2019-2020年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題復(fù)習(xí) 第一篇 代數(shù) 第1章 實(shí)數(shù)試題 新人教版

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1、2019-2020年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題復(fù)習(xí)第一篇代數(shù)第1章實(shí)數(shù)試題新人教 rr.rt 版 1．1實(shí)數(shù)的運(yùn)算 1.1.1★計(jì)算： 2013x20142014-2014x20132013. 解析將及分別分解為兩數(shù)的積，得 20142014-2014x10000+2014=2014x10001, 20132013=2013x10000+2013=2013x10001, 所以，原式=2013x2014x10001-2014x2013x10001=0. 評(píng)注一般地有 ?????? ，，， 1.1.2★計(jì)算： 1x2x3+2x4x6+7x14x21 1x3x5+2x6x10+7

2、x21x35 解析 1x2x3x(l+2x2x2+7x7x7) 丿原工式= 1x3x5(1+2x2x2+7x7x7) 1.1.3★計(jì)算:: 100 100 99 而 1 評(píng)注在做分?jǐn)?shù)加減法運(yùn)算時(shí)，根據(jù)特點(diǎn)，將其中一些分?jǐn)?shù)適當(dāng)拆開，使得拆開后有一些分?jǐn)?shù)可以相互抵消，達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的，這種方法叫拆項(xiàng)法．本例中，我們把拆成，即有其他常用的拆項(xiàng)方法如： 11(11A (1)或~)=丄1-——?它經(jīng)常用于分母各因子成等差數(shù)列，且公差為的情形. nx\n+d)dInn+d丿 (2) 1_1nx(n+1)x(n+2)2 11 nx(n+1)(n+1)x(

3、n+2) 1.1.4★計(jì)算: 解析原式=士+6^+炸+陽(yáng)+盒+爲(wèi)+爲(wèi) 11 +++ 24x2727x30 1 30x33 1111111111 +++++++++— 1854108180270378504648810990 1A 一+ 12丿 1 ++ 2x3x4 1(11A +—— 3(3033丿 1.1.5*★計(jì)算： 1 + 98x99x100 解析 因?yàn)? 1、-111k(k+1)(k+2)_21k(k+1) (k+1)(k+2)丿 所以 +1 2(1x299x100 2(2x33

4、x4丿 4949 19800 1(11) +—— 2(98x9999x100丿 +100 1.1.6*★計(jì)算：+++ 1+21+2+31+2+3+4解析因?yàn)? 2 1+2++nn(n+1) 2(11'(n 所以 原式=2+丄+丄+ 2x33x44x5 2 + 100x101 (1 1、、一?++ (32—442—4 解析對(duì)于正整數(shù)，有 1 + 1002—4丿 ，求與最接近的正整數(shù)． 1 1\ (1 1 1) 1+—+ +— — _+一+ + LI2 98丿

5、(5 6 102丿 =48x4 1 1 因?yàn)?2x(丄+丄+丄 f(99100101 102丿 <12x缶<2，所以’與最接近的正整數(shù)為25. 所以 (111) A=48x+++ (32—442—41002—4丿 =12xf1+1+1+1—丄—丄 102丿 I23499100101 102丿 =25—12x］丄+丄+丄+f(99100101 1.1.8**xx加上它的得到一個(gè)數(shù)，再加上所得的數(shù)的又得到一個(gè)數(shù)，再加上這次得數(shù)的又得到一個(gè) 數(shù)，?…依此類推，一直加到上一次得數(shù)的.最后得到數(shù)為 2008x f1+1: x f1+11 (2

6、丿 (3丿 x x1+ 1.1.9*計(jì)算: 2008丿 =2008x-x4x 23 20092008x2009 x= 20082 =2017036． 1 1 1 1 1- +— 1 ++- 1x22 x3 3x4 2012x2013 解析 因?yàn)? ??? 1 1 1 1 一+— + ++- 1x22 x3 3x4 2012x2013 仁11 (11、 ??? (111 12012 = 1 + — ++ —

7、 =1=， 2丿(23丿(20122013丿20132013 所以 12013 1111_2012?++++ 1x22x33x42012x2013 1.1.10*計(jì)算：… S_1-2+3-4++2007-2008. S_(1-2)+(3-4)++(2007-2008) 解析_(一1)+(-1)++(-1) 共1004個(gè).. =-1004 1.1.11★★計(jì)算:v' 1x2+2x3+3x4++19x20． 解析因?yàn)? 19x20_1(19x20x21-18x19x20), 3 所以1x2+2x3+3x4++19x20 _1x1x2x3+1(2x3x4-1x2

