高三數學第一篇八 選修系列刺 第2講 不等式選講 文

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1、第第2 2講講 不等式選講不等式選講考情分析考情分析總綱目錄考點一 絕對值不等式的解法考點二 不等式的證明考點三 絕對值不等式的恒成立問題考點一 絕對值不等式的解法1.|ax+b|c,|ax+b|c型不等式的解法(1)若c0,則|ax+b|c等價于-cax+bc,|ax+b|c等價于ax+bc或ax+b-c,然后根據a,b的值求解即可.(2)若c0),|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法(1)令每個絕對值符號里的一次式為0,求出相應的根;(2)把這些根由小到大排序,它們把數軸分為若干個區(qū)間;(3)在所分區(qū)間上,根據絕對值的定義去掉絕對值符號,討論所得的不等式在這個區(qū)間上的解集;(4)

2、這些解集的并集就是原不等式的解集.典型例題典型例題(2017課標全國,23,10分)選修45:不等式選講已知函數f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)當a=1時,求不等式f(x)g(x)的解集;(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含-1,1,求a的取值范圍.解析解析(1)當a=1時,不等式f(x)g(x)等價于x2-x+|x+1|+|x-1|-40.當x1時,式化為x2+x-40,從而11的解集. 解析解析(1)f(x)=y=f(x)的圖象如圖所示.4,1,332, 1,234,2xxxxxx (2)由f(x)的表達式及圖象知,當f(x)=1時,可得x=1或x=

3、3;當f(x)=-1時,可得x=或x=5,故f(x)1的解集為x|1x3; f(x)1的解集為.131|53x xx或1|1353x xxx或或2.設函數f(x)=|kx-1|(kR).(1)若不等式f(x)2的解集為,求k的值;(2)若f(1)+f(2)5,求k的取值范圍.113xx解析解析(1)由|kx-1|2,得-2kx-12,-1kx3,-x1.由已知,得=1,k=3.(2)由已知,得|k-1|+|2k-1|5.當k時,-(k-1)-(2k-1)-1,此時-1k;當k1時,-(k-1)+(2k-1)5,得k5,此時1時,(k-1)+(2k-1)5,得k,此時1k0,b0,a3+b3=2

4、.證明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.證明證明(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)24.(2)因為(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)2+(a+b)23()4ab=2+,所以(a+b)38,因此a+b2.33()4ab方法歸納方法歸納(1)證明不等式常用的方法有綜合法;分析法;比較法;柯西不等式(二維形式).(2)二維柯西不等式:若a,b,c,d都是實數,則(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,當且僅當ad=bc時等號成立.跟蹤集訓跟蹤集訓1

5、.已知a0,b0,函數f(x)=|2x+a|+2+1的最小值為2.(1)求a+b的值;(2)求證:a+log33-b.2bx14ab解析解析(1)因為f(x)=|2x+a|+|2x-b|+1|2x+a-(2x-b)|+1=|a+b|+1.當且僅當(2x+a)(2x-b)0時,等號成立,又a0,b0,所以|a+b|=a+b,所以f(x)的最小值為a+b+1=2,所以a+b=1.(2)證明:由(1)知,a+b=1,所以+=(a+b)=1+4+5+2=9,當且僅當=且a+b=1,即a=,b=時取等號.所以log3log39=2,所以a+b+log31+2=3,即a+log33-b.1a4b14abb

6、a4ab4baabba4ab132314ab14ab14ab2.已知a,b,c,d均為正數,且ad=bc.(1)證明:若a+db+c,則|a-d|b-c|;(2)t=+,求實數t的取值范圍.22ab22cd44ac42bd解析解析(1)證明:由(a+d)2(b+c)2,4ad=4bc,得(a-d)2(b-c)2,即|a-d|b-c|.(2)因為(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=a2c2+2abcd+b2d2=(ac+bd)2,所以t=t(ac+bd).由于ac,bd.又已知t=+.則t(ac+bd)(ac+bd).故t,當a=c,b=d時取等號.22ab22

