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1、滿滿 分分 技技 法法問題問題找點找點求點坐標求點坐標“萬能法萬能法”其他方法其他方法直直角角三三角角形形 已知點已知點A、B和直線和直線l，在，在l上求點上求點P，使，使PAB為直為直角三角形角三角形 分別過點分別過點A、B作作AB的垂線，再以線的垂線，再以線段段AB為直徑作圓，為直徑作圓，兩垂線和圓與兩垂線和圓與l的交的交點即為所有點即為所有P點點分別表示出點分別表示出點A、B、P的坐標，再的坐標，再表示出線段表示出線段AB、BP、AP的長度，的長度，由由AB2BP2AP2、BP2AB2AP2、AP2AB2BP2列方程列方程解出坐標解出坐標作垂線，作垂線，用勾股定用勾股定理或相似理或相似建
2、立等量建立等量關系關系例例 4 如圖，拋物線如圖，拋物線yx22x3與與x軸交于軸交于A，B兩點，與兩點，與y軸軸交于點交于點C. (1)求求A、B、C點的坐標；點的坐標；解：已知拋物線解：已知拋物線yx22x3，令，令x0，得，得y3，C(0，3)令令y0，解得，解得x11，x23，A(1，0)，B(3，0)；(2)連接連接AC，BC，ACB是銳角三角形嗎？請說明理由；是銳角三角形嗎？請說明理由；解：解：ACB是銳角三角形；是銳角三角形；理由：由理由：由(1)知知A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)，AB4，AC ，BC3 ，ACABBC2，ABC是銳角三角形，是銳角三角形，210【思維
3、教練思維教練】分別說明分別說明ACB的三個內角是銳角的三個內角是銳角(3)在在y軸上是否存在點軸上是否存在點D，使，使ACD是以是以AC為直角邊的直角三為直角邊的直角三角形？若存在，求出點角形？若存在，求出點D坐標；若不存在，請說明理由；坐標；若不存在，請說明理由；【思維教練思維教練】由由(2)知知ACB為銳角三角形，則為銳角三角形，則ACD為銳角，為銳角，所以在以所以在以AC為直角邊的為直角邊的RtACD中，只能是中，只能是DAC90.所所以過點以過點A作作ADAC與與y軸的交點軸的交點D即為所求即為所求解：存在如解圖，過點解：存在如解圖，過點A作作ADAC，交，交y軸于點軸于點D，設點，設
4、點D坐標為坐標為(0，d)，在在RtOAD中，中，AD2OA2OD21d2，在在RtOAC中，中，AC2OA2OC2123210，在在RtACD中，中，DAC90，AD2AC2DC2，(1d2)10(d3)2，解得，解得d ，點點D坐標為坐標為(0， )；1313例例3 3題解圖題解圖(4)在拋物線上是否存在點在拋物線上是否存在點E，使，使BCE是以是以BC為直角邊的直角為直角邊的直角三角形？若存在，求出點三角形？若存在，求出點E坐標；若不存在，請說明理由；坐標；若不存在，請說明理由；【思維教練思維教練】BCE是以是以BC為直角邊的直角三角形，則可分為直角邊的直角三角形，則可分別過點別過點B、
5、C做線段做線段BC的垂線，與拋物線的交點即為所求的垂線，與拋物線的交點即為所求解：存在如解圖，過點解：存在如解圖，過點B作作BE1BC，交拋物線于點，交拋物線于點E1，過點過點C作作CE2BC交拋物線于點交拋物線于點E2，當當CBE190時，設時，設E1(e，e22e3)，根據勾股定理得，根據勾股定理得，E1B2(3e)2(e22e3)2e44e3e26e18，E1C2e2(e22e33)2e44e35e2，BC2323218，E1B2BC2E1C2，(e44e3e26e18)18e44e35e2，即即e2e60，解得，解得e13(不合題意，舍去不合題意，舍去)，e22，E1的坐標為的坐標為(
6、2，5)；當當BCE290，設，設E2(m，m22m3)根據勾股定理得根據勾股定理得E2C2m2(m22m33)2m44m35m2，E2B2(m3)2(m22m3)2m44m3m26m18，E2C2BC2BE22，m44m35m218m44m3m26m18，即即m2m0，解得解得m10(不合題意，舍去不合題意，舍去)，m21，E2的坐標為的坐標為(1，4)，綜上所述，存在點綜上所述，存在點E使使BCE是以是以BC為直角邊的直角三角形，為直角邊的直角三角形，點點E坐標為坐標為E1(2，5)或或E2(1，4)；(5)在拋物線對稱軸上是否存在點在拋物線對稱軸上是否存在點F，使，使BCF是直角三角形？
7、是直角三角形？若存在，求出點若存在，求出點F坐標；若不存在，說明理由坐標；若不存在，說明理由【思維教練思維教練】由拋物線解析式求出對稱軸，設出點由拋物線解析式求出對稱軸，設出點F坐標，表示出坐標，表示出BCF三邊三邊BC、BF、CF的長，要使的長，要使BCF為直角三角形，則三為直角三角形，則三邊滿足勾股定理，需分別討論邊滿足勾股定理，需分別討論BCF、BFC、CBF為直角時，滿足的邊之間的關系，再求出為直角時，滿足的邊之間的關系，再求出點點F坐標坐標解：存在點解：存在點F，使，使BCF為直角三角形，為直角三角形，拋物線拋物線yx22x3的對稱軸為直線的對稱軸為直線x 1，設設F點坐標為點坐標為
8、(1，f)，BF2(x BxF)2yF24f2，CFxF2(y FyC)21(3f)2f26f10，且且BC2OB2OC2323218，1 32 當當CBF90時，過點時，過點B作作BF1BC交對稱軸于點交對稱軸于點F1連連接接CF1(如解圖如解圖)，則有則有CF12BC2BF12，f26f10184f2，解得解得f2，F(xiàn)1(1，2)；當當BCF90時，過點時，過點C作作CF2BC，交對，交對 稱軸于點稱軸于點F2，連接，連接BF2(如解圖如解圖)，BF22BC2CF22，4f218f26f10，解得解得f4，F(xiàn)2(1，4)；如解圖，當如解圖，當BFC90時，以時，以BC為直徑的圓與對稱軸為直徑的圓與對稱軸交于點交于點F3，F(xiàn)4，則，則BF3CBF4C90，BF2CF2BC2，4f2(f26f10)18，即即f23f20，解得，解得f1 ，f2 ，F(xiàn)3(1， )，F(xiàn)4(1， )，綜上所述，存在點綜上所述，存在點F，使，使BCF為直角三角形，點為直角三角形，點F的坐標為的坐標為F1(1，2)或或F2(1，4)或或F3(1， )或或F4(1， )3172 3172 3172 3172 3172 3172
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