8、x3)++1(19x20x21-18x19x20) 333 1.1.12*★計(jì)算：1x2x3+2x3x4+3x4x5++28x29x30. 解析1x2x3+2x3x4+3x4x5++28x29x30 ??? _1x1x2x3x4+1(2x3x4x5-1x2x.3x4)++1(28x29x30x31-27x28x29x30) 444 1.1.13*★計(jì)算：. 解析設(shè)，則 1S_1+丄+ 2222 11 ++—, 21002101 所以，… 故． 評(píng)注一般地，對(duì)于求和：，我們常常采用如下方法，令則， 于是 1.1.14*★計(jì)算:: 解析設(shè)，則，所以 ， 1

9、.1.15*計(jì)算： (1 1 1) 1 1、 仁1 1) 1 1 1) _+_+ + 1+ + + - 1+—+ + _+一+ + 12 3 1999丿 2 1998丿 V2 1999丿 V 2 3 1998丿 解析?設(shè), 1 1999 貝9原式=a(1+b)一(1+a)b=a-b= 1.1.16*★計(jì)算下列繁分?jǐn)?shù): 1- 1 xx個(gè)減號(hào)）． 1- 1- 1 T13 355 解析先耐心地算幾步，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律．可將用字母代替（這樣可以得到更一般的結(jié)論）．自下而上逐步算出

10、由此可見，每計(jì)算3步，又重新出現(xiàn)，即3是一個(gè)周期．而，所以，原式．特別地，在時(shí)，得出本題的答案是． 1.1.17*★比較S=-+-+3+—++—與2的大小. n248162 解析先將中的每一個(gè)數(shù)拆成兩數(shù)的差： 所以， fc3) f34) f4 5) f5 6) + ——— + —— -— + —— -—— f ++ (2丿 124丿 14 8丿 18 16丿 n+1 S —n-1 n 好 1.1.18★★★已知 a=11166+12%67+13368+14x69+15x70x⑹, 11x

11、65+12x66+13x67+14x68+15x69 問(wèn):的整數(shù)部分是多少？ 解析我們只要估算出在哪兩個(gè)相鄰整數(shù)之間即可 (11x66+12x67+13x68+14x69+15x70)“ a=x100 (11x65+12x66+13x67+14x68+15x69丿 [11心+哄12x(66+哄13心+】)+14x(68+哄15x(69+】)]x100 11x65+12x66+13x67+14x68+15x69 (11x65+11+12x66+12+13x67+13+14x68+14+15x69+15)“ x100 (11x65+12x66+13x67+14x68+15x69

12、丿 L11+12+13+14+15)“ 1+x100 (11x65+12x66+13x67+14x68+15x69丿 這里b= f11+12+13+14+15]x100, (11x65+12x66+13x67+14x68+15x69丿 面進(jìn)一步估計(jì)介于哪兩個(gè)相鄰整數(shù)之間. f11+12+13+14+15]x100< (11x65+12x66+13x67+1

13、4x68+15x69丿 f11+12+13+14+15]x100 (11x65+12x65+13x65+14x65+15x65丿 11+12+13+14+15 (11+12+13+14+15)x65 x100= 100 65 f11+12+13+14+15]x100 (11x65+12x66+13x67+14x68+15x69丿 100 (11+12+13+14+\5x100=型>1. (11+12+13+14+15)x6969 2一4a+8) =(a2+4a+ >f11+12+13+14+15]x100 (11x69+12x69+1

14、3x69+14x69+15x69丿 所以，，．即的整數(shù)部分是101． 1.1.19*★在數(shù),，，，，，，的前面分別添加“”或“”，使它們的和為1,你能想出多少種方法？ 解析這8個(gè)有理數(shù)的分母都是10，只要2，3，4，5，6，7，8，9這8個(gè)整數(shù)的代數(shù)和為10即可 而，所以添加“”或“”后，正數(shù)的和應(yīng)為． 方法很多．如 23456789^ 1010101010101010 23456789^ 1010101010101010 23456789 1010101010101010 23456789 10101010101010102+A-土+丄-色丄+亙+2=1等 101

