3、半衰期為(注:剩留量為最初質(zhì)量的一半所需的時間叫作半衰期.精確到0.1.已知lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1) ( )
A.5.2 B.6.6 C.7.1 D.8.3
【解析】選B.設(shè)半衰期為x,則有500(1-10%)x=250,即=,取對數(shù)得
x(lg 9-1)=-lg 2,所以x=≈≈6.6.
4.一個人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小時25%的速度減少,為了保障交通安全,某地根據(jù)《道路交通安全法》規(guī)定:駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.09 mg/mL,那么一個喝了少量酒的駕駛
4、員,至少經(jīng)過________小時才能開車.(精確到1小時,參考數(shù)據(jù):lg 3≈0.477,lg 4≈0.602) ( )?
A.4 B.5 C.6 D.7
【解析】選B.設(shè)至少經(jīng)過x小時才能開車,由題意得0.3(1-25%)x≤0.09,所以0.75x≤0.3,x≥log0.750.3≈4.2.所以至少經(jīng)過5小時才能開車.
二、填空題(每小題4分,共8分)
5.為綠化生活環(huán)境,某市開展植樹活動.今年全年植樹6.4萬棵,若植樹的棵數(shù)每年的增長率均為a,則經(jīng)過x年后植樹的棵數(shù)y與x之間的解析式是________,若計(jì)劃3年后全年植樹12.5萬棵,則a=________.?
5、
【解析】經(jīng)過x年后植樹的棵數(shù)y與x之間的解析式是y=6.4(1+a)x,由題意可知6.4(1+a)3=12.5,
所以(1+a)3=,所以1+a=,故a==25%.
答案:y=6.4(1+a)x 25%
6.某個病毒經(jīng)30 min繁殖為原來的2倍,且知病毒的繁殖規(guī)律為y=ekt(其中k為常數(shù),t表示時間,單位:h,y表示病毒個數(shù)),則k=________,經(jīng)過5 h,1個病毒能繁殖為________個.?
【解析】當(dāng)t=0.5時,y=2,所以2=.
所以k=2ln 2.所以y=e2tln 2,
當(dāng)t=5時,y=e10ln 2=210=1 024.
答案:2ln 2 1 024
6、
三、解答題(共26分)
7.(12分)家用冰箱制冷使用的氟化物,釋放后破壞了大氣上層的臭氧層.臭氧含量Q呈指數(shù)函數(shù)型變化,滿足關(guān)系式Q=Q0,其中Q0是臭氧的初始量.
(1)隨時間的增加,臭氧的含量是增加還是減少?
(2)多少年以后將會有一半的臭氧消失?(提示:ln 2≈0.693,ln 3≈1.099)
【解析】(1)因?yàn)镼0>0,-<0,e>1,
所以Q=Q0為減函數(shù),
所以隨時間的增加,臭氧的含量減少.
(2)設(shè)x年以后將會有一半的臭氧消失,
則Q=Q0=Q0,即=,
取對數(shù)可得-=ln,
解得x=400ln 2≈277.2.
所以278年以后將會有一半的臭氧消失
7、.
8.(14分)我國加入WTO時,根據(jù)達(dá)成的協(xié)議,某產(chǎn)品的市場供應(yīng)量P與市場價(jià)格x的關(guān)系近似滿足P(x)=(其中t為關(guān)稅的稅率,且t∈,x為市場價(jià)格,b,k為正常數(shù)).當(dāng)t=時的市場供應(yīng)量曲線如圖所示.
(1)根據(jù)圖象求b,k的值.
(2)當(dāng)關(guān)稅的稅率t=時,求市場供應(yīng)量P不低于1 024時,市場價(jià)格至少為多少?
【解析】(1)由題干圖可知解得k=6,b=5.
(2)由(1)可得P(x)=,
設(shè)m=(1-6t)(x-5)2,當(dāng)t=時,m=(x-5)2,因?yàn)槭袌龉?yīng)量P不低于1 024,
所以2m≥1 024,解得m≥10,
所以(x-5)2≥10,解得x≥10
故市場供
8、應(yīng)量P不低于1 024時,市場價(jià)格至少為10.
