高三數(shù)學(xué)第一篇七 概率與統(tǒng)計(jì) 第1講 統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例 理

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1、第第1 1講講 統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例考情分析考情分析年份 卷別題號(hào)考查內(nèi)容命題規(guī)律2017 19(2)正態(tài)分布的性質(zhì)及應(yīng)用統(tǒng)計(jì)的主要內(nèi)容包括隨機(jī)抽樣、用樣本估計(jì)總體、變量的相關(guān)性.近年來(lái)把統(tǒng)計(jì)和概率結(jié)合起來(lái)命制解答題是高考考查的一個(gè)趨勢(shì).對(duì)統(tǒng)計(jì)案例的考查一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).13,18二項(xiàng)分布的方差;頻率分布直方圖及獨(dú)立性檢驗(yàn)3,18折線(xiàn)圖的識(shí)別,頻率分布表2016 4,18統(tǒng)計(jì)圖表的應(yīng)用,折線(xiàn)圖、相關(guān)性檢驗(yàn)、線(xiàn)性回歸方程及其應(yīng)用2015 19散點(diǎn)圖、求回歸方程、回歸分析3條形圖、兩變量間的相關(guān)性總綱目錄考點(diǎn)一 抽樣方法考點(diǎn)二 用樣本估計(jì)總體（高頻考點(diǎn)）考點(diǎn)三 統(tǒng)計(jì)案例考點(diǎn)一

2、 抽樣方法抽樣方法主要有簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣三種,這三種抽樣方法各自適用不同特點(diǎn)的總體,但無(wú)論哪種抽樣方法,每一個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是相等的,都等于樣本容量和總體容量的比值.典型例題典型例題(2017江蘇,3,5分)某工廠(chǎng)生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號(hào)的產(chǎn)品,產(chǎn)量分別為200,400,300,100件.為檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量,現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗(yàn),則應(yīng)從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取件.解析解析從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取的件數(shù)為60=18.300200400300 100答案答案18方法歸納方法歸納解決抽樣問(wèn)題的方法(1)解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是深刻理解各種抽樣方法的特點(diǎn)

3、和適用范圍.(2)在系統(tǒng)抽樣的過(guò)程中,要注意分段間隔,需要抽取n個(gè)個(gè)體,樣本就需要分成n個(gè)組,則分段間隔為(N為樣本容量),首先確定在第一組中抽取的個(gè)體的號(hào)碼,再?gòu)暮竺娴拿拷M中按規(guī)則抽取每個(gè)個(gè)體.Nn跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)1.(2017貴州貴陽(yáng)檢測(cè))某高校有教授120人,副教授100人,講師80人,助教60人,現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有老師中抽取一個(gè)容量為n的樣本.已知從講師中抽取的人數(shù)為16,那么n=.答案答案72解析解析依題意得,=,由此解得n=72.80120 100806016n2.從編號(hào)為0,1,2,79的80件產(chǎn)品中,采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取容量是5的樣本,若編號(hào)為28的產(chǎn)品在樣本中,則

4、該樣本中產(chǎn)品的最大編號(hào)為.答案答案76解析解析根據(jù)系統(tǒng)抽樣的特點(diǎn),共有80個(gè)產(chǎn)品,抽取5個(gè)樣品,則可得組距為=16.又其中有1個(gè)產(chǎn)品的編號(hào)為28,則與之相鄰的為12和44,故所取5個(gè)樣品的編號(hào)依次為12,28,44,60,76,即最大的編號(hào)為76.805考點(diǎn)二 用樣本估計(jì)總體(高頻考點(diǎn))命題點(diǎn)命題點(diǎn)1.用統(tǒng)計(jì)圖表估計(jì)總體.2.用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體特征.1.直方圖的兩個(gè)結(jié)論(1)小長(zhǎng)方形的面積=組距=頻率.(2)各小長(zhǎng)方形的面積之和等于1.頻率組距2.統(tǒng)計(jì)中的四個(gè)數(shù)字特征(1)眾數(shù):在樣本數(shù)據(jù)中,出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù).(2)中位數(shù):樣本數(shù)據(jù)中,將數(shù)據(jù)按大小排列,位于最中間的數(shù)據(jù).如果數(shù)據(jù)的

5、個(gè)數(shù)為偶數(shù),就取中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù).(3)平均數(shù):樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù),即=(x1+x2+xn).(4)方差與標(biāo)準(zhǔn)差方差:s2=(x1-)2+(x2-)2+(xn-)2.標(biāo)準(zhǔn)差:s=.x1n1nxxx222121()()() nxxxxxxn典型例題典型例題(2016北京,17,13分)某市居民用水?dāng)M實(shí)行階梯水價(jià).每人每月用水量中不超過(guò)w立方米的部分按4元/立方米收費(fèi),超出w立方米的部分按10元/立方米收費(fèi).從該市隨機(jī)調(diào)查了10000位居民,獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù),整理得到如下頻率分布直方圖:(1)如果w為整數(shù),那么根據(jù)此次調(diào)查,為使80%以上居民在該月的用水價(jià)格為4元/立方米