15、0101010101010 1.1.20★★計(jì)算 (74+64)(154+64)(234+64)(31+64)(394+64)(34+64)(114+64)(194+64)(274+64)(354+64)" 解析因?yàn)? a4+64=a4+16a2+64一16a2=a2+8/—16a2 =[(a+2)+4(a-2)+4 所以，原式等于 (52+4)(92+4)(132+4)(172+4)(212+4).(252+4)(292+4)(332+4)(372+4)(412+4) (12+4)(52+4)(92+4)(132+4)(172+4)-(212+4)(252+4)(292+4)(

16、332+4)(372+4) 1.1.21★★★求和： 1 1+12+14 2 1+22+24 3 1+32+34 + 1+1002+1004 解析因?yàn)?+k2+k4=\1+k2丿一k2 =(1-k+k2)(1 +k+k2 所以 k1f111+k2+k4=2(k(k-1)+1一k(k+1)+1? 原原式=2 (11、 +— (99x100+1100x101+1丿 1.1.22*★已知，其中為正整數(shù)，證明: 解析注意到 a n 2n 1—1 2n—12n+1—1 所以 111111 =—+—++— 2—122—122

17、—123—122013—122014—1 1.1.23*★★求下列分式的值：+++ 12—100+500022—200+5000992—9900+5000 解析由于… k2(100—k k2—100k+5000(100—k)2—100(100—k)+5000 2k22(100-k1 k2+(100—k)2(100—k)2+k2 由此，原式 + (12—100+5000 992、 + 992—9900+5000丿 (492 + (492—4900+5000 + 512—5100+5000丿 502 502—5000+5000 評(píng)注對(duì)通

18、項(xiàng)的分子分母同乘2，發(fā)現(xiàn)可以首尾配對(duì)是本題的關(guān)鍵1.1.24*★設(shè)，求的整數(shù)部分. 解析對(duì)于，，，，因?yàn)? 11_1(1—1、 k3

19、 解析這是一個(gè)含有多層絕對(duì)值符號(hào)的問(wèn)題，可從里往外一層一層地去絕對(duì)值符號(hào)．原式（因?yàn)椋? （因?yàn)椋? 1.2.3*若，化簡(jiǎn). 解析因?yàn)?，所以，從? IW-2x|=|-x-2x|=|-3x|=-3x. 因此，原式． 評(píng)注根據(jù)所給的條件，先確定絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的代數(shù)式的正負(fù)，然后化去絕對(duì)值符號(hào)．若有多層絕對(duì)值符號(hào)，即在一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)又含有絕對(duì)值符號(hào)（如本題中的分子），通常從最內(nèi)層開始，逐層向外化去絕對(duì)值符號(hào)． 1.2.4★化簡(jiǎn)：. 解析本題是兩個(gè)絕對(duì)值和的問(wèn)題．解題的關(guān)鍵是如何同時(shí)去掉兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)．若分別去掉每個(gè)絕對(duì)值符號(hào)，則是很容易的事．例如，化簡(jiǎn)，只要考慮的正負(fù)，即可去掉絕對(duì)值符號(hào)

20、．這里我們是分是一個(gè)分界點(diǎn)．類似地，對(duì)于而言，是一個(gè)分界點(diǎn)．為同時(shí)去掉兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)，我們把兩個(gè)分界點(diǎn)和標(biāo)在數(shù)軸上，把數(shù)軸分為三個(gè)部分（如圖所示），即 1011x —— 32 這樣我們就可以分類討論化簡(jiǎn)了 （1）當(dāng)時(shí)， 原式； （2）當(dāng)時(shí)， 原式； （3）當(dāng)時(shí)， 原式． 即 1 -5x,當(dāng)兀<-3時(shí); |3x+1|+12x-1|= 11 x+2,當(dāng)-3丟x<2時(shí) 評(píng)注解這類題目，可先求出使各個(gè)絕對(duì)值等于零的變量字母的值，即先求出各個(gè)分界點(diǎn)，然后在 數(shù)軸上標(biāo)出這些分界點(diǎn)，這樣就將數(shù)成分幾個(gè)部分，根據(jù)變量字母的這些取值范圍分類討論化簡(jiǎn)