【加練·固】為了預(yù)防甲型H1N1流感,某學(xué)校對教室采用藥熏消毒法進(jìn)行消毒,已知藥物燃燒時室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(mg)與時間x(min )成正比例,藥物燃燒完后滿足y=,如圖所示,現(xiàn)測得藥物8 min燃畢,此時室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量為6 mg,請按題中所供給的信息,解析下列各題.
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式.
(2)研究表明,當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不低于3 mg且持續(xù)時間不低于10 min時才能有效殺滅空氣中的病菌,那么此次消毒是否有效?為什么?
【解析】(1)當(dāng)0≤x≤8時,設(shè)y=λx,代入(8,6),解得λ=,所以y
9、=x(0≤x≤8).
當(dāng)x≥8時,(8,6)代入y=,可得k=48,
所以y=(x≥8),
所以y=.
(2)當(dāng)x∈[0,8]時,x=3,解得x=4,
當(dāng)x>8時,=3,解得x=16.
所以空氣中每立方米的含藥量不低于3 mg時的持續(xù)時間為16-4=12>10,所以此次消毒有效.
(15分鐘·30分)
1.(4分)某企業(yè)2018年全年投入研發(fā)資金150萬元,為激勵創(chuàng)新,該企業(yè)計(jì)劃今后每年投入的研發(fā)資金比上年增長8%,則該企業(yè)全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是 ( )
(參考數(shù)據(jù):lg 1.08≈0.033,lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)
A.20
10、20 B.2021 C.2022 D.2023
【解析】選C.設(shè)該企業(yè)全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份為n,則150×(1+8%)n-2018≥200,
則n≥2018+≈2018+=2 021.8,
取n=2 022.
2.(4分)“學(xué)習(xí)曲線”可以用來描述學(xué)習(xí)某一任務(wù)的速度,假設(shè)函數(shù)t= -144lg中,t表示達(dá)到某一英文打字水平所需的學(xué)習(xí)時間,N表示每分鐘打出的字?jǐn)?shù),則當(dāng)N=40時,t=________.(已知lg 5≈0.699,lg 3≈0.477) ?
【解析】當(dāng)N=40時,則t=-144lg
=-144lg =-144(lg 5-2lg 3)≈36
11、.72.
答案:36.72
3.(4分)大氣污染已經(jīng)成為影響群眾身體健康的重要因素,治理大氣污染成為各鋼鐵企業(yè)的首要任務(wù),其中某鋼鐵廠在處理工業(yè)廢氣的過程中,每經(jīng)過一次處理可將有害氣體減少20%,那么要讓有害氣體減少到原來的5%,至少要經(jīng)過______次處理?(參考數(shù)據(jù):lg 0.05≈-1.301,lg 0.8≈-0.097.) ?
【解析】設(shè)工業(yè)有害氣體在未處理前為a,經(jīng)過x次處理后變?yōu)閥,則y=a(1-20%)x=a(80%)x.
由題意得=5%,即(80%)x=5%,兩邊同時取以10為底的對數(shù)得xlg0.8=lg0.05,
即x=≈13.4.因而需要14次處理才能使工業(yè)廢氣中
12、的有害氣體減少到原來的5%.
答案:14
4.(4分)汽車駕駛員發(fā)現(xiàn)前方有障礙物時會緊急剎車,這一過程中,由于人的反應(yīng)需要時間,汽車在慣性的作用下有一個剎車距離,設(shè)停車安全距離為S,駕駛員反應(yīng)時間內(nèi)汽車所行距離為S1,剎車距離為S2,則S=S1+S2.而S1與反應(yīng)時間t有關(guān),S1=10ln(t+1),S2與車速v有關(guān),S2=bv2.某人剎車反應(yīng)時間為-1秒,當(dāng)車速為60 km/h時,緊急剎車后滑行的距離為20米,若在限速100 km/h的高速公路上,則該汽車的安全距離為________.(精確到米) ?
