2019-2020年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題復(fù)習(xí) 第二篇 平面幾何 第17章 幾何不等式與極值問(wèn)題試題 新人教版

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1、2019-2020年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題復(fù)習(xí)第二篇平面幾何第17章幾 何不等式與極值問(wèn)題試題新人教版 17.1.1*—個(gè)凸行邊形的內(nèi)角中，恰好有4個(gè)鈍角，求的最大值. 解析考慮這個(gè)凸行邊形的個(gè)外角，有個(gè)角，故有（嚴(yán)格小于是由于4個(gè)鈍角的外角和大于），因此，的最大值是7．易構(gòu)造這樣的例子。 如果恰好有個(gè)鈍角，則的最大值是. 17.1.2*在中，，為邊的高上的一點(diǎn)，求證：. A C 解析易知又 故有． 評(píng)注讀者不妨考慮是角平分線與中線的情況． 17.1.3已知四邊形，、交于，和的面積分別為3、12，求四邊形面積的最小值 解析易知，故S-S=S-S=36. △A

2、BO△CDO△ADO△BCO 從而S+S飛=12， △ABO△CDO△ABO△CDO 且當(dāng)（此時(shí)四邊形為一梯形）時(shí)等號(hào)成立，所以此時(shí)四邊形面積達(dá)到最小值27. 17.1.4*已知：直角三角形中，斜邊上的高. （1）求證：； （2）求. 解析 =BC2+h2+2BC-h-AB2-AC2-2AB-AC， 由條件，知2BC-h=4S=2AB-AC，且， △ABC 于是（BC+h）2-（AB+AC）2=h2=36. 注意：這同時(shí)解決了（1）和（2）. 17.1.5*設(shè)矩形，，動(dòng)點(diǎn)、分別在、上，且，求面積的最小值. E 解析設(shè),貝yS+S+S=-「7x+10y+(10—

3、x)(7-y)1=-(70+xy)。 △ABF△ADE△ECF22 由。故 S三70—-x(70+4)=33. △AEF2 當(dāng)時(shí)達(dá)到最小值． 17.1.6* 設(shè)是定角內(nèi) 面積最小時(shí)，為的中點(diǎn)． 解析如圖，連結(jié)，設(shè)，，，由 ，得 AM-AP-sina+AN-AP-sinp=AM-ANsin0。 又左式三2AP?、.；AM-AN三sina-sinP, 12AP2sinasinP 故S=AM-AN-sin02△AMN2sin0 達(dá)到最小值時(shí)，須，故為之中點(diǎn). 17.1.7*正三角形的邊長(zhǎng)為1,、分別在、、上，，求的最大面積。 解析如圖，設(shè)，，，貝，，，。 S+

4、S+S △APN△BPM△MNC (1—z)+y(1—x)+z(1—y)]sin60° 于是問(wèn)題變?yōu)榍髕(1—z)+y(1—x)+z(1—y)的 最小值，展開(kāi)后約去，即求的最大值． 由不等式xy+yz+zxW丄(x+y+z)2=知，當(dāng)時(shí)，S=S=S=S,此時(shí)的 33△APN△BPM△MNC9△ABC 面積達(dá)到最大值。 17.1.8*設(shè)是邊長(zhǎng)為l的正三角形，過(guò)頂點(diǎn)引直線，頂點(diǎn)、到的距離記為、，求的最大 值． 解析如圖，若穿過(guò)，則由“直角邊小于斜邊”知，取到等號(hào)時(shí)僅當(dāng). 若不經(jīng)過(guò)，取中點(diǎn)，作，在上，則，取到等號(hào)僅當(dāng). 綜上所述，的最大值為。 17.1.9在數(shù)1

5、、、、、、、、、、中，若任找三個(gè)數(shù)能組成三角形的三邊，則稱(chēng)這三個(gè)數(shù)是“好搭檔”，則總共有多少組“好搭檔”？ 解析此題可分類(lèi)討論。 顯然1不可能為邊． 由于，故，，，，，中任三數(shù)可構(gòu)成三角形的三邊，一共有組。當(dāng)最大邊為時(shí)，次大邊只能為，最小邊為或，有2組。當(dāng)最大邊為時(shí)，次大邊為或．次大邊為時(shí)，最小邊，故可取；次大邊為時(shí)，最小邊，可取與共有8組． 當(dāng)最大邊為時(shí)，次大邊為、、．次大邊為時(shí)，最小邊，可取；次大邊為時(shí)，最小邊，可??；次大邊為時(shí)，最小邊，可取 和。共有11組。 綜上所述，總共有41組． 17.1.10*設(shè),、是上的兩個(gè)定點(diǎn)，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)當(dāng)在什么位置時(shí)，最小？