21、，這種方法又稱為“零點(diǎn)分段法”． 1.2.5★設(shè)，且，試化簡(jiǎn) 解析因?yàn)?，，所以．，即，所? ，， 因此|x+1|-|x-2=-(x+1)一[一(x-2)] 1.2.6*★化簡(jiǎn). 解析先找零點(diǎn)． 由得.由即，得， 從而或.由得.所以零點(diǎn)共有，，三個(gè).因此，我們應(yīng)將數(shù)軸分成4個(gè)部分，即當(dāng)時(shí) 原式 當(dāng)時(shí) 原式當(dāng)， 原式 當(dāng)時(shí) 原式 —2x—2,x<—1, 原式=V 評(píng)注 2x+2,—1Wx<1 4,1Wx<3 2x—2,x三3由于本例中含又重絕對(duì)值，采用零點(diǎn)分段法時(shí)，不要忘了考慮的零點(diǎn). 1.2.7^★若的值恒為常數(shù)，求滿足的條件及此常數(shù)的值. 解析要使原

22、式對(duì)任何數(shù)恒為常數(shù)，則去掉絕對(duì)值符號(hào)，化簡(jiǎn)合并時(shí)，必須使含的項(xiàng)相加為零，即 的系數(shù)之和為零，故本題只有一種情況.因此必須有且.故應(yīng)滿足的條件是解得. 此時(shí)，原式=2x+(4—5x)—(1—3x)+4=7. 1.2.8*★如果，且，求的最大和最小值. 解析(1)當(dāng)時(shí)，有 =x+1+2x-(x-2)=2x+3,所以． （2）當(dāng)時(shí)，有 y=|x+1|-2|x|+|x-2|=x+1-2x-（x-2）=3-2x 所以．綜上所述，的最值是3，最小值是． 1.2.9*★求代數(shù)式的最小值. -13 -11012 解析設(shè)y=|x+11|+|x-12+|x+13，根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，我們

23、知道表示數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到對(duì) 應(yīng)、、的點(diǎn)的距離之和，下面分類討論： 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，. 因此，當(dāng)時(shí)，取最小值25. i.2.io*★如果為有理數(shù)，求代數(shù)式m-11+m-3+m+5+m+6的最小值. 解析分，，，，五個(gè)部分進(jìn)行討論.去掉絕對(duì)值符號(hào)，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)得到： 當(dāng)時(shí)，原式，最小值為17； 當(dāng)時(shí)，原式，最小值為15；當(dāng)時(shí)，原式，是一固定值； 當(dāng)時(shí)，原式，最小值大于15；當(dāng)時(shí)，原式，最小值大于15. 綜上所述，原代數(shù)式的最小值為15. 評(píng)注此題還可以用絕對(duì)值的向何意義求解.本題就是要在數(shù)軸上找一點(diǎn)，使它到、、1、3的距離之和最小.這一點(diǎn)顯然應(yīng)在與之間（包括這兩點(diǎn)）的

24、任意一點(diǎn)，它到、、的距離之和為15，就是要求的最小值. 1.2.11★★已知，，且 k=lx+yl+ly+1+12y一x一4， 求的最大值和最小值.解析由題設(shè)條件知：，. 于是，.所以 （1）當(dāng)時(shí)，有 k=|x+y|+|y+1|+〔2y—x—4 —(x+y)+y+1—(2y —x—4) 所以 2)當(dāng)時(shí)，有 k=x+y+y+1—\2y—x—4/=2x+5, 所以． 因此，的最大值是為7，最小值為3． 1.2.12*★已知 ，求的最大值． 解析首先使用“零點(diǎn)分段法”將化簡(jiǎn)，然后在各個(gè)取值范圍內(nèi)求出的最大值，再加以比較，從中選出最大者． 有三個(gè)分界點(diǎn)

25、：，，． 1) 當(dāng)時(shí)， y=—( 、2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1， 由于， 所以， 的最大值是. 2) 當(dāng)時(shí)， y=(2 x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11， 由于， 所以， 的最大值是6. 3) 當(dāng)時(shí)， y=(2 x+6)—(x—1)—4(x+1)=—3x+3 由于 ，所以 的最大值是6 4) 當(dāng)時(shí)， y=(2 x+6)+(x—1)—4(x+1)=—x+1， 由于， 所以， 的最大值是0. 綜上可知，當(dāng)時(shí)，取得最大值為6． 1.2.13★★★設(shè)，求 |x—a|+|x—b+|x—c\+|x—d\的最小

