中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)《幾何證明》壓軸題(含答案解析)

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1、2017年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)《幾何證明》壓軸題(含答案解析) 幾何證明壓軸題(中考) 1、如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,且AB=1,BC=2,tan∠ADC=2. (1) 求證:DC=BC; (2) E是梯形內(nèi)一點,F(xiàn)是梯形外一點,且∠EDC=∠FBC,DE=BF,試判斷△ECF的形狀,并證明你的結(jié)論; (3) 在(2)的條件下,當(dāng)BE:CE=1:2,∠BEC=135°時,求sin∠BFE的值. [解析] (1)過A作DC的垂線AM交DC于M, 則AM=BC=2. 又tan∠ADC=2,所以.即DC=BC. (2)等腰三角形. 證明:因為. 所以,

2、△DEC≌△BFC 所以,. 所以, 即△ECF是等腰直角三角形. (3)設(shè),則,所以. 因為,又,所以. 所以 所以. 2、已知:如圖,在□ABCD 中,E、F分別為邊AB、CD的中點,BD是對角線,AG∥DB交CB的延長線于G. (1)求證:△ADE≌△CBF; (2)若四邊形 BEDF是菱形,則四邊形AGBD是什么特殊四邊形?并證明你的結(jié)論. [解析] (1)∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴∠1=∠C,AD=CB,AB=CD . ∵點E 、F分別是AB、CD的中點, ∴AE=AB ,CF=CD . ∴AE=CF ∴△ADE≌△CBF . (

3、2)當(dāng)四邊形BEDF是菱形時, 四邊形 AGBD是矩形. ∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴AD∥BC . ∵AG∥BD , ∴四邊形 AGBD 是平行四邊形. ∵四邊形 BEDF 是菱形, ∴DE=BE . ∵AE=BE , ∴AE=BE=DE . ∴∠1=∠2,∠3=∠4. ∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°, ∴2∠2+2∠3=180°. ∴∠2+∠3=90°. 即∠ADB=90°. ∴四邊形AGBD是矩形 3、如圖13-1,一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起.現(xiàn)正方形ABCD保持不動,將三角尺GEF繞斜邊EF

4、的中點O(點O也是BD中點)按順時針方向旋轉(zhuǎn). (1)如圖13-2,當(dāng)EF與AB相交于點M,GF與BD相交于點N時,通過觀察或測量BM,F(xiàn)N的長度,猜想BM,F(xiàn)N滿足的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想; 圖13-1 A( G ) B( E ) C O D( F ) 圖13-2 E A B D G F O M N C (2)若三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖13-3所示的位置時,線段FE的延長線與AB的延長線相交于點M,線段BD的延長線與GF的延長線相交于點N,此時,(1)中的猜想還成立嗎?若成立,請證明;若不成立,請說明理由. 圖13-3 A B D

5、 G E F O M N C [解析](1)BM=FN. 證明:∵△GEF是等腰直角三角形,四邊形ABCD是正方形, ∴ ∠ABD =∠F =45°,OB = OF. 又∵∠BOM=∠FON, ∴ △OBM≌△OFN . ∴ BM=FN. (2) BM=FN仍然成立. (3) 證明:∵△GEF是等腰直角三角形,四邊形ABCD是正方形, ∴∠DBA=∠GFE=45°,OB=OF. ∴∠MBO=∠NFO=135°. 又∵∠MOB=∠NOF, ∴ △OBM≌△OFN . ∴ BM=FN. 4、如圖,已知⊙

6、O的直徑AB垂直于弦CD于E,連結(jié)AD、BD、OC、OD,且OD=5。 (1)若,求CD的長; (2)若 ∠ADO:∠EDO=4:1,求扇形OAC(陰影部分)的面積(結(jié)果保留)。 [解析] (1)因為AB是⊙O的直徑,OD=5 所以∠ADB=90°,AB=10 在Rt△ABD中, 又,所以,所以 因為∠ADB=90°,AB⊥CD 所以 所以 所以 所以 (2)因為AB是⊙O的直徑,AB⊥CD 所以 所以∠BAD=∠CDB,∠AOC=∠AOD 因為AO=DO,所以∠BAD=∠ADO 所以∠CDB=∠ADO 設(shè)∠