6、解析如圖，設(shè)，，，不妨設(shè)。則 故PA2+PB2=2x2—(a+b)x+a2+b2 (a+b)2 +a2+b2一 8 顯然當(dāng)時(shí)，最小。 評(píng)注容易驗(yàn)證，此時(shí)為的中點(diǎn)在上的射影 17.1.11*設(shè)直角中，，求證：解析如圖，作關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連結(jié)、，則 取等號(hào)僅當(dāng)為等腰直角三角形。 17.1.12*是的邊上一點(diǎn)，為的內(nèi)心，是的內(nèi)心，是的中點(diǎn)，求證：. 解析如圖，連結(jié)、、、，則，，又，故，于是結(jié)論成立。 C 評(píng)注三角形某邊上的中線分別大于、等于、小于該邊的充要條件是該邊所對(duì)內(nèi)角為銳角、直角或鈍角，這是一個(gè)常見(jiàn)的結(jié)論． 17.1.13**已知凸六邊形中，， 求證：

7、. E 解析如圖，作、、，于是出現(xiàn)三組全等三角形。這樣便有 2(S-S)+S=S， △ACE△PQR△PQR六邊形ABCDEF 即S=-(S+S) △ACE2六邊形ABCDEF△PQR 同理有. 評(píng)注不破除對(duì)稱(chēng)性，此題就比較復(fù)雜（當(dāng)然不是所有的題目都能帶給你好運(yùn)）．另外，用這種方法還能證明. 17.1.14**已知矩形，，是上一點(diǎn)，、延長(zhǎng)后交于，直線垂直于，交于，若為中點(diǎn)，求.又條件同上，若的長(zhǎng)度不固定，求的最小值． 解析如圖，設(shè)，由s,得，代入得。 又S,得,。 由，得，或， 解得。 若長(zhǎng)度不固定，設(shè)其為，，，故由得，或，由得?？扇〉淖钚≈凳牵藭r(shí)

8、為中點(diǎn)。 17.1.15**設(shè)為的內(nèi)心，是內(nèi)部的一點(diǎn)，滿(mǎn)足ZPBA+ZPCA=/PBC+ZPCB. 求證：，并說(shuō)明等號(hào)成立的充分必要條件是. 解析易知 ZPBC+ZPCB=-（ZB+ZC）=ZIBC+ZICB， 2 因此. 故、、、四點(diǎn)共圓，即點(diǎn)在的外接圓上。記的外接圓為，則的中心為的的中點(diǎn)，即為的平分線與的交點(diǎn)。 在中，有 AP+PM2AM=AI+IM=AI+PM， 故. 等號(hào)成立的充分必要條件是點(diǎn)位于線段上，即. 17.1.16**延長(zhǎng)一凸四邊形形的四邊和對(duì)角線，得六條直線，任兩條直線有一個(gè)不大于的 夾角（這些線無(wú)兩條平行），求這些夾角中最小的一個(gè)的最大值

9、． 解析如圖，標(biāo)好各角，則Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=4+Z2+ZACB+ZABC=180。, 故總有一角，當(dāng)為正三角形，、時(shí)最小角達(dá)到最大值 17.1.17**凸四邊形中，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，若，求證： BMC 解析如圖，連結(jié)、，易知 S+-S=S=-S △ AMP4△BDC四邊形AMCP2四邊形ABCD 又， S=-AM-APsin上MAP △ AMP2 弓AM'AP* (AM+AP)2 8 因此 丄S<丄S+1a2, 2四邊形ABCD4四邊形ABCD8 即 17.1.18*★★在三角形中，，，.是平面上任意一

10、點(diǎn)，求的最小值. 解析因?yàn)? 面來(lái)求． 延長(zhǎng)至，使得，連結(jié)，則 ZD=ZDCA=-ABAC=上ABC, 2 所以s,故，所以，即，故. 所以，所求的最小值為． 17.1.19**在銳角三角形中，求證： 解析當(dāng)時(shí)，顯然有．下面不妨設(shè)． A 在上取點(diǎn)，使．作角平分線、高，則垂直平分．又作于，與交于，則 ACFFGCGFHCD 2sin==+>+=cosB+cosC. 2ACFAACFAAC 17.1.20**中，點(diǎn)為之中點(diǎn)，點(diǎn)、分別在、上，求證： 解析如圖，連結(jié)、，則由，得 BDC 而，故S+S

11、F△BCF△CEF△ABC△AEF 17.1.21**設(shè)、、為三角形三邊長(zhǎng)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)、、，有 a2(x-y)(x-z)+b2(y-z)(y-x). 解析設(shè)，，則， 原式=a2p(p+q)-b2qp+c2(p+q)q =a2p2+(a2-b2+c2)pq+c2q2=f(p).它的判別式△=(a2-b2+c2)2q2-4a2c2q2 =[(a+c)2-b2][(a-c)2-b2]q2于是． 17.1.22*已知圖中窗框總材料一定，問(wèn)何時(shí)窗的面積最大？（圖中6個(gè)矩形全等） 解析設(shè)，，則總材料為（為常數(shù)），面積為．于是，代入，得． 這個(gè)二次函數(shù)在時(shí)取到極大值，此時(shí)、均有實(shí)