26、值. 解析設(shè)、、、、在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、、、、，則表示線段之長(zhǎng)，同理，，，分別表示線段，，之長(zhǎng)，現(xiàn)要求，，，這和的值最小，就是要在數(shù)軸上找一點(diǎn)，使該點(diǎn)到、、四點(diǎn)距離之和最小．因?yàn)?，所以、、、的排列?yīng)如圖所示： IIII■■ ABXCDx 所以當(dāng)在、之間時(shí)，距離和最小，這個(gè)最小值為，即． 1.2.14*★、為有理數(shù)，且，試求的值. 解析當(dāng)時(shí)，由得，故此時(shí)． 當(dāng)時(shí)，由\a+b=—(a+b)=—a—b=a—b，得，故此時(shí). 所以，不管是還是，、中至少有一個(gè)為0，因此，. 1.2.15*★若、、為整數(shù)，且，試計(jì)算的值. 解析因?yàn)?、、均為整?shù)，則，也應(yīng)為整數(shù)，且，為兩個(gè)非負(fù)整數(shù)，

27、和為1，所以只能是 且，① 或者且.② 由①有且，于是；由②有且，于是.無(wú)論①或②都有 且， 所以. 1.2.16*★★將1,2,…，100這100個(gè)正整數(shù)任意分成50組，每組兩個(gè)數(shù)，現(xiàn)將每組的兩個(gè)數(shù)中任一個(gè)數(shù)記為，另一個(gè)數(shù)記為，代入代數(shù)式中進(jìn)行計(jì)算，求出其結(jié)果，50組都代入后可求得個(gè)值，求這50個(gè)值的和的最大值. 解析代數(shù)式的值就是、中的較大數(shù)，為保證所計(jì)算出的50個(gè)值之和最大，分組時(shí)不要把51,52,…， 100這50個(gè)數(shù)中任兩個(gè)分成一組即可. 對(duì)于任意一組中的兩個(gè)數(shù)、，不妨設(shè)，則代數(shù)式 (Ia-b+a+b)=l(a-b+a+b)=a 22 于是這50個(gè)值之和與大數(shù)

28、有關(guān)，所以，這50個(gè)值的和的最大值為1.2.17*★★設(shè)個(gè)有理數(shù),，…，滿足，且求的最小值． 解析先估計(jì)的下界,由,及,知 所以,．又當(dāng)時(shí),取 [0.95,i=1,3,5,,19, &=[—0.95,i=2,4,6,…,20, 滿足已知條件，所以，正整數(shù)的最小值為20. 1.3實(shí)數(shù)的判定 1.3.1*★證明循環(huán)小數(shù)是有理數(shù). 解析要說(shuō)明一個(gè)數(shù)是有理數(shù)，其關(guān)鍵要看它能否寫成兩個(gè)整數(shù)比的形式.設(shè) ，① 兩邊同乘以100得 .② ②①得 99x=261.54-2.61=258.93，所以既然能寫成兩個(gè)整數(shù)比的形式，從而也就證明了是有理數(shù). 1.3.2*★已知是無(wú)理數(shù)，且是

29、有理數(shù)，在上述假定下，分析下面四個(gè)結(jié)論是: (1) 是有理數(shù)； (2) 是無(wú)理數(shù)； (3) 是有理數(shù)； (4) 是無(wú)理數(shù).哪些是正確的？哪些是錯(cuò)誤的？解析取無(wú)理數(shù)，這時(shí) (x+1)(x+3)=C3—1)C 是有理數(shù)，而是無(wú)理數(shù)，故結(jié)論(1)不正確.仍取，仿上可知結(jié)論(3)不正確.由于 (x—1)(x—3)=x2—4x+3=x2—4x+3—8x=(x+1)(x+3)-8x， 且是有理數(shù)，是無(wú)理數(shù)，故是無(wú)理數(shù)，即結(jié)論(2)正確.同樣，由 (x-1)2=(x+1)(x+3)—6x-2，知結(jié)論(4)正確. 1.3.3*★求證：是有理數(shù). 解析要證明所給的數(shù)能表示成(，為整數(shù)，)的

30、形式，關(guān)鍵是要證明是完全平方數(shù) =111+10n+i+222X10+5 (n-1)個(gè) 10n-1—1 9 二-G02 9 n個(gè) 10n—1 x10n+1+2xx10+5 9 -10n+1+2X10n+1-20+45) _1 -9 所以 n +10x10n+25)_9(10n+小 因?yàn)榕c3均為整數(shù)，所以是有理數(shù)． 1.3.4*★證明是無(wú)理數(shù). 解析要證明一個(gè)實(shí)數(shù)為無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是一件極難辦到的事．由于有理數(shù)與無(wú)理數(shù)共同組成了實(shí)數(shù)集，且二者是矛盾的兩個(gè)對(duì)立面，所以，判定一個(gè)實(shí)數(shù)是無(wú)理數(shù)時(shí)，常常采用反證法． 假設(shè)不是無(wú)理數(shù)，則必為有理數(shù)．設(shè)（、是互

