積法類比到空間體積法17 22221111habc18、*12,nnc cc nN提示：等差數(shù)列類比到等比數(shù)列，算術平均數(shù))(121nnaaanb類比到幾何平均數(shù)*12,nnndc cc nN19(1)2m m 20222nn21解:CBACBC

23、BA,coscossinsinsin)sin()sin(cossincossinCBCACABA0cos)sin(sincossincossinABCABAC用心愛心專心- 12 -20cos, 0sinsinAABC所以三角形 ABC 是直角三角形22 三個方程中都沒有兩個相異實根證明：假設三個方程中都沒有兩個相異實根，則1=4b24ac0，2=4c24ab0，3=4a24bc0.相加有a22ab+b2+b22bc+c2+c22ac+a20，（ab）2+（bc）2+（ca）20.由題意a、b、c互不相等，式不能成立.假設不成立，即三個方程中至少有一個方程有兩個相異實根.方法總結：方法總結：反

24、證法步驟假設結論不成立推出矛盾假設不成立. .凡是“至少” 、 “唯一”或含有否定詞的命題適宜用反證法. .23.解: 分析：由32,323sinsinsin32sin3sin323AABABBab由CACA coscosBCA3所以ABC為等邊三角形24.如圖，),(111yxP、),(222yxP、),(nnnyxP)0(21nyyy是曲線C：)0(32yxy上的n個點，點)0 ,(iiaA（ni3 , 2 , 1）在x軸的正半軸上，且iiiPAA1是正三角形（0A是坐標原點） （1）寫出1a、2a、3a；（2）求出點)0 ,(nnaA（nN）的橫坐標na關于n的表達式并證明.解解: :（

25、）;12, 6, 2321aaa.6 分（2）依題意，得23,211nnnnnnaayaax，由此及nnxy 32得)(23)23(121nnnnaaaa，即)(2)(121nnnnaaaa用心愛心專心- 13 -由（）可猜想：)(),1(Nnnnan下面用數(shù)學歸納法予以證明：（1）當1n 時，命題顯然成立；（2）假定當nk時命題成立，即有(1)nak k，則當1nk時，由歸納假設及211()2()kkkkaaaa得211(1)2 (1)kkak kk ka，即2211()2(1) (1) (1)(2)0kkakkak kkk，解之得1(1)(2)kakk（1(1)kkak ka不合題意，舍去） ，即當1nk時，命題成立由（1） 、 （2）知：命題成立.10 分