2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 課時作業(yè)11 二項式系數(shù)的性質(zhì) 北師大版選修2-3

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1、課時作業(yè)(十一) 1．在二項式(x2－)5的展開式中，含x4的項的系數(shù)是(　　) A．－10　　　　　　　　　　 B．10 C．－5 D．5 答案　B 解析　展開式的通項為Tr＋1＝C5r(x2)5－r·(－)r＝(－1)r·C5r·x10－3r， 令10－3r＝4，∴r＝2，則x4的系數(shù)是(－1)2·C52＝10.故選B. 2．(2x3－)10的展開式中的常數(shù)項是(　　) A．210 B. C. D．－105 答案　B 3．(2014·湖南)(x－2y)5的展開式中x2y3的系數(shù)是(　　) A．－20 B．－5 C．5 D．20 答案　A 解

2、析　根據(jù)二項展開式的通項公式求解． (x－2y)5展開式的通項公式為Tr＋1＝C5r(x)5－r·(－2y)r＝C5r·()5－r·(－2)r·x5－r·yr. 當(dāng)r＝3時，C53()2·(－2)3＝－20. 4．二項式(＋)24展開式中的整數(shù)項是(　　) A．第15項 B．第14項 C．第13項 D．第12項 答案　A 解析　(＋)24展開式的通項為C24r()24－r·()r.要使其為整數(shù)，應(yīng)使與都是整數(shù)，觀察易知r＝14時＝2，＝2皆為整數(shù)，因此所求為第r＋1項，即第15項． 5．把(i－x)10(i是虛數(shù)單位)按二項式定理展開，展開式的第8項的系數(shù)是(　　)

3、A．135 B．－135 C．－360i D．360i 答案　D 解析　∵T7＋1＝C107(i)3(－x)7＝－C1073i3x7＝C1073ix7，所以展開式的第8項的系數(shù)為3·C107i，即360i. 6．在(x＋1)(2x＋1)·…·(nx＋1)(n∈N*)的展開式中一次項系數(shù)為(　　) A．Cn2　　　　　　　　　 B．Cn＋12 C．Cnn－1 D.Cn＋13 答案　B 解析　1＋2＋3＋…＋n＝＝Cn＋12. 7．(2014·湖北)若二項式的展開式中的系數(shù)是84，則實數(shù)a＝(　　) A．2 B. C．1 D. 答案　C

4、解析　Tk＋1＝C7k(2x)7－k＝C7k27－kakx7－2k，令7－2k＝－3，得k＝5，即T5＋1＝C7522a5x－3＝84x－3，解得a＝1，選C項． 8．(2013·江西)(x2－)5展開式中的常數(shù)項為(　　) A．80 B．－80 C．40 D．－40 答案　C 解析　二項展開式的通項為Tr＋1＝C5r(x2)5－r·(－1)r2rx－3r＝C5r·(－1)r·2r·x10－5r.令10－5r＝0，解得r＝2，所以常數(shù)項為T3＝C52·22＝40，選C項． 9．(x－y)10的展開式中，x7y3的系數(shù)與x3y7的系數(shù)之和等于________． 答案?。?4

5、0 解析　(x－y)10展開式的通項為 Tr＋1＝C10rx10－r(－y)r＝(－1)rC10rx10－ryr， ∴x7y3的系數(shù)為－C103，x3y7的系數(shù)為－C107. ∴所求的系數(shù)和為－(C107＋C103)＝－2C103＝－240. 10．化簡：(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4x－3的值為________． 答案　x4 解析　原式為 (x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1 ＝[(x－1)＋1]4＝x4. 11．(x－1)－(x－1)2＋(x－1)3－(x－1)4＋(x－1)5的展開式中，x2的系數(shù)等于________． 答

6、案?。?0 解析　方法一　所給的代數(shù)式是五個二項式的代數(shù)和．因此所求的x2的系數(shù)就應(yīng)該是這五個二項式的展開式中x2的系數(shù)的代數(shù)和，即－C20－C31－C42－C53＝－20. 方法二　也可以利用等比數(shù)列求和公式，將原式化為＝.可以看出，所求的x2的系數(shù)就是(x－1)6中x3的系數(shù)，即為－C63＝－20. 12．(＋)50的二項展開式中，整數(shù)項共有________項． 答案　4 解析　Tk＋1＝C50k()50－k·()k＝C50k·2. 由0≤k≤50，且k∈N可知，當(dāng)k＝2，8，14，20時， 取整數(shù)，即展開式中有4項是整數(shù)項． 13．在二項式(x＋)80的展開式中，系數(shù)為有