【解析】因?yàn)閯x車反應(yīng)時間為-1秒,
所以S1=10ln(-1+1)=10ln=5,
13、
當(dāng)車速為60 km/h時,緊急剎車后滑行的距離為20米,則S2=b·(60)2=20,
解得b=,
即S2=v2,若v=100,
則S2=×1002≈56,S1=5,
則該汽車的安全距離S=S1+S2=5+56=61(米).
答案:61米
5.(14分)某工廠今年1月、2月、3月生產(chǎn)某種產(chǎn)品分別為1萬件、1.2萬件、1.3萬件,為估測以后每個月的產(chǎn)量,以這三個月的產(chǎn)量為依據(jù),用一個函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量y和月份數(shù)x的關(guān)系,模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)y=px2+qx+r或函數(shù)y=a·bx+c(其中a,b,c為常數(shù),a≠0),已知4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為1.37萬件,問選取哪個函數(shù)模型好
14、?請說明理由.
【解析】對于二次函數(shù)y=px2+qx+r,由已知得
得
所以y=-0.05x2+0.35x+0.7,當(dāng)x=4時,y1=-0.05×42+0.35×4+0.7=1.3.
又對于函數(shù)y=a·bx+c,由已知得
得
所以y=-0.8·+1.4,
當(dāng)x=4時,y2=-0.8·+1.4=1.35,根據(jù)四月份的實(shí)際產(chǎn)量為1.37萬件,
而|y2-1.37|=0.02<0.07=|y1-1.37|,所以選取函數(shù)y=-·+模型較好.
1.物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來描述:設(shè)物體的初始溫度是T0,經(jīng)過一定時間t后的溫度是T,則T-Ta=(T0-Ta)
15、·,其中Ta稱為環(huán)境溫度,h稱為半衰期.現(xiàn)有一杯用88 ℃熱水沖的速溶咖啡,放在24 ℃的房間中,如果咖啡降到40 ℃需要20分鐘,那么此杯咖啡從40 ℃降溫到32 ℃時,還需要________分鐘. ?
【解析】由題意可得Ta=24,T0=88,T=40,
可得:40-24=(88-24),解得h=10,
此杯咖啡從40 ℃降溫到32 ℃時,
可得:32-24=(40-24),解得t=10.
答案:10
2.在數(shù)學(xué)課外活動中,小明同學(xué)進(jìn)行了糖塊溶于水的實(shí)驗(yàn):將一塊質(zhì)量為7克的糖塊放入一定量的水中,測量不同時刻未溶解糖塊的質(zhì)量,得到若干組數(shù)據(jù),其中在第5分鐘末測得未溶解糖塊的質(zhì)量為
16、3.5克.聯(lián)想到教科書中研究“物體冷卻”的問題,小明發(fā)現(xiàn)可以用指數(shù)型函數(shù)S=ae-kt(a,k是常數(shù))來描述以上糖塊的溶解過程,其中S(單位:克)代表t分鐘末未溶解糖塊的質(zhì)量.
(1)求a的值.(2)求k的值.
(3)設(shè)這個實(shí)驗(yàn)中t分鐘末已溶解的糖塊的質(zhì)量為M,請畫出M隨t變化的函數(shù)關(guān)系的草圖,并簡要描述實(shí)驗(yàn)中糖塊的溶解過程.
【解析】(1)由題意,t=0,S=a=7.
(2)因?yàn)?分鐘末測得未溶解糖塊的質(zhì)量為3.5克,
所以3.5=7e-5k,解得k=.
(3)M隨t變化的函數(shù)關(guān)系的草圖如圖所示.
溶解過程:隨著時間的增加,逐漸溶解.
9
2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 課時素養(yǎng)評價(jià)三十九 函數(shù)模型的應(yīng)用 新人教A版必修第一冊