12、際意義．取得窗的最大面積為． 17.1.23**和都是邊長(zhǎng)為1的正方形，且.兩個(gè)正方形重疊部分的面積為，求兩個(gè)正方形中心距離的最小值． 解析如圖，設(shè)的中心為，的中心為，過(guò)、分別作，，、交于．又設(shè)兩正方形重疊部分為矩形，，，則，，同理， 所以 =(x+y)2-2(x+y)+2-2-— 16 所以，．當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立．故所求的最小值為． 17.1.24**在銳角的邊、上各有一動(dòng)點(diǎn)、、求證：的周長(zhǎng)達(dá)到最小當(dāng)且僅當(dāng)、為的三條高． 解析如圖，設(shè)關(guān)于、的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為、，與交于，與交于，則的周長(zhǎng)=GF+FE+EHGHMNsiAnDE2BAC B D C H 這里為的高

13、，為的外接圓半徑．又由對(duì)稱(chēng)性，除了外，、也分別必須垂直于、時(shí)方能達(dá)到． 17.1.25**直角三角形內(nèi)切圓半徑為1,求其面積的最小值. 解析設(shè)該直角三角形直角邊長(zhǎng)為、，則易知其內(nèi)切圓半徑為，整理，得，或 ab=2a+2b—2三4-ab—2，此即. 由于每條直角邊均大于內(nèi)切圓直徑2,故,于是,直角三角形最小面積為,此時(shí)該三角形為等腰直角三角形. 17.1.26**梯形高為，上底，對(duì)角線交于，求用、表示與面積之和的最小值. 解析如圖，作與、垂直，垂足分別是、.設(shè)，則，，解得，，于是 S+S=1旦+1?旦=1d.竺空. △apd△BCP2a+x2a+x2a+x 設(shè)，則有解，

14、故，即，即，的最小值為，故最小面積為．此時(shí)． 17.1.27**設(shè)是的邊的中點(diǎn),、分別在邊、上，，試比較與的大小關(guān)系.解析如圖，延長(zhǎng)至使，由，知今，故. 又垂直平分，故，易見(jiàn)，所以. 17.1.28**—凸六邊形每條邊長(zhǎng)均為1,求證：、、中至少有一個(gè). 解析如圖，由于ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=720。，不妨設(shè)，作菱形，則，，則是最小邊，，又，故. E 17.1.29**在正內(nèi)，是一動(dòng)點(diǎn)，求以在三邊上的射影為頂點(diǎn)的三角形面積的最大值.解析如圖，內(nèi)一點(diǎn)在、、的射影分別為、、，則 A S=S+S+S △DEF△EPF△FPD△DPE =1(PD-PE

15、+PE-PF+PF-PD)sinl20 沖(PD?PE+PE?PF+PF?PD) 由熟知的不等式，及為常數(shù)(的高)，得 S △DEF 12 (PD+PE+PF)2 等式成立，僅當(dāng)，此時(shí)為的中心． 17.1.30**證明：四邊形四邊的平方和不小于對(duì)角線的平方和，等號(hào)成立僅當(dāng)該四邊形為平行四邊形時(shí)． 解析如圖，設(shè)中點(diǎn)為，由中線長(zhǎng)公式知 又由基本不等式，有 2(AE2+CE2)三(AE+CE)2三AC2,故用中線長(zhǎng)公式代入，即得四邊形四邊平方和的不等式． 等號(hào)成立時(shí)、、共線，且為中點(diǎn)，即、互相平分，于是四邊形為一平行四邊形． 評(píng)注又由托勒密不等式AD-BC+

16、AB-CD三AC-BD,知有 (AD+BC)2+(AB+CD)2三(AC+BD)2，等號(hào)成立僅當(dāng)四邊形為矩形. 17.1.31**設(shè)面積為1的銳角三條邊分別是、、動(dòng)點(diǎn)在上，在上的射影是，求面積的最大值(用、、表示). 解析如圖，作于.因?yàn)?常數(shù))，于是 當(dāng)，即或時(shí)，可為中點(diǎn)，此時(shí)，從而可得最大值為 2 A?S 88cosC A2 1.BQ-PQ=1-BC2tanC=A2SinC =△ABC= 4bcosC2(a2+B2-c2) 當(dāng)，即時(shí)，．當(dāng)落在上，達(dá)到最小，達(dá)到最大．此時(shí)的最大值為 C2.廠廠C廠A2+C2一b2 S △ABR sinBcosB二一co

