數(shù)學第一章 數(shù)與式 第一節(jié) 實數(shù)及其運算

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1、第一章數(shù)與式第一節(jié)實數(shù)及其運算知識點知識點一一 實數(shù)的分類實數(shù)的分類正整數(shù)正整數(shù) 0 0負整數(shù)負整數(shù)分數(shù)分數(shù)無理數(shù)無理數(shù)知識點二知識點二 實數(shù)的有關實數(shù)的有關概念概念1 1數(shù)軸：規(guī)定了數(shù)軸：規(guī)定了 _ _ 、 _、 _的直的直線叫做數(shù)軸，實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的線叫做數(shù)軸，實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的2 2相反數(shù)：如果兩個數(shù)只有相反數(shù)：如果兩個數(shù)只有 _ _ 不同，那么稱其中一個不同，那么稱其中一個數(shù)為另一個數(shù)的相反數(shù)，也稱這兩個數(shù)互為相反數(shù)特別地，數(shù)為另一個數(shù)的相反數(shù)，也稱這兩個數(shù)互為相反數(shù)特別地，0 0的相反數(shù)還是的相反數(shù)還是0 0；a ab b0 0a a，b b互為相反數(shù)；在數(shù)軸上

2、，表互為相反數(shù)；在數(shù)軸上，表示相反數(shù)的兩個點位于原點兩側，且到原點的距離示相反數(shù)的兩個點位于原點兩側，且到原點的距離 _ _ 原點原點單位長度單位長度正方向正方向相等相等符號符號3 3絕對值：在數(shù)軸上，一個數(shù)對應的點與原點的絕對值：在數(shù)軸上，一個數(shù)對應的點與原點的_叫做這個數(shù)的絕對值叫做這個數(shù)的絕對值 互為相反數(shù)的兩個數(shù)的互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值絕對值 _-a-aa a 距離距離 相等相等非負數(shù)的絕對值是它本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)非負數(shù)的絕對值是它本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)4 4倒數(shù)：如果兩個數(shù)的乘積為倒數(shù)：如果兩個數(shù)的乘積為_ _ ，那么稱其中一個數(shù)是，那么稱其中一個數(shù)是另一個數(shù)

3、的倒數(shù)，也稱這兩個數(shù)互為倒數(shù)用數(shù)學語言表另一個數(shù)的倒數(shù)，也稱這兩個數(shù)互為倒數(shù)用數(shù)學語言表述為：述為：abab1 1，則，則a a，b b互為倒數(shù)特別地，互為倒數(shù)特別地，1 1和和1 1的倒數(shù)的倒數(shù)還是它本身還是它本身, _, _沒有倒數(shù)沒有倒數(shù) 1 10 05 5平方根、算術平方根、立方根平方根、算術平方根、立方根(1)(1)平方根：一般地，如果一個數(shù)平方根：一般地，如果一個數(shù)x x的的 _ _ 等于等于a a，那么這，那么這個數(shù)個數(shù)x x就叫做就叫做a a的平方根的平方根( (也叫做二次方根也叫做二次方根) )，記作，記作 _._.正正數(shù)的平方根有兩個，它們互為數(shù)的平方根有兩個，它們互為 _

4、，0 0的平方根是的平方根是0 0，負，負數(shù)沒有平方根數(shù)沒有平方根平方平方相反數(shù)相反數(shù)a(2)(2)算術平方根：一般地，如果一個正數(shù)算術平方根：一般地，如果一個正數(shù)x x的平方等于的平方等于a a，即，即x x2 2a a，那么這個正數(shù)，那么這個正數(shù)x x就叫做就叫做a a的算術平方根，記作的算術平方根，記作 正正數(shù)的算術平方根是正數(shù)，數(shù)的算術平方根是正數(shù)，0 0的算術平方根是的算術平方根是0.0.(3)(3)立方根：一般地，如果一個數(shù)立方根：一般地，如果一個數(shù)x x的立方等于的立方等于a a，即，即x x3 3a a，那么這個數(shù)那么這個數(shù)x x就叫做就叫做a a的立方根的立方根( (也叫做三

5、次方根也叫做三次方根) )，記作，記作 正數(shù)的立方根是正數(shù)，正數(shù)的立方根是正數(shù)，0 0的立方根是的立方根是0 0，負數(shù)的立方根，負數(shù)的立方根是負數(shù)，每個實數(shù)有且只有一個立方根是負數(shù)，每個實數(shù)有且只有一個立方根a3a平方根等于它本身的數(shù)有平方根等于它本身的數(shù)有0 0；算術平方根等于它本身的數(shù)；算術平方根等于它本身的數(shù)有有0 0和和1 1；立方根等于它本身的數(shù)有；立方根等于它本身的數(shù)有1 1，0 0和和1.1.知識點三知識點三 科學記數(shù)法科學記數(shù)法科學記數(shù)法：一般地，一個大于科學記數(shù)法：一般地，一個大于1010的數(shù)可以表示為的數(shù)可以表示為a a1010n n的的形式，其中形式，其中1a101a0b