7、cd44ac244bd222ab22cd44ac44bd22考點三 絕對值不等式的恒成立問題1.f(x)a恒成立f(x)mina;f(x)a恒成立f(x)maxa有解f(x)maxa; f(x)a有解f(x)mina無解f(x)maxa;f(x)a無解f(x)mina.2.定理1:如果a,b是實數,則|a+b|a|+|b|,當且僅當ab0時,等號成立.定理2:如果a,b,c是實數,那么|a-c|a-b|+|b-c|,當且僅當(a-b)(b-c)0時,等號成立.典型例題典型例題(2017課標全國,23,10分)已知函數f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)1的解集;(2)若不等

8、式f(x)x2-x+m的解集非空,求m的取值范圍.解析解析(1)f(x)=當x2時,由f(x)1解得x2.所以f(x)1的解集為x|x1.3,1,21, 12,3,2.xxxx (2)由f(x)x2-x+m得m|x+1|-|x-2|-x2+x.而|x+1|-|x-2|-x2+x|x|+1+|x|-2-x2+|x|=-+,且當x=時,|x+1|-|x-2|-x2+x=.故m的取值范圍為.23|2x545432545,4方法歸納方法歸納含絕對值不等式恒成立問題,用等價轉化思想.(1)利用三角不等式求出最值進行轉化.(2)利用分類討論思想,轉化成求函數值域.(3)數形結合轉化.跟蹤集訓跟蹤集訓1.(

9、2017河南鄭州質量預測(二)已知函數f(x)=|2x+1|,g(x)=|x|+a.(1)當a=0時,解不等式f(x)g(x);(2)若存在xR,使得f(x)g(x)成立,求實數a的取值范圍.解析解析(1)當a=0時,由f(x)g(x)得|2x+1|x|,兩邊平方整理得3x2+4x+10,解得x-1或x-,原不等式的解集為(-,-1.(2)由f(x)g(x)得a|2x+1|-|x|,令h(x)=|2x+1|-|x|,則h(x)=故h(x)min=h=-,所以實數a的取值范圍為a-.131,311,2131,0,21,0,xxxxxx 1212122.(2017云南昆明質量檢測)已知函數f(x)

10、=|x+2|.(1)解不等式2f(x)0,n0),若不等式|x-a|-f(x)+恒成立,求實數a的取值范圍.1m1n解析解析(1)不等式2f(x)4-|x-1|等價于2|x+2|+|x-1|4,即或或解得-x-2或-2x0,n0),所以+=(m+n)=+22+2=4,2,2(2)14xxx 21,2(2)14xxx 1,2(2)14,xxx 73713xx 1m1n11mnnmmn所以+的最小值為4.要使|x-a|-f(x)+恒成立,則|a+2|4,解得-6a2.所以實數a的取值范圍是-6,2.1m1n1m1n1.(2017廣東廣州綜合測試(一)已知函數f(x)=|x+a-1|+|x-2a|.

11、(1)若f(1)3,求實數a的取值范圍;(2)若a1,xR,求證:f(x)2.隨堂檢測隨堂檢測解析解析(1)因為f(1)3,所以|a|+|1-2a|3.當a0時,-a+(1-2a)-,所以-a0;當0a時,a+(1-2a)-2,所以0a;當a時,a-(1-2a)3,解得a,所以a.綜上所述,實數a的取值范圍是.(2)證明:f(x)=|x+a-1|+|x-2a|(x+a-1)-(x-2a)|=|3a-1|,因為a1,所以f(x)3a-12.23231212124312432 4,3 32.已知函數f(x)=|x-a|-|x+3|,aR.(1)當a=-1時,解不等式f(x)1;(2)當x0,3時, f(x)4,求實數a的取值范圍.解析解析(1)當a=-1時,不等式為|x+1|-|x+3|1.當x-3時,不等式化為-(x+1)+(x+3)1,不等式不成立;當-3x-1時,不等式化為-(x+1)-(x+3)1,解得-x-1;當x-1時,不等式化為(x+1)-(x+3)1,不等式恒成立.綜上,不等式的解集為.(2)當x0,3時, f(x)4,即|x-a|x+7,由此得a-7且a2x+7.當x0,3時,2x+7的最小值為7,所以a7,所以實數a的取值范圍是-7,7.525,2