17、sB=— 2A2A2 17.1.32**設(shè)為定線段上一定點(diǎn)，為動(dòng)點(diǎn)，的長(zhǎng)度固定，求之最大值. 解析由斯圖沃特定理PA2.BD+PB2.AD=AD?BD?AB+PD2?AB,注意等式右端為定值. 又由柯西不等式(或展開(kāi)后移項(xiàng)配方)有 (11) ——+——(PA2?BD+PB2?AD)三(PA+PB)2,(BDAD丿 故 W(AD?BD?AB+PD2?AB) BD?AD ， 于是的最大值是，此時(shí)，為的平分線． 17.1.33**直角三角形的直角頂點(diǎn)在直角三角形的斜邊上，而在的斜邊上，如、、分別等于10、15、12、12，求凸四邊形之面積的最大值． 解析如圖，由四邊形面

18、積公式，知 S=S+SW1AC?DE+」EF?BC=150. 四邊形ABFD四邊形AECD四邊形EBFC22 D B 取等號(hào)須，．此時(shí)若將點(diǎn)位于中點(diǎn)，則由、的值易知在平分線上，垂直平分，垂直平分，進(jìn)而由、之值可知在上，滿(mǎn)足要求．所以的最大值為． 17.1.34**凸四邊形一內(nèi)點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離分別是1、2、3、4,求這樣的四邊形的最大面積． 解析設(shè)凸四邊形內(nèi)有一點(diǎn), 2,3,4}, S=S+S+S+S 四邊形ABCD△ABP△BCP△CDP△DAP W1PA-PB+-PB-PC+1PC-PD+1PD-PA 2222 125 W—(PA+PC+PB+PD)2=

19、-. 82 等號(hào)成立,必須,比如,,,,且、、共線,、、共線,,此時(shí),,取最大值． 17.1.35**面積為1的三角形中，三條邊長(zhǎng)、、滿(mǎn)足，求的最小值. 解析如圖，過(guò)作直線,又作于，延長(zhǎng)一倍至，連結(jié).則a+b=AC+CD2AD=,c2+(2h)2.這里． 顯然有c2+4h2三2"2-4h2=4ch=8，于是. 僅當(dāng)、、共線，即，且時(shí)取等號(hào)，此時(shí)為等腰直角三角形. 17.1.36**三角形兩邊長(zhǎng)分別等于10和15,證明：這兩個(gè)邊的夾角的角平分線小于12.解析如圖，不妨設(shè)，，為角平分線.今在上取一點(diǎn)，使，則易知 EDBDAB153 ， AC~BC~AB+AC一25飛

20、 故，又由知，于是． 顯然12是最佳上界． 17.1.37**正三角形邊長(zhǎng)為1,、分別在、、上(含頂點(diǎn))，AP+AN=BP+BM=MC+CN,求的最大周長(zhǎng)和最小周長(zhǎng)． 解析如圖，易知AP+AN=BP+BM=MC+CN=1. 由等知的周長(zhǎng),達(dá)到最大值時(shí)、、分別落在的三個(gè)頂點(diǎn)上． 又作的平分線,、分別與垂直于、，由于，1=AP+AN=2PT+2SNW2PN，故，取等號(hào)時(shí),且、是、的中點(diǎn)，同理有，，故的周長(zhǎng)，取等號(hào)僅當(dāng)、、為各邊之中點(diǎn)時(shí). 17.1.38**已知面積為的梯形滿(mǎn)足，為邊上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，直線、、交出的三角形面積為.當(dāng)最大時(shí)，求. 解析如圖，設(shè)與交于，與交于，則

21、. 設(shè)，，，即，，又設(shè),，貝y,解出，即t=s=丄二x=(y-x)xT.于是要達(dá)到最大, △dmny+x2(x+y)2(x+y)2 k一111(2S+1一2S、21 即達(dá)最大，其中?令，則丄L=S-2S2=1?2S?(1-2S)W-?2S+12S=丄，僅當(dāng)時(shí)(k+1)222{2丿8 達(dá)到最大，此時(shí). 17.1.39**已知的邊、上分別有點(diǎn)、，在上，求證：并求等號(hào)成立的條件. 解析如圖，連結(jié)、.設(shè)，，，貝 S △ EFC S △ ABC 同理 △AFC S △ADC 1 △ABCk ~△DFB S △ABC 一1+k 1 ?3 1+k 3

22、 SSS △EFC△-AFC△ADC SSS 于是 S?Sk △EFC△DFB=1 S2(1+k)2 △ABC1 A C 11 1+k1+k 23k 2—. 1+k 2 kk1111 23X—X—=- (1+k)2(1+k)244464 23 開(kāi)方即得結(jié)論．取等號(hào)時(shí)，即是中位線，為中點(diǎn)． 17.1.40**已知中，，于，的平分線交于，交于，是的中點(diǎn)，連結(jié)，設(shè)、、的周長(zhǎng)分別為、、求 的最大值． 解析易知ZCFB=90。--ZABC=ABED=ZCEF，可得，則平分，而 2 (CF￥ BF丿 ZECF=90?！?BCD=ZABC，所以ZF