7、理數(shù)的項共有多少項？ 解析　設(shè)系數(shù)為有理數(shù)的項為第k＋1項， 即C80k(x)80－k()k＝240－×3C80kx80－k， 因為系數(shù)為有理數(shù)，所以k應(yīng)能被2整除． 又因為k＝0，1，2，…，80， 所以當(dāng)k＝0，2，4，6，…，80時，滿足條件，所以共有41項． 14．求(x＋－1)5展開式中的常數(shù)項． 解析　方法一　(x＋－1)5＝(x＋－1)(x＋－1)(x＋－1)(x＋－1)(x＋－1)． 按多項式乘法的規(guī)律，常數(shù)可從五個因式中都選?。?相乘為(－1)5；若從五個因式中選定一因式取x，一因式取，另三個因式中取(－1)，為C51C41(－1)3；若從五個因式某兩因式中取

8、x，另兩因式中取，余下一個因式中取－1，所得式為C52C32(－1)，所以常數(shù)項為 (－1)5＋C51C41(－1)3＋C52C32(－1)＝－51. 方法二　由于本題只有5次方，也可以直接展開，即 [(x＋)－1]5＝(x＋)5－5(x＋)4＋10(x＋)3－10(x＋)2＋5(x＋)－1. 由x＋的對稱性知，只有在x＋的偶數(shù)次冪中的展開式中才會出現(xiàn)常數(shù)項且是各自的中間項， ∴常數(shù)項為－5C42－10C21－1＝－51. 方法三　∵(x＋－1)5＝[(x＋)－1]5， ∴通項為Tr＋1＝C5r(x＋)5－r·(－1)r(0≤r≤5)． 當(dāng)r＝5時，T6＝C55(－1)5＝－1

9、； 當(dāng)0≤r<5時，(x＋)5－r的通項為 T′k＋1＝C5－rkx5－r－k·()k ＝C5－rkx5－r－2k(0≤k≤5－r)． ∵0≤r<5，且r∈Z， ∴r只能取1或3相應(yīng)的k值分別為2或1. ∴常數(shù)項為C51C42(－1)＋C53C21(－1)3＋(－1)＝－51. 15．(2015·衡水高二檢測)在(2x2－)8的展開式中，求： (1)第5項的二項式系數(shù)及第5項的系數(shù)； (2)x2的系數(shù)． 解析　(1)T5＝T4＋1＝C84(2x2)8－4(－)4 ＝C84·24·x. 所以第5項的二項式系數(shù)是C84＝70，第5項的系數(shù)是C84·24＝1 120. (2

10、)(2x2－)8的通項是Tk＋1＝ C8k(2x2)8－k(－)k＝(－1)kC8k·28－k·x16－k. 根據(jù)題意得，16－k＝2，解得k＝6. 因此，x2的系數(shù)是(－1)6C86·28－6＝112. 16．在二項式(－)n的展開式中，前三項系數(shù)的絕對值成等差數(shù)列． (1)求展開式的第四項； (2)求展開式的常數(shù)項． 解析　Tk＋1＝Cnk()n－k(－)k ＝(－)kCnkxn－k， 由前三項系數(shù)的絕對值成等差數(shù)列， 得Cn0＋(－)2Cn2＝2×Cn1， 解這個方程得n＝8或n＝1(舍去)． (1)展開式的第四項為T4＝(－)3C83x＝－7. (2)當(dāng)－k＝

11、0，即k＝4時，常數(shù)項為(－)4C84＝. ?重點班選做題 17．(1－x)4(1－)3的展開式中x2的系數(shù)是(　　) A．－6 B．－3 C．0 D．3 答案　A 解析　由于(1－x)4的通項為Tr＋1＝C4r(－x)r＝(－1)rC4rxr，(1－)3的通項為Tk＋1＝(－1)kC3kx，所以乘積中的x2項的系數(shù)為(1－x)4中的x2項的系數(shù)和x的系數(shù)分別乘(1－x)3中的常數(shù)項和x的系數(shù)再求和得到，即6×1＋(－4)×3＝6－12＝－6. 18．(x＋)(2x－)5的展開式中各項系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項為(　　) A．－40 B．－20 C．20

12、D．40 答案　D 解析　對于(x＋)(2x－)5，可令x＝1得1＋a＝2，故a＝1.(2x－)5的展開式的通項Tr＋1＝C5r(2x)5－r(－)r＝C5r25－r×(－1)r×x5－2r，要得到展開式的常數(shù)項，則x＋的x與(2x－)5展開式的相乘，x＋的與(2x－)5展開式的x相乘，故令5－2r＝－1，得r＝3.令5－2r＝1，得r＝2，從而可得常數(shù)項為C53×22×(－1)3＋C52×23×(－1)2＝40. 19．若(cosφ＋x)5的展開式中x3的系數(shù)為2，則sin(2φ＋)＝________． 答案?。? 解析　由二項式定理，得x3的系數(shù)為C53cos2φ＝2，得cos2φ＝，故sin(2φ＋)＝cos2φ＝2cos2φ－1＝－. 20．設(shè)二項式(x－)6(a>0)的展開式中x3的系數(shù)為A，常數(shù)項為B.若B＝4A，則a的值是________． 答案　2 解析　對于Tr＋1＝C6rx6－r()r＝C6r(－a)rx6－r， B＝C64(－a)4，A＝C62(－a)2.∵B＝4A，a>0，∴a＝2. 6