7、ADO=4x,則∠CDB=4x 由∠ADO:∠EDO=4:1,則∠EDO=x 因為∠ADO+∠EDO+∠EDB=90° 所以 所以x=10° 所以∠AOD=180°-(∠OAD+∠ADO)=100° 所以∠AOC=∠AOD=100° 5、如圖,已知:C是以AB為直徑的半圓O上一點,CH⊥AB于點H,直線AC與過B點的切線相交于點D,E為CH中點,連接AE并延長交BD于點F,直線CF交直線AB于點G. (1)求證:點F是BD中點; (2)求證:CG是⊙O的切線; (3)若FB=FE=2,求⊙O的半徑. [解析] (1)證明:

8、∵CH⊥AB,DB⊥AB,∴△AEH∽AFB,△ACE∽△ADF ∴,∵HE=EC,∴BF=FD (2)方法一:連接CB、OC, ∵AB是直徑,∴∠ACB=90°∵F是BD中點, ∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO ∴∠OCF=90°,∴CG是⊙O的切線---------6′ 方法二:可證明△OCF≌△OBF(參照方法一標(biāo)準(zhǔn)得分) (3)解:由FC=FB=FE得:∠FCE=∠FEC 可證得:FA=FG,且AB=BG 由切割線定理得:(2+FG)2=BG×AG=2BG2 在Rt△BGF中,由勾股定

9、理得:BG2=FG2-BF2  由、得:FG2-4FG-12=0 解之得:FG1=6,F(xiàn)G2=-2(舍去) ∴AB=BG= ∴⊙O半徑為2 6、如圖,已知O為原點,點A的坐標(biāo)為(4,3), ⊙A的半徑為2.過A作直線平行于軸,點P在直線上運動. (1)當(dāng)點P在⊙O上時,請你直接寫出它的坐標(biāo); (2)設(shè)點P的橫坐標(biāo)為12,試判斷直線OP與⊙A的位置關(guān)系,并說明理由. [解析] 解: ⑴點P的坐標(biāo)是(2,3)或(6,3) ⑵作AC⊥OP,C為垂足. ∵∠ACP=∠OBP=,∠1=∠1 ∴△ACP∽△OBP ∴

10、 在中,,又AP=12-4=8, ∴ ∴AC=≈1.94 ∵1.94<2 ∴OP與⊙A相交. 7、如圖,延長⊙O的半徑OA到B,使OA=AB, DE是圓的一條切線,E是切點,過點B作DE的垂線, C A B D O E 垂足為點C. 求證:∠ACB=∠OAC. [解析] 證明:連結(jié)OE、AE,并過點A作AF⊥DE于點F, (3分) ∵DE是圓的一條切線,E是切點, ∴OE⊥DC, 又∵BC⊥DE, ∴

11、OE∥AF∥BC. ∴∠1=∠ACB,∠2=∠3. ∵OA=OE, ∴∠4=∠3. ∴∠4=∠2. 又∵點A是OB的中點, ∴點F是EC的中點. ∴AE=AC. ∴∠1=∠2. ∴∠4=∠2=∠1. 即∠ACB=∠OAC. 8、如圖1,一架長4米的梯子AB斜靠在與地面OM垂直的墻壁ON上,梯子與地面的傾斜角α為. ⑴求AO與BO的長; ⑵若梯子頂端A沿NO下滑,同時底端B沿OM向右滑行. ①如圖2,設(shè)A點下滑到C點,B點向右滑行到D點,并且AC:BD=2:3,試計算梯子頂端A沿NO下滑多少米; ②如圖3,當(dāng)A點下滑到A’點,B點向右滑

12、行到B’點時,梯子AB的中點P也隨之運動到P’點.若∠POP’= ,試求AA’的長. [解析] ⑴中,∠O=,∠α= ∴,∠OAB=,又AB=4米, ∴米. 米. -------------- (3分) ⑵設(shè)在中, 根據(jù)勾股定理: ∴ ------------- (5分) ∴ ∵  ∴ ∴ ------------- (7分) AC=2x= 即梯子頂端A沿NO下滑了米. ---- (8分) ⑶∵點P和點分別是的斜邊AB與的斜邊的中點 ∴, ------------- (9分) ∴------- (10分) ∴ ∴ ∵ ∴ ----------------------- (11分) ∴----- (12分) ∴米. -------- (13分) 6 / 6

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