6、0，則，則a _ ba _ b；若；若a ab b0 0，則則a_ba_b；若；若a ab0b0，則，則a_ba_b. . 大大 4 4平方比較法：比較帶有根號的數(shù)或估計帶根號的無理數(shù)平方比較法：比較帶有根號的數(shù)或估計帶根號的無理數(shù)時，通常先把各數(shù)進行平方運算去掉根號，把無理數(shù)轉化時，通常先把各數(shù)進行平方運算去掉根號，把無理數(shù)轉化為有理數(shù)，再進行比較或估值為有理數(shù)，再進行比較或估值知識點五知識點五 實數(shù)的運算實數(shù)的運算1 1運算順序運算順序在實數(shù)范圍內的運算中，先算乘方、開方，再算乘除，最在實數(shù)范圍內的運算中，先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減；有括號的要先算括號內的；沒有括號，在同一后算加

7、減；有括號的要先算括號內的；沒有括號，在同一級運算中，要按從左至右的順序依次運算級運算中，要按從左至右的順序依次運算在有關負數(shù)的運算中，一定要確定好每一步的符號換算，在有關負數(shù)的運算中，一定要確定好每一步的符號換算，保證結果正確保證結果正確2 2運算律運算律(1)(1)加法的交換律：加法的交換律：a ab b _(2)(2)加法的結合律：加法的結合律：(a(ab)b)c c _(3)(3)乘法的交換律：乘法的交換律：abab _(4)(4)乘法的結合律：乘法的結合律：( (ab)cab)c _(5)(5)乘法對加法的分配律：乘法對加法的分配律：a(ba(bc)c) _ _ b ba aa a(

8、b(bc)c)babaa(bca(bc) )ababacac3 3零指數(shù)冪與負整數(shù)指數(shù)冪零指數(shù)冪與負整數(shù)指數(shù)冪(1)a(1)a0 0 _ (a0)_ (a0)；(2)a(2)ap p_ (a0_ (a0，p p為正整數(shù)為正整數(shù)) )p1a1 1考點考點一一 實數(shù)的有關概念實數(shù)的有關概念 (5(5年年4 4考考) )命題角度命題角度相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值例例1 1(2016(2016濟南濟南)5)5的相反數(shù)是的相反數(shù)是( () )A. BA. B5 C5 C D D5 5【分析分析】 只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)【自主解答自主解答】 5 5的相反

9、數(shù)是的相反數(shù)是5.5.故選故選D.D.1515對于給定的一個實數(shù)對于給定的一個實數(shù)a a，它的相反數(shù)是，它的相反數(shù)是a a，它的倒數(shù)是，它的倒數(shù)是 (a0) (a0)，它的絕對值等于數(shù)軸上實數(shù)，它的絕對值等于數(shù)軸上實數(shù)a a到原點的距離到原點的距離1a1 1(2015(2015濟南濟南) )6 6的絕對值是的絕對值是( )( )A A6 B6 B6 C6 C6 D.6 D.2 2(2017(2017市中二模市中二模) )的倒數(shù)是的倒數(shù)是( )( )A.A. B B2 017 C2 017 C2 017 D2 017 D3 3(2013(2013濟南濟南) )6 6的相反數(shù)是的相反數(shù)是( )(

10、)A A B. CB. C6 D6 D6 6A AC CD D12 01712 017161616命題角度命題角度平方根、算術平方根與立方根平方根、算術平方根與立方根例例2 2(2014(2014濟南濟南)4)4的算術平方根是的算術平方根是( () )A A2 B2 B2 C2 C2 D2 D1616【分析分析】 根據(jù)算術平方根的概念解答即可根據(jù)算術平方根的概念解答即可【自主解答自主解答】 222 24 4， 2.2.故選故選A.A.44 4(2017(2017歷下一模歷下一模)4)4的平方根是的平方根是( )( )A A2 B2 B2 C2 C2 D.2 D.5 5(2017(2017寧波寧

11、波) )實數(shù)實數(shù)8 8的立方根是的立方根是 _ A A2 22考點二考點二 科學記數(shù)法科學記數(shù)法 (5(5年年5 5考考) )例例3 3(2017(2017濟南濟南)2017)2017年年5 5月月5 5日國產大型客機日國產大型客機C C919919首飛成功首飛成功圓了中國人的圓了中國人的“大飛機夢大飛機夢”，它顏值高性能好，全長近，它顏值高性能好，全長近3939米，米，最大載客人數(shù)最大載客人數(shù)168168人，最大航程約人，最大航程約5 5505 550公里數(shù)字公里數(shù)字5 5505 550用用科學記數(shù)法表示為科學記數(shù)法表示為( () )A A0.5550.55510104 4 B B5.555

