高三數學第一篇四 數列刺 第2講 數列求和及簡單應用 文

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1、第第2 2講數列求和及簡單應用講數列求和及簡單應用考情分析考情分析總綱目錄考點一 集合的概念及運算考點二 充分、必要條件的判斷（高頻考點）考點三 命題真假的判斷與否定考點一 數列的遞推公式1.數列通項an與前n項和Sn的關系,an= 11(1),(2).nnS nSSn2.應用an與Sn的關系式f(an,Sn)=0時,應特別注意n=1時的情況,防止產生錯誤.典型例題典型例題(1)(2017山西太原模擬)已知數列an中,a1=-1,an+1=2an+3n-1(nN*),則其前n項和Sn= .(2)(2017安徽合肥質量檢測(二)已知數列an中,a1=2,且=4(an+1-an)(nN*),則其前

2、9項和S9= .答案答案(1)2n+2-4-(2)1 02221nnaa(37)2nn解析解析(1)因為an+1=2an+3n-1,所以an+1+3(n+1)+2=2(an+3n+2),所以數列an+3n+2是首項為4,公比為2的等比數列,所以an+3n+2=2n+1,所以an=2n+1-3n-2,所以數列an的前n項和Sn=2n+2-4-.(2)由已知,得=4anan+1-4,即-4anan+1+4=(an+1-2an)2=0,所以an+1=2an,所以數列an是首項為2,公比為2的等比數列,故S9=210-2=1 022.(37)2nn21na2na21na2na92 (1 2 )1 21

3、.由遞推公式求通項公式的三種類型(1)形如an+1=an+f(n)的數列,常用累加法,即利用an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)求通項公式.(2)形如an+1=anf(n),常可采用疊乘法,即利用恒等式an=a1求通項公式.(3)形如an+1=ban+d(其中b,d為常數,b0,1)的數列,常用構造法.其基本思路是:構造an+1+x=b(an+x),則an+x是公比為b的等比數列,利用它可求出an.21aa32aa1nnaa1dxb其中方法歸納方法歸納2.由Sn與an的關系式求通項公式當已知數列an的一個含有an,Sn的等式時,往往根據升冪或降冪的方法得到一個新的等式

4、,然后兩個等式相減,從而把前n項和轉化為數列的通項之間的關系,再根據這個關系求解數列的通項.跟蹤集訓1.(2017山西四校聯考)已知數列an滿足an+1=若a1=,則a2 017=()A. B. C. D. 12,0,2121,1.2nnnnaaaa35152535451.答案 C因為a1=,所以根據題意得a2 =,a3=,a4=,a5=,所以數列an是以4為周期的數列,又2 017=5044+1,所以a2 017=a1=,故選C.3515254535352.(2017湖北七市(州)聯考)數列an滿足an+1+(-1)nan=n+1,則an的前40項的和為 .2.答案440解析當n=1時,a2

5、-a1=2,當n=2時,a3+a2=3,當n=3時,a4-a3=4,當n=4時,a5+a4=5,由-得a3+a1=1,由+得a4+a2=7,當n=5時,a6-a5=6,當n=6時,a7+a6=7,當n=7時,a8-a7=8,當n=8時,a9+a8=9,由-得a7+a5=1,由+得a8+a6=15,類似可得a11+a9=1,a39+a37=1,a12+a10=23,即a4k+2+a4k+4(kN)構成一個首項為7,公差為8的等差數列,S40=(a1+a3+a5+a7+a37+a39)+(a2+a4+a6+a8+a38+a40)=110+710+8=440.10 (10 1)2考點二 求數列的前n

6、項和數列求和的常用方法(1)倒序相加法如果一個數列an的前n項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數,那么求這個數列的前n項和即可用倒序相加法,如等差數列的前n項和就是用此法推導的.(2)錯位相減法如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的,那么這個數列的前n項和即可用此法來求,如等比數列的前n項和就是用此法推導的.(3)裂項相消法把數列的每一項拆成兩項之差,在求和時中間的一些項可以相互抵消,從而求得其和.(4)分組轉化法一個數列的通項公式是由若干個等差數列或等比數列或可求和的數列組成,則求和時可用分組轉化法,分別求和后再相加減.(5)并項求和法一個數列的前

7、n項和可兩兩結合求解,則稱為并項求和.形如an=(-1)nf(n)類型,可采用并項求和.典型例題(2017山東,19,12分)已知an是各項均為正數的等比數列,且a1+a2=6,a1a2=a3.(1)求數列an的通項公式;(2)bn為各項非零的等差數列,其前n項和為Sn.已知S2n+1=bnbn+1,求數列的前n項和Tn.解析(1)設an的公比為q,由題意知:a1(1+q)=6,q=a1q2,又an0,解得a1=2,q=2,所以an=2n.(2)由題意知,S2n+1=(2n+1)bn+1,nnba21a121(21)()2nnbb又S2n+1=bnbn+1,bn+10,所以bn=2n+1.令c