31、質(zhì)的正整數(shù)），兩邊平方有 ，① 所以一定是偶數(shù).設(shè)（是正整數(shù)），代入①得所以也是偶數(shù)．、均為偶數(shù)和與互質(zhì)矛盾，所以不是有理數(shù)，于是是無(wú)理數(shù)．評(píng)注只要是質(zhì)數(shù)，就一定是無(wú)理數(shù)，這個(gè)結(jié)論的證明并不困難，請(qǐng)自行完成． 1.3.5*★設(shè)是正整數(shù)，是有理數(shù)，則必是完全平方數(shù)；反過(guò)來(lái)，如果是完全平方數(shù)，則是有理數(shù)（而且是正整數(shù)）． 解析第二個(gè)結(jié)論顯然成立，下面證明第一個(gè)結(jié)論．因是有理數(shù)，故可設(shè)（、為互質(zhì)的正整數(shù)），從而．① 我們知道，任何一個(gè)平方數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解式中，每一個(gè)質(zhì)因數(shù)的指數(shù)都是正偶數(shù)（反過(guò)來(lái)也成立）；而非平方（自然）數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解式中，至少有一個(gè)質(zhì)因數(shù)的指數(shù)是奇數(shù)．由此可見，如果不是完全

32、平方數(shù)，那么無(wú)論與有無(wú)相同的質(zhì)因數(shù)，在的質(zhì)因數(shù)分解式中，至少有一個(gè)質(zhì)因數(shù)的指數(shù)是奇數(shù)，即不是平方數(shù)． 這樣①式不可能成立．所以，是完全平方數(shù)． 評(píng)注本題是一個(gè)重要的結(jié)論，它可作為定理使用，讀者應(yīng)熟悉它．有了這個(gè)結(jié)論，可以立即斷定、、等都是無(wú)理數(shù)． 1.3.6*★設(shè)、及都是整數(shù)，證明：及都是整數(shù). 解析由于負(fù)數(shù)不能開平方，故由題設(shè)知、都是非負(fù)整數(shù)．若或，易知結(jié)論成立．若、都是正整數(shù)，由，兩邊平方得 a， b_Ca+\:b)—2\-a(a+\：b)+ 所以． 由所設(shè)、及都整數(shù)，故是有理數(shù)，從而是平方數(shù)，故是整數(shù)，從而是整數(shù) 1.3.7*★求滿足等式的有理數(shù)、． 解析把原式兩邊立

33、方，得 )+巨(3 y+2y3 因、是有理數(shù)，故 解得，或，，易檢驗(yàn)它們都滿足原式 1.3.8*★求滿足條件的正整數(shù)、、． 解析將原式兩邊平方得 ．① 顯然，是無(wú)理數(shù)，假設(shè)是有理數(shù)，則是有理數(shù)，這與①式矛盾，所以必為無(wú)理數(shù). 由①式變形為 假設(shè)，則必為非零有理數(shù)，設(shè)為，即，所以有 ， 兩邊平方得 ， 所以． 因?yàn)椋允菬o(wú)理數(shù)，而是有理數(shù)，矛盾．所以 且． 所以 又因?yàn)?，所以，所以滿足條件的正整數(shù)為：，，或，，． 1.3.9*★若（其中、、為有理數(shù)，為無(wú)理數(shù)），則，，反之，亦成立. 解析設(shè)法將等式變形，利用有理數(shù)不能等于無(wú)理數(shù)來(lái)證明． 將原

34、式變形為．若，則． 因?yàn)槭菬o(wú)理數(shù)，而是有理數(shù)，矛盾．所以必有，進(jìn)而有． 反之，顯然成立． 評(píng)注本例的結(jié)論是一個(gè)常用的重要運(yùn)算性質(zhì)． 1.3.10*★設(shè)與是兩個(gè)不相等的有理數(shù)，試判斷實(shí)數(shù)是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)，并說(shuō)明理由. 解析假設(shè)是有理數(shù)，設(shè)其為，即 整理得． 由1.3.9題知 ，， 即，這與已知矛盾．所以原假設(shè)是有理數(shù)錯(cuò)誤，故是無(wú)理數(shù)． 評(píng)注本例并未給出確定結(jié)論，需要解題者自己發(fā)現(xiàn)正確的結(jié)論．解這樣的問(wèn)題時(shí)，可以先找到一個(gè)立足點(diǎn)，如本例以為有理數(shù)作為立足點(diǎn)，以其作為推理的基礎(chǔ)． 1.3.11*★★已知、是兩個(gè)任意有理數(shù)，且，求證：與之間存在著無(wú)窮多個(gè)有理數(shù)（即有理數(shù)集具有稠