23、CG=AECG=ACBF=/ABF，可推得ss.因此，設(shè)，因?yàn)?，，所? BE=1-2?GF=1-2? BFBF 因此， C+C —12 C 3 CCCFBE=-1+2=+— CCBFBF33 (1、2 =x+(1—2x2)=—2x—— I4丿 99 +8氣，所以，當(dāng)，即時(shí), 有最大值. 17.1.41**、是的中線，且，設(shè)， （1）求之長(zhǎng)（用、表示）； （2）若存在，求的范圍． 解析（1）設(shè)交于，則為的重心，故，，設(shè)，，因、、為直角三角形，于是有 E 1 x2+4y2=b2,① 4 1 y2+4X2=c2

24、,② 4 4x2+4y2=BC2.③ 由①+②得 由③得 即 (2)如果存在，則于是有 1 c+b>5(b2+c2), c-b<5<5(b2+c2).(c>b>0) 1 從而< (c+b)2>(b2+c2),④ 1 (c-b)2<(b2+c2).⑤ 不等式④恒成立；由不等式⑤得:解之得由于，結(jié)合不等式⑤的解，得:所以，當(dāng)時(shí)，存在． 17.1.42**中，點(diǎn)、、分別在、、上，求證: min(S,S,S)W1S △AFE△BFD△CED4△ABC 并求等號(hào)成立的條件． 解析 如圖 SS △A■△ SS △A△ S—△ S △B AF?AEB

25、F-BD AB-ACAB?BC C CD?CEAF?BFBD?CDCE?EA B=—F-D? BC?CAAB2BCAC2 ABC DC 2 AB 易知，僅當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，同理，，于是記min(S,S,S)=S，則 △AFE△BFD△CED S3SSS1 W△AFE△BFD△DCEW S3SSS64 △ABC△ABC△ABC△ABC 所以，取等號(hào)時(shí)僅當(dāng)、、為各邊中點(diǎn)． 17.1.43***已知：銳角中，角平分線、中線、高交于一點(diǎn)，證明:. 解析如圖，若，則由于，得，故，． 作邊上的中線

26、，交于，易知在內(nèi)，于是，故在直角三角形中，矛盾，于是． 17.1.44★★★證明托勒密定理和托勒密不等式：對(duì)于凸四邊形AB-CD+AD-BC三AC-BD，等號(hào)成立僅當(dāng)、、、共圓. 解析如圖，今在或延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，在或延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，使，連結(jié)、． 易知S,故，同理,，又S,故 MN=BD- AM AD BDAC2 ADAB 由于，上幾式代入，得 BDAC2 ADAB WBC- 些+CD- AB AC AD 去分母，即得托勒密不等式．等式成立的條件是、共線，此時(shí) /ABC+ZADC=ZACM+ZACN=180。，即、、、共圓． C 17.1.45

27、***邊長(zhǎng)為1的正方形內(nèi)部或邊界上有個(gè)點(diǎn)，則必有兩點(diǎn)距離,. 解析如圖，先說(shuō)明一個(gè)結(jié)果：中為角平分線，是的反向延長(zhǎng)，則由，得， 先考慮的情形，假定、、三點(diǎn)在正方形（邊長(zhǎng)1）內(nèi)或邊上．若在內(nèi)，則可用角平分線反向延長(zhǎng)，交到正方形某邊或頂點(diǎn)為，這樣的每邊都不小于的相應(yīng)邊．于是、、三點(diǎn)最終都被“調(diào)”到正方形的邊或頂點(diǎn)上．再通過(guò)平移，必能使某點(diǎn)落在正方形的頂點(diǎn)上，其余點(diǎn)若在正方形內(nèi)，再按上述辦法繼續(xù)調(diào)，最終三個(gè)頂點(diǎn)都落在正方形邊界上，且其中至少有一個(gè)點(diǎn)的正方形的頂點(diǎn)． 不妨設(shè)落在的位置，若在或上，則，于是由對(duì)稱(chēng)性，可設(shè)在上，而在上．如圖．若，則 Q DQ=〔AQ2-AD

28、2>譏丫6-■2)2-1=2-、込, 同理，RQ=斗CQ2+CR2<-、2. 綜上所述結(jié)論成立． 以下討論的情形．由于正方形內(nèi)或邊上最遠(yuǎn)兩點(diǎn)距離是正方形對(duì)角線長(zhǎng)度，故正方形（邊長(zhǎng)1）中四點(diǎn)、、、中任兩點(diǎn)距離． 如四點(diǎn)構(gòu)成凸四邊形，不妨設(shè)，則，所以、中有一個(gè)．如四點(diǎn)中位于內(nèi)或邊上，不妨設(shè)，同理得． 17.1.46***設(shè)三邊長(zhǎng)分別為、，、分別在、上，且平分的面積，求的最值（用、表示）.解析如圖，設(shè)、為中線. C 設(shè)，，則由，有． 又由余弦定理，DE2=x2+y2一2xycosA=（x一y）2+2xy（1一cosA）=（x一y）2+bc（l—cosA）. a2一（b一c）2