6、,w至少定為多少?(2)假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點(diǎn)值代替.當(dāng)w=3時(shí),估計(jì)該市居民該月的人均水費(fèi).解析解析(1)由用水量的頻率分布直方圖知,該市居民該月用水量在區(qū)間0.5,1,(1,1.5,(1.5,2,(2,2.5,(2.5,3內(nèi)的頻率依次為0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.所以該月用水量不超過(guò)3立方米的居民占85%,用水量不超過(guò)2立方米的居民占45%.依題意,w至少定為3.(2)由用水量的頻率分布直方圖及題意,得居民該月用水費(fèi)用的數(shù)據(jù)分組與頻率分布表:根據(jù)題意,該市居民該月的人均水費(fèi)估計(jì)為:40.1+60.15+80.2+100.25+120.15+170.05+2

7、20.05+270.05=10.5(元).組號(hào)12345678分組2,4(4,6(6,8(8,10(10,12(12,17(17,22(22,27頻率0.10.150.20.250.150.050.050.05方法歸納方法歸納1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與直方圖的關(guān)系(1)眾數(shù)為頻率分布直方圖中最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo).(2)中位數(shù)為平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線(xiàn)與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).(3)平均數(shù)等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.2.方差的計(jì)算與含義計(jì)算方差首先要計(jì)算平均數(shù),再按照方差的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算,方差和標(biāo)準(zhǔn)差是描述一個(gè)樣本和總體的波動(dòng)大小的特征數(shù),

8、方差、標(biāo)準(zhǔn)差越大說(shuō)明波動(dòng)越大.跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)1.將容量為n的樣本中的數(shù)據(jù)分成六組,繪制頻率分布直方圖.若第一組至第六組數(shù)據(jù)的頻率之比為2 3 4 6 4 1,且前三組數(shù)據(jù)的頻數(shù)之和等于27,則n=()A.40B.50C.60D.70答案答案 C根據(jù)六組數(shù)據(jù)的頻率之比就是頻數(shù)之比,及前三組數(shù)據(jù)的頻數(shù)之和是27,得n=27,解得n=60.故選C.23423464 1 2.(2017廣西三市第一次聯(lián)考)在如圖所示一組數(shù)據(jù)的莖葉圖中,有一個(gè)數(shù)字被污染后模糊不清,但曾計(jì)算得該組數(shù)據(jù)的極差與中位數(shù)之和為61,則被污染的數(shù)字為()A.1B.2C.3D.4答案答案B由題可知該組數(shù)據(jù)的極差為48-20=28,

9、則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為61-28=33,易得被污染的數(shù)字為2.3.(2017成都第二次診斷性檢測(cè))在一個(gè)容量為5的樣本中,數(shù)據(jù)均為整數(shù),已求出其平均數(shù)為10,但墨水污損了兩個(gè)數(shù)據(jù),其中一個(gè)數(shù)據(jù)的十位數(shù)字1未被污損,即9,10,11,1,那么這組數(shù)據(jù)的方差s2可能的最大值是.答案答案32.8解析解析設(shè)這組數(shù)據(jù)的最后兩個(gè)數(shù)分別是10+x,y(x為0,9中的自然數(shù),y為整數(shù)),則9+10+11+(10+x)+y=50,得x+y=10,故y=10-x,故s2=+x2,顯然x最大取9時(shí),s2有最大值32.8.221 0 1()5xx 2525考點(diǎn)三 統(tǒng)計(jì)案例1.線(xiàn)性回歸方程=-;(,)稱(chēng)為樣本點(diǎn)的中心.1

10、221,niiiniix ynxyybxabxnx方程稱(chēng)為線(xiàn)性回歸方程 其中aybxxy2.隨機(jī)變量K2=(K2也可表示為2).若K23.841,則有95%的把握說(shuō)兩個(gè)事件有關(guān);若K26.635,則有99%的把握說(shuō)兩個(gè)事件有關(guān).2()()()()()()abcd adbcab cd ac bd 典型例題典型例題(2017課標(biāo)全國(guó),18,12分)海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比,收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱,測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:kg),其頻率分布直方圖如下:(1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立,記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg,新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50k

11、g”,估計(jì)A的概率;(2)填寫(xiě)下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān);箱產(chǎn)量50kg箱產(chǎn)量50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖,求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值(精確到0.01).附:,K2=,其中n=a+b+c+d.解析解析(1)記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg”,C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”.由題意知P(A)=P(BC)=P(B)P(C).舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg的頻率為(0.012+0.014+0.024+0.034+0.042()()()()()n adbcab cd ac bd0)5=0.62,故P(B

12、)的估計(jì)值為0.62.新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg的頻率為(0.068+0.046+0.010+0.008)5=0.66,故P(C)的估計(jì)值為0.66.因此,事件A的概率估計(jì)值為0.620.66=0.4092.(2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得如下列聯(lián)表:箱產(chǎn)量6.635,故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān).(3)因?yàn)樾吗B(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中,箱產(chǎn)量低于50kg的直方圖面積為(0.004+0.020+0.044)5=0.340.5,故新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值為50+52.35(kg).2200 (62 6634 38)100 100 96 1040.50.340.068方