35、密性）． 解析只要構(gòu)造出符合條件的有理數(shù)，題目即可被證明． 因?yàn)?，所以，所? 設(shè)，顯然是有理數(shù)（因?yàn)?、為有理?shù)）．因?yàn)椋?，同理可證．設(shè)，顯然也是有理數(shù)，依此類推，設(shè)為任意正整數(shù)，則有，且為理數(shù)，所以在和之間存在無(wú)窮多個(gè)有理數(shù)． 1.3.12*★★已知在等式中，、、都是有理數(shù)，是無(wú)理數(shù)，問(wèn)： （1）當(dāng)、、、滿足什么條件時(shí)，是有理數(shù)； （2）當(dāng)、、、滿足什么條件時(shí)，是無(wú)理數(shù)． 解析（1）當(dāng)，時(shí)，為有理數(shù)． 當(dāng)時(shí)，有 所以，只有當(dāng)，即時(shí)，為有理數(shù)． 故當(dāng)，且；或，且時(shí)，為有理數(shù)． （2）當(dāng)，，時(shí)，為無(wú)理數(shù)． 當(dāng)時(shí)，有 ， 故只有當(dāng)，即時(shí)，為無(wú)理數(shù)． 所以，當(dāng)，，；或

36、，，為無(wú)理數(shù)． 1.3.13*★已知、是兩個(gè)任意有理數(shù)，且，問(wèn)是否存在無(wú)理數(shù)，使得成立? 解析因?yàn)?，，所? ， 即．① 又因?yàn)椋? ， 即．② 由①，②有 所以． 2b+€2(a-b) 2 因?yàn)椤⑹怯欣頂?shù)，且，所以是無(wú)理數(shù)，即存在無(wú)理數(shù)，使得成立． 1.3.14*★已知數(shù)的小數(shù)部分是，求 的值． 解析因?yàn)闊o(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，所以不可能把一個(gè)無(wú)理數(shù)的小數(shù)部分一位一位確定下來(lái)，這類涉及無(wú)理數(shù)小數(shù)部分的計(jì)算題，往往是先估計(jì)它的整數(shù)部分（這是容易確定的），然后再尋求其小數(shù)部分的表示方法． 因?yàn)?，即，所以的整?shù)部分為3．設(shè)，兩邊平方得所以． b4+12

37、b3+37b2+6b-20 -20 =(b4+2-6b3+36b2)+(b2+=(b2+6b)+(b2+6b)-20 1.3.15*★已知：、是有理數(shù)，，且滿足，試求的值.解析將代入方程，得 （45+1）345+1 ［丁J-p?丁+q=0， 化簡(jiǎn)，得． 因?yàn)?、都是有理?shù)，則解方程組，得所以． 評(píng)注本題應(yīng)用到了性質(zhì)：若、為有理數(shù)，為無(wú)理數(shù)， 1.3.16*★若為正整數(shù)，求證：必為無(wú)理數(shù)． 解析只需證為非完全平方數(shù)．而這只要證明它位于兩個(gè)相鄰的正整數(shù)的平方之間即可 n4+2n3+2n2+2n+1 =(n4+2n3+n2)+C2+2n+1)〉n+2n 又因?yàn)閚4+2n3+2

38、n2+2n+1

39、有矛盾．因此，不存在在個(gè)不同的素?cái)?shù)、，滿足，，． 1.3.18**★★設(shè)是的個(gè)位數(shù)字,，2,3,?…求證：是有理數(shù). 解析有理數(shù)的另一個(gè)定義是循環(huán)小數(shù)，即凡有理數(shù)都是循環(huán)小數(shù)，反之循環(huán)小數(shù)必為有理數(shù)．所以,要證是有理數(shù),只要證它為循環(huán)小數(shù)．因此本題我們從尋找它的循環(huán)節(jié)入手． 計(jì)算的前若干個(gè)值,尋找規(guī)律：1,5,4,0,5,1,0,4,5,5,6,0,9,5,0,6,5,9,0,0,1,5,4,0，5，1,0，4,….發(fā)現(xiàn)：，，，…，于是猜想：若此式成立，說(shuō)明是由20個(gè)數(shù)字組成循環(huán)節(jié)的循環(huán)小數(shù)，即 0.aaa=0.15405104556095065900. 12n 下面證?明.…