29、 因?yàn)槌?shù)，故的大小取決于．由于為常數(shù)，故是的增函數(shù)．當(dāng)取最大值，需最大或最小，最大為(這時(shí)取最小值)，最小為(這時(shí)取最大值).因此的最大值是、中短邊上的中線.比如當(dāng)時(shí)，的最大值為. 記，若，，則可取到，于是當(dāng)時(shí)，的最小值為Jbc(l-cosA)=當(dāng)或時(shí)，比如時(shí)，總不會(huì)小于，此時(shí)時(shí)，最小，就是，即為、中長(zhǎng)邊上的中線，所以在的前提下，最小值是.時(shí)可以類(lèi)推. 17.1.47**在中，、分別為、、的中點(diǎn)，為斜邊的高的垂足，是的中點(diǎn).設(shè)為上的任一點(diǎn)，求證：取最大的角便是. 解析連結(jié)，則為斜邊上的中線，故、分別為、中點(diǎn)，故，所以，，從而.又，故今. 于是有延長(zhǎng)至，使，連結(jié)，易知今. 從而.

30、結(jié)合知為線段的垂直平分線. 設(shè)為上任一異于的點(diǎn)，則，且易知(若在的左邊，在的右邊，則).從而在與中，與為對(duì)頂角，于是有： (等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)取到).這就證明了取最大角時(shí)便是. 17.1.48***設(shè)四邊形四邊依次為、、貝9其面積不大于J(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)，其 中.取到最大值時(shí)，僅當(dāng)四邊形內(nèi)接于圓. 解析如圖，連結(jié)、，交于，，貝由四邊形的余弦定理(見(jiàn)題13.1.7)，得 D b2+d2-a2-c2=2AC-BDcosQ, 4S=2-AC-BDsin9, 四邊形ABCD 兩式平方后相加，得 16S2=4AC2-BD2-(b2+d2-a2-c2

31、), 四邊形ABCD S=1v;4(AC-BD)2一(a2一b2+c2一d2)2. 四邊形ABCD4 由托勒密不等式（參見(jiàn)題17．1．44），有，故 Sw- 四邊形ABCD4 =- =4 4(ac+bd1-2一b2+c2一d2) +c)2-(b-d)2(b+d)2-(a-c1 =*(a+c+b一d)(a+c+d一b)?(b+d+a一c)(b+d+c—a)=\\p-a)(p-b)(p-c)(p-d). 由托勒密定理知，僅當(dāng)內(nèi)接于圓時(shí)，面積取最大值. 17.1.49*★★中，、分別是邊、上的點(diǎn)，且.如果、、的周長(zhǎng)依次為、、，求證： 所以 解析 因?yàn)?，所以? s,,

32、設(shè)，，由s得，，這樣，由 可得 m+ma2-b2b 12=+=-ma2a 255 +4w4?當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立? 17.1.50*★★為內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)引三條邊的平行線,，.、、、、，為各邊上的點(diǎn)（如圖），記為六邊形的面積，為的面積．證明：. 解析可以從、，的面積與的面積關(guān)系入手設(shè)，，，，，.易知sss, 所以，， 由此可得蘭+2+z=IF+FC+B=1. abc 由柯西不等式知： x2 + a2 S+S+S △OIF△OEH△OGD S 2 2 從而S+S+SW—S. 四邊形OHAG四邊形OEFC四邊形OIBD32 而四邊形、、均為平行四

33、邊形，所以 ，即. 17.1.51*★★直角三角形中，，，，、分別在、、上，求的最小值. 1 C7 ffCQ萬(wàn)J 解析如圖，猜想最小值是當(dāng)為正三角形時(shí)取到．為求此值，不妨設(shè)圖中的為正三角形．作在上.當(dāng)在上時(shí)，故、，至等距，在上亦然. 于是， RQ=^-4CQ2+SQ2=t^2 當(dāng)時(shí)，達(dá)最小值. 若能證明對(duì)一般的動(dòng)點(diǎn)、、有max(PQ,QR,RP)三話， 問(wèn)題就解決了.用反證法，假定,，? 設(shè)的費(fèi)馬點(diǎn)為(圖中未畫(huà)出)，則ZBFA=ZAFC=/CFB=120。，設(shè)…則由余弦定理，知 a2+b2+ab=4,①