8、n=,則cn=.因此Tn=c1+c2+cn=+,又Tn=+,兩式相減得Tn=+-,所以Tn=5- .nnba212nn322523721212nn212nn12232352472212nn1212nn123221111222n1212nn252nn方法歸納1.利用裂項相消法求和的注意事項(1)抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項,也有可能前面剩兩項,后面也剩兩項;或者前面剩幾項,后面也剩幾項;(2)裂項相消求和法是數列求和的重要方法之一,其基本形式為:若an是等差數列且an0,則+=.121a a231a a11nna a11nna a2.用錯位相減法求和時應注意的兩點(1)要善于識別題目類型

9、,特別是等比數列公比為負數的數列;(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”,以便下一步準確寫出“Sn-qSn”的表達式.跟蹤集訓1.(2017廣西三市聯考)已知等比數列an的前n項和為Sn,且6Sn=3n+1+a(nN*).(1)求a的值及數列an的通項公式;(2)若bn=(1-an)log3(an+1),求數列 的前n項和Tn.2na1nb1.解析(1)6Sn=3n+1+a(nN*),當n=1時,6S1=6a1=9+a,當n2時,6an=6(Sn-Sn-1)=23n,即an=3n-1,an是等比數列,a1=1,則9+a=6,得a=-3,數列an的通項公式為an=

10、3n-1(nN*).(2)由(1)得bn=(1-an)log3(an+1)=(3n+1)(3n-2),Tn=+=+=.2na11b21b1nb11 41471(32)(31)nn131111114473231nn31nn2.(2017安徽合肥質量檢測(一)已知等差數列an的前n項和為Sn,且滿足S4=24,S7=63.(1)求數列an的通項公式;(2)若bn=+(-1)nan,求數列bn的前n項和Tn.2na2.解析(1)設an的公差為d,則an=2n+1.(2)bn=+(-1)nan=22n+1+(-1)n(2n+1)=24n+(-1)n(2n+1),Tn=2(41+42+4n)+-3+5-

11、7+9-+(-1)n(2n+1)=+Gn.當n=2k(kN*)時,Gn=2=n,Tn=+n;當n=2k-1(kN*)時,Gn=2 -(2n+1)=-n-2,Tn=-n-2,41714 3424,27 67632SadSad13,2ad2na8(41)3n2n8(41)3n12n8(41)3nTn= n*n*8(41)(2 ,N ),38(41)2(21,N ).3n nk knnkk考點三 數列中的最值問題1.求解數列中的最大(小)項的常用方法(1)根據數列與函數之間的對應關系,構造相應的函數f(n)=an,利用求函數最值的方法進行求解,但要注意自變量的取值必須是正整數的限制條件;(2)利用數

12、列的單調性求解,利用不等式an+1an(或an+1an)求解出n的取值范圍,從而確定數列的單調性,進而確定相應的最值.2.求解Sn最值的方法(1)利用前n項和公式,求出數列的前n項和Sn,根據相應函數最值的求解思路進行求解;(2)利用數列的通項an,將其轉化為不等式組的求解問題:若則Sm最大;若則Sm最小.10,0,mmaa10,0,mmaa典型例題(1)若數列bn的通項公式為bn=-+13,則數列bn中的最大項的項數為()A.2或3 B.3或4C.3 D.4(2)(2017河南洛陽第一次統考)等比數列an的首項為,公比為-,前n項和為Sn,則當nN*時,Sn-的最大值與最小值之和為()A.-

13、 B.-C. D.12nn32121nS237121456答案(1)B(2)C解析(1)解法一:由bnbn-1,可得-+13-+13,整理得-1+,即n2-n-120,解得-3nbn-1,即數列bn單調遞增,當n4時,bnbn+1,即數列bn單調遞減,又b3=b4=6,所以數列bn的最大項的項數為3或4,故選B.解法二:設數列bn的第n項最大.由12nn12(1)1nn12n121n11,nnnnbbbb即整理得即解得n=3或n=4.又b3=b4=6,所以當n=3或n=4時,bn取得最大值,故選B.(2)依題意得,Sn=1-.1212(1)1313,1121213(1)13,1nnnnnnnn

14、 12121,112121,1nnnn22120,120,nnnn31122112n 12n當n為奇數時,Sn=1+隨著n的增大而減小,1Sn=1+S1=,Sn- 隨著Sn的增大而增大,0Sn-;當n為偶數時,Sn=1-隨著n的增大而增大,=S2Sn=1-1,Sn-隨著Sn的增大而增大,-Sn-0),則f (x)=x(3x-20),令f (x)=0,解得x=(x=0舍去),當x時, f(x)單調遞減,當x時, f(x)單調遞增.所以當x=時, f(x)取得極小值.取n=6,得f(6)=-48,取n=7,得f(7)=-49,故nSn的最小值為-49.專題五立體幾何103103231(1)2n nnad32103nn32103xx13203200,320,3203