12、.5510103 3 C C5.555.5510104 4 D D55.555.510103 3【分析分析】 將將5 5505 550根據(jù)科學記數(shù)法的表示方法表示出來即可根據(jù)科學記數(shù)法的表示方法表示出來即可【自主解答自主解答】 5 5505 5505.555.5510103 3. .故選故選B.B.對于科學記數(shù)法表示有理數(shù)對于科學記數(shù)法表示有理數(shù)x x的問題，方法梳理如下表：的問題，方法梳理如下表：6 6(2016(2016濟南濟南) )隨著高鐵的發(fā)展，預計隨著高鐵的發(fā)展，預計20202020年濟南西客年濟南西客站客流量將達到站客流量將達到2 1502 150萬人，數(shù)字萬人，數(shù)字2 1502

13、150用科學記數(shù)法表示用科學記數(shù)法表示為為( )( )A A0.2150.21510104 4 B B2.152.1510103 3C C2.152.1510104 4 D D21.521.510102 2B B7 7(2017(2017槐蔭一?；笔a一模) )某種細胞的直徑是某種細胞的直徑是0.000 000 95 0.000 000 95 m m，將將0.000 000 950.000 000 95用科學記數(shù)法表示為用科學記數(shù)法表示為( )( )A A959510106 6 B B9.59.510106 6C C959510107 7 D D9.59.510107 7D D8 8(2017(

14、2017泰安泰安)“2014)“2014年至年至20162016年，中國同年，中國同一帶一路一帶一路沿線國家貿易總額超過沿線國家貿易總額超過3 3萬億美元萬億美元”將數(shù)據(jù)將數(shù)據(jù)3 3萬億美元用科萬億美元用科學記數(shù)法表示為學記數(shù)法表示為( )( )A A3 310101414美元美元 B B3 310101313美元美元C C3 310101212美元美元 D D3 310101111美元美元C C考點三考點三 實數(shù)的大小比較實數(shù)的大小比較 (5(5年年1 1考考) )例例4 4(2017(2017濟南濟南) )在實數(shù)在實數(shù)0 0，2 2， ，2 2中，最大的是中，最大的是( () )A A0

15、0B B2 2 C. C. D D2 2【分析分析】 根據(jù)實數(shù)的大小比較方法判斷即可根據(jù)實數(shù)的大小比較方法判斷即可【自主解答自主解答】 2 2， 2 20 02.2.故選故選C.C.55545在一組既有負數(shù)，又有在一組既有負數(shù)，又有0 0和正數(shù)的數(shù)中，若要求最小的數(shù)，和正數(shù)的數(shù)中，若要求最小的數(shù)，只要在負數(shù)中比較，找其最小數(shù)即可；若要求最大的數(shù)，只要在負數(shù)中比較，找其最小數(shù)即可；若要求最大的數(shù)，只要在正數(shù)中比較，找其最大的數(shù)即可當一組數(shù)中有無只要在正數(shù)中比較，找其最大的數(shù)即可當一組數(shù)中有無理數(shù)時，通常先把無理數(shù)轉化為有理數(shù)再進行比較理數(shù)時，通常先把無理數(shù)轉化為有理數(shù)再進行比較9 9(2017(

16、2017東營東營) )下列四個數(shù)中，最大的數(shù)是下列四個數(shù)中，最大的數(shù)是( )( )A A3 3 B. B. C C0 0 D D1010(2017(2017歷城一模歷城一模) )在在 ，1 1，3 3，0 0這四個實數(shù)中，這四個實數(shù)中，最小的是最小的是( )( )A. BA. B1 C1 C3 D3 D0 0D D3C C22考點四考點四 實數(shù)的運算實數(shù)的運算 (5(5年年5 5考考) )例例5 5(2017(2017濟南濟南) )計算：計算：| |2 24|4|( )( )0 0 【分析分析】 根據(jù)實數(shù)的運算法則進行計算根據(jù)實數(shù)的運算法則進行計算【自主解答自主解答】 原式原式6 61 17.

17、7.故答案為故答案為7.7.3在實數(shù)的運算過程中，經常用到的公式有以下幾種：在實數(shù)的運算過程中，經常用到的公式有以下幾種：a ap p(a(a1 1) )p p ，a a0 01(a0)1(a0)，同時注意與實數(shù)的絕對值、，同時注意與實數(shù)的絕對值、二次根式的運算、特殊角的三角函數(shù)相結合的題目二次根式的運算、特殊角的三角函數(shù)相結合的題目p1a1111(2014(2014濟南濟南)|)|7 73|3| _ _ 1212(2016(2016濟南濟南) )計算：計算：2 21 1 _1313(2013(2013濟南濟南) )計算：計算：( ( 1)1)0 0tantan 45 45. .解：解：原式原式1 11 12.2.10102( 2)522013