34、，得， ② -③，得， 故，，，代入②得 3b2+c2—3bc=1=b2+c2+be， 于是，，，代入上式得,,,? j31 于是二=S=S+S+S<丄(PR-FA+RQ-FC+PQ-FB) 2△ABCAPFRCRPQBPFQ2 ，矛盾！因此的最小值為. 評(píng)注實(shí)為費(fèi)馬點(diǎn)的等角共扼點(diǎn)的垂足三角形．其實(shí)也等于，為向外作的正三角形． 17.1.52*★★證明：若、、能構(gòu)成三角形的三邊長(zhǎng)，則、、也能.又若、、構(gòu)成銳角三角形三邊長(zhǎng)，則、、呢? 解析不妨設(shè)三三〉0，問(wèn)題歸結(jié)為：若，貝V.證明如下： 1111 +〉+ a+bc+ab+2c2b+c 當(dāng)、、構(gòu)成銳角三角形時(shí),、、也

35、構(gòu)成銳角三角形，證明如下(仍設(shè)三三〉0)： 由于11/>2 (a+b)2(c+a)(a+b)(c+a)' (b+c)2=b2+c +2bc〉a2+2bc〉a+bc2， 又2 (b+)2(c)(=)(b)+ ，兩式相加即得結(jié)論.〉 +a =b 下證即可，此等價(jià)于2(b+c)2〉a2+bc+ab+ca， 17.1.53*★★點(diǎn)、、分別在、、上,若分別記、、為、、，證明：，當(dāng)且僅當(dāng)、、共點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立. 解析設(shè)，，，則 所以 —(1X)(Saabc)(1X){(1+X)(1+X)(1+X)-(1+X)X-(1+X)x-(1+x)x_ 2 1 1+XXX

36、—12、3S -(1+X)(1+X)(1+XT△ABC 123 S3 △ABC 一(1+X)2(1；X\(1+X)2' 123 故-~~△DEF△ABC SSS 123 (S △DEF IS丿 △ABC —△ABC SSS 123 于是命題得證．僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由塞瓦逆定理知，此時(shí)必有、共點(diǎn)． 17.1.54*★★已知定角內(nèi)有一定點(diǎn)，動(dòng)直線過(guò)，交兩邊于、求之最小值(假定，，).解析如圖，由面積得，即OM-ON-sin0—OM-OP-sina+ON-OP-sinp，此式可化為. Y 用柯西不等式(或展開(kāi)后用平均不等式)，可得 (OM+ON)泌-(OM+

37、ON)(沁+應(yīng)］d(ONOM丿 故的最小值為.等號(hào)成立，僅當(dāng).其與聯(lián)立，可解得OM-—空(sinasinp+siip), sin0 ON--^Qsinasinp+sina).又作，與交于，貝嘰，這樣的、的確存在. sin0 17.1.55**★★已知銳角三角形,、分別是、、上的動(dòng)點(diǎn)，求證：達(dá)到最小時(shí)，滿(mǎn)足、，及等價(jià)的，此處為重心，并用三邊及面積表示這個(gè)最小值. 解析如圖，先設(shè)、固定，為中點(diǎn)，貝DE2+DF2—2MD2+1EF2.當(dāng)達(dá)最小時(shí)，應(yīng)有，如 2 對(duì)三邊作處理，便有、、，此時(shí)，F(xiàn)G-sinZFGD—GE-sinZEGD，故，，同理此值為，此即. 下證此時(shí)的確實(shí)達(dá)到三

38、邊之平方和最小.先求此值，設(shè)，，，則k(AB2+BC2+CA2)—2S △ABC 又DE2—GE2+GD2+2GE-GD-cosC =k2\AC2+BC2+2AC-BCcosC 同理有另兩式，加之，得 DE2+EF2+FD2-3k2 +BC2+CA2 下證對(duì)于一般的，有 +EF2+FD2 )(AB2+BC2+CA2 找到重心，由中線長(zhǎng)，易知有 +EF2+FD2 )(AB2+BC2+CA2 +GD2+GE2 )(AB2+BC2+CA2 三3(FG-AB+GD-BC+GE-CA)2 評(píng)注這里用到柯西不等式，不難得出等號(hào)成立

39、之條件．此題還包含了另一個(gè)問(wèn)題：三角形內(nèi)求一點(diǎn)至三邊距離平方和最?。? 17.1.56*★★已知,、分別在、上，交于，記、、的面積分別是、、，求的最小值（假定、已知，用、表示之）． 解析如圖，若設(shè)，‘，貝9由簡(jiǎn)單的比例知'，又 SAO-COAOCOSS ―1==-=△AEC△ACD SEO-DODOEOSS 2△EDC△AED SS+S+S+S+S' =—△ABC=23 SS 33 故最小值為，達(dá)到此值時(shí)'，即? 17.1.57*★★已知三邊分別為、、，其中、確定，為中點(diǎn)，，求的最大值（不固定，用、表示）. 解析易知，AD2=12=(b2+c2+2bccosA)