40、令，當(dāng)是10的倍數(shù)時(shí)，表明與有相同的個(gè)位數(shù)，而 =(n+1)2+(n+2)2++(n+20)2 =1 22+ +202). 由前面計(jì)算的若干值可知：是10的倍數(shù)，故成立，所以是一個(gè)有理數(shù).1.3.19*★已知、、均為有理數(shù)，如果它們中有三個(gè)數(shù)相等，求、的值.解析依題意，，否則無(wú)意義. 若，則，矛盾. 所以. 若，則由或都得到，矛盾.所以.因此，三個(gè)相等的代數(shù)式只能是： （1）或（2）. 當(dāng)時(shí)，由（1）得，矛盾；由（2）得，矛盾.所以.當(dāng)時(shí)，由（1）得，，. 由（2）得，，. 所以，. 1.3.20*★★表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，令. （1）找出一個(gè)實(shí)數(shù)滿足；

41、（2）證明：滿足上述等式的，都不是有理數(shù). 解析設(shè)，，，，貝I」、是整數(shù)，，.由題設(shè)，所以x+1=m+n+a+卩=m+n+1, x 1((—) x=m+n+1±\：(m+n+1)2-4,^2 令，貝，再驗(yàn)證它滿足 1）取，貝，于是，，所以 {x}+[J丨x. 丄厲-1+3—75=1. 22 2)設(shè)，，其中、是整數(shù)，，．則，．于是 當(dāng)時(shí)，，均不滿足當(dāng)時(shí)，若其中為正整數(shù)，則 (m+n+1—k)(m+n+1+k)=4. 由于，且與同奇偶，所以或均不可能.故不是完全平方數(shù)，從而是無(wú)理數(shù). 1.3.21^^★★設(shè)、是實(shí)數(shù)，對(duì)所有正整數(shù)，都是有理數(shù)，證明：是有理數(shù).解析

42、由題意，，，，…都是有理數(shù).而有如下“遞推關(guān)系”an+2+bn+2=(a+b)(an+1+bn+1)—abCn+bn)， 所以 a4+b4=(a+b)(a3+b3)—ab(a2+b),a5+b5=(a+b)(a4+b4)—ab(a3+b3), 從中解出即可. 設(shè)，，則有 a4+b4=C3+b3)x—C2+b2)y,a5+b5=C4+b4)x—C3+b3)y, 消去，得 C2+b2)(a4+b4)—(a3+b3)] =Ca2+b2)C+b5)-Ca3+b3兀4+b4). 所以，當(dāng)(a2+b2)(a4+b4)—(a3+b3)工0，即時(shí), C2+b2)(a5+b5)—(a3+b3

43、)(a4+b4) \a2+b2)'a4+b4)—(a3+b3J2 x= 是有理數(shù). 當(dāng)時(shí)，若、全為0，則結(jié)論成立；若、中恰有一個(gè)為0，不妨設(shè)，則為有理數(shù)，從而為有理數(shù)；若，且均不為0，則 a3+b3 la-b丿2-Va2+b2丿 a2+b2+ 是有理數(shù)．從而命題得證 評(píng)注本題分析中給出的遞推關(guān)系：an+2+bn+2=(a+b)Cn+1+b"+l)-ab(an+bn)非常重要.遇到涉 及類型的問(wèn)題時(shí)，利用這一遞推關(guān)系，可以幫助我們解題． 1.3.22**★★設(shè)是給定的正有理數(shù). (1) 若是一個(gè)三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)的直角三角形的面積，證明：一定存在3個(gè)正有理數(shù)、、，使得 (2) 若存在3個(gè)正有理數(shù)、、，滿足 證明：存在一個(gè)三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)的直角三角形的三邊長(zhǎng)，、、都是有理數(shù)，且，.若，則，.這與、、都是有理數(shù)的假定矛盾，故. 不妨設(shè)，取，，，則、、都是正有理數(shù)，且 (a+b)2-c21 x2-y2==—ab=A, 42 c2-(b-a)21 y2-z2==—ab=A. 42 2)設(shè)三個(gè)正有理數(shù)、、滿足，則.取，，，則、、都是正有理數(shù)，且 即存在一個(gè)三邊長(zhǎng)、、都是正有理數(shù)的直角三角形，它的面積等于.