13、法歸納解決統(tǒng)計(jì)案例應(yīng)注意的問(wèn)題(1)求回歸直線(xiàn)方程的關(guān)鍵有兩點(diǎn):一是把相關(guān)數(shù)據(jù)代入公式準(zhǔn)確計(jì)算;二是抓住樣本點(diǎn)的中心(,)必在回歸直線(xiàn)上的特性.(2)求解獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題時(shí)要注意:22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)與公式中各個(gè)字母的對(duì)應(yīng),不能混淆;計(jì)算得到K2之后的結(jié)論.xy跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)面對(duì)競(jìng)爭(zhēng)日益激烈的消費(fèi)市場(chǎng),眾多商家不斷擴(kuò)大自己的銷(xiāo)售市場(chǎng),以降低生產(chǎn)成本.某白酒釀造企業(yè)市場(chǎng)部對(duì)該企業(yè)9月份的產(chǎn)品銷(xiāo)量x(單位:千箱)與單位成本y(單位:元)的資料進(jìn)行線(xiàn)性回歸分析,得到結(jié)果如下:=,=71,=79,xiyi=1481.則銷(xiāo)量每增加1千箱,單位成本約下降元(結(jié)果保留5位有效數(shù)字).附:回歸直線(xiàn)的斜率和截距的

14、最小二乘法公式分別為:=,=x72y61i2ix61ib1221niiiniix ynxyxnxa-.ybx答案答案1.8182解析解析由題意知=-1.8182,=71-(-1.8182)77.364,所以=-1.8182x+77.364,所以銷(xiāo)量每增加1千箱,則單位成本約下降1.8182元.b271481 671277962 a72y1.(2017課標(biāo)全國(guó),3,5分)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律,提高旅游服務(wù)質(zhì)量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位:萬(wàn)人)的數(shù)據(jù),繪制了下面的折線(xiàn)圖.根據(jù)該折線(xiàn)圖,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐

15、年增加隨堂檢測(cè)隨堂檢測(cè)C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月,波動(dòng)性更小,變化比較平穩(wěn)答案答案A由題中折線(xiàn)圖可知,每年的月接待游客量從8月份開(kāi)始有下降趨勢(shì).故選A.2.(2017湖南五市十校聯(lián)考)某中學(xué)奧數(shù)培訓(xùn)班共有14人,分為兩個(gè)小組,在一次階段測(cè)試中兩個(gè)小組成績(jī)的莖葉圖如圖所示,其中甲組學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)是88,乙組學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是89,則n-m的值是()A.5B.6C.7D.8答案答案B由甲組學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)是88,可得=88,解得m=3.由乙組學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是89,可得n=9,所以n-m=6,故選B.7080 390 3(8468

16、25)7m 3.(2017山東,5,5分)為了研究某班學(xué)生的腳長(zhǎng)x(單位:厘米)和身高y(單位:厘米)的關(guān)系,從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生,根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系,設(shè)其回歸直線(xiàn)方程為 =x+.已知xi=225,yi=1600,=4.該班某學(xué)生的腳長(zhǎng)為24,據(jù)此估計(jì)其身高為()A.160B.163C.166D.170yba101i101ib答案答案 C由題意可知=22.5,=160,160=422.5+,解得=70,=4x+70,x=24時(shí),=424+70=166.故選C.xyaayy4.為了研究霧霾天氣的治理,某課題組對(duì)部分城市進(jìn)行空氣質(zhì)量調(diào)查,按地域特點(diǎn)把這些城市分

17、成甲、乙、丙三組.已知三組城市的個(gè)數(shù)分別為4,y,z,依次構(gòu)成等差數(shù)列,且4,y,z+4成等比數(shù)列,若用分層抽樣抽取6個(gè)城市,則乙組中應(yīng)抽取的城市個(gè)數(shù)為.答案答案2解析解析由題意可得即解得z=12或z=-4(舍去),故y=8.所以甲、乙、丙三組城市的個(gè)數(shù)分別為4,8,12.因?yàn)橐还惨槿?個(gè)城市,所以抽樣比為=.故乙組中應(yīng)抽取的城市個(gè)數(shù)為8=2.224,4(4),yzyz22,2416.zyyz648 12 14145.(2017陜西高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題(一)已知一組正數(shù)x1,x2,x3,x4的方差s2=(+-16),則數(shù)據(jù)x1+2,x2+2,x3+2,x4+2的平均數(shù)為.1421x22x23x24x答案答案4解析解析由方差公式s2=(x1-)2+(x2-)2+(x3-)2+(x4-)2,得s2=(+)-,又已知s2=(+-16)=(+)-4,所以=4,所以=2,故(x1+2)+(x2+2)+(x3+2)+(x4+2)=+2=4.14xxxx1421x22x23x24x2x1421x22x23x24x1421x22x23x24x2xx14x