40、(延長(zhǎng)一倍至并連即知)?于是 4 (besinA匕=4S2=a212sin20, △ABC b2c2sin2A sin20=y(、 (b2+e2J2一b2e2cos2A 4 下證此式．這等價(jià)于 (b2+e2)-4b2e2cos2A三(b2+e2)sin2A,這可由及推出，故的最大值為，僅當(dāng)或時(shí)成立． 17.1.58**★★(費(fèi)馬光行最速原理)光線由到，在介質(zhì)分界面上折射.設(shè)為上一點(diǎn)，直線、與所夾銳角分別為、又設(shè)'是上另一點(diǎn)?求證：當(dāng)、(光線在兩種不同介質(zhì)中的速度)滿(mǎn)足 l 時(shí)必有 解析作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則有 過(guò)作的垂線，過(guò)作的垂線，兩垂線交于點(diǎn)，且與分別交于

41、、．在中 // =2S=2(S+S) △DEF△CEF△CDF 由正弦定理，得 EFsinZFDEcos0v ==2=—2, DFsin/FEDcos0v 11 故 即， 得． 17.1.59**★★內(nèi)（或邊界上）有一點(diǎn),,〈〈，求的最大值（用、表示，需分情況討論）.解析易知．如圖，延長(zhǎng)至，使，則，且、、、共圓，于是四邊形為等腰梯形，因此 S—S=S—S=S. △ABC△ACD△APC△ACD△DC 問(wèn)題歸結(jié)為求的最大值．當(dāng)然是希望，這樣．下面來(lái)研究的可取范圍，設(shè)．由于，，因此． A 在中，由等腰三角形知（見(jiàn)題9.2.3）=AD2+AD?DPWCD2+

42、CD-DP=a2+a-2asin,即. 2 因?yàn)椤?，故左式?，總有解，下面討論之. （1）當(dāng)時(shí)，可取，此時(shí)的最大面積正是； AAbC2—2a2）； （2）當(dāng)時(shí)，取，貝9，得最大值為a2sincos=4a2—b2. 224a2 17.1.60**★★已知：定角，內(nèi)有一定點(diǎn)，平分”過(guò)作一動(dòng)直線交兩邊于、（、），過(guò)、分別作、的垂線交于．求四邊形面積的最大值，并刻畫(huà)此時(shí)的位置． 解析不妨設(shè)，，作于，貝，，同理 1八 V3 匚a) b、 V3 f57 a2 b2) —BD?BQ= a- —ab- 2 3 (2丿 V

43、 _2丿 =3 V4 飛丿 由正弦定理，，或，故，S △ABQ 又， 故． 下面求出與之間的關(guān)系.由，得adsin30°+bdsin30°=absin60°，不妨設(shè)，于是.由此得,.又4ab—C2+b2)=6ab—(a+b)2=6ab—(ab)2=9—(ab—3)2W8. 于是當(dāng)時(shí)，達(dá)到最大值（一般情況下．當(dāng)時(shí)達(dá)到最大值），此時(shí)． 17.1.61^^★★的邊內(nèi)有一點(diǎn),，又在上找一點(diǎn)，使（比靠近），過(guò)任作一直線，交于，交的延長(zhǎng)線于，求證：． 解析1如圖（），連結(jié)、，顯然、均為銳角．由梅氏定理，有，于是欲證結(jié)論變成求證，或． 作于，連結(jié)、，注意左邊為 于是結(jié)論成立

44、． S △ BEG S △ AEG S =△DCG S △AEG S S CE CE CE △AEG △AEG SSCHEH-CEGE-CE <—△DHG=△AHG==< H 解析2如圖()，作、與垂直，垂足為、．由梅氏定理知用及代入，得 ，或， 如圖()所示，此即，于是． 17.1.62**★★已知非鈍角三角形，上的一些點(diǎn)，以中(包括邊界和內(nèi)部)的為最遠(yuǎn)，這些點(diǎn)構(gòu)成的線段長(zhǎng)為，同理定義、，求證：，其中，，． 解析不妨設(shè)三三.首先證明一個(gè)結(jié)果：設(shè)為內(nèi)部或邊界上任一點(diǎn)，則中離最遠(yuǎn)的點(diǎn)是的頂點(diǎn)． 八、、? 為證明這一點(diǎn)，只需連結(jié)、、，不妨設(shè)任一點(diǎn)在內(nèi)，如圖()，延長(zhǎng)與交于，或，故，結(jié)論成立．于是對(duì)內(nèi)任一點(diǎn)，只要比較它與、、的距離即可． 如圖()，由三三,易知，，．于是 分別是三邊中點(diǎn)，、在上，在上． l+1+1=BN+CM-BC+BL+AC abc 由于邊上的高不在外，故，同理，于是有 考慮到，有 +b>+-b三丄(a+b+c)， 2c244 于是結(jié)論成立．