2019屆高考數學二輪復習 壓軸小題搶分練（四）

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1、壓軸小題搶分練(四) 壓軸小題集訓練,練就能力和速度,筑牢高考滿分根基! 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的) 1.過拋物線x2=2y上兩點A,B分別作切線,若兩條切線互相垂直,則線段AB的中點到拋物線準線的距離的最小值為 (　　) A.　　 B.1　　 C.　　 D.2 【解析】選B.拋物線的方程即:y=,則y′=x, 設A(x1,y1),B(x2,y2), 則過A,B兩點切線的斜率為:k1=x1,k2=x2, 由題意可得:x1x2=-1. 由題知拋物線的準線方程為y=-, 則線段AB的中點到拋物線準線的

2、距離為: +=(++2)≥(2|x1x2|+2)=1, 當且僅當|x1|=|x2|=1時等號成立. 據此可得線段AB的中點到拋物線準線的距離的最小值為1. 2.已知函數f(x)=e2 018x+mx3-m(m>0),當x1+x2=1時,對于任意的實數θ,都有不等式f(x1)+f(sin2θ)>f(x2)+f(cos2θ)成立,則實數x1的取值范圍是 (　　) A.[1,+∞)　　 B.[1,2]　　 C.(1,2]　　 D.(1,+∞) 【解析】選D.令g(x)=f(x)-f(1-x)=(e2 018x+mx3)-[e2 018(1-x)+m(1-x)3],則 g′(x)=2 0

3、18[e2 018x+e2 018(1-x)]+3m[x2+(1-x)2]>0, 據此可得函數g(x)單調遞增, x1+x2=1,則不等式f(x1)+f(sin2θ)>f(x2)+f(cos2θ),即 f(x1)+f(sin2θ)>f(1-x1)+f(1-sin2θ), 則f(x1)-f(1-x1)>f(1-sin2θ)-f[1-(1-sin2θ)], 即g(x1)>g(1-sin2θ), 結合函數g(x)的單調性可得:x1>1-sin2θ恒成立, 當sin θ=0時,(1-sin2θ)max=1, 結合恒成立的條件可得實數x1的取值范圍是(1,+∞). 3.已知雙曲線-=1

4、(a>0,b>0)的左右焦點分別為F1,F2,過點F2的直線l:12x-5y -24=0交雙曲線的右支于A,B兩點,若∠AF1B的平分線的方程為x-4y+2=0,則三角形AF1B內切圓的標準方程為 (　　) A.+= B.(x-1)2+= C.(x-1)2+= D.+= 【解析】選A.如圖所示, 設三角形AF1B的內切圓切AB于點E,切AF1于點G,切BF1于點H,則BF1-BF2=AF1-AF2,得 BH+HF1-(BE+EF2)=AG+GF1-(AE-EF2), 所以-EF2=EF2,即EF2=0,也就是E與F2重合, 由∠AF1B的平分線的方程為x-4y+2=0,

5、 可得F1(-2,0),故F2(2,0). 設三角形AF1B的內切圓的圓心C(m,n),則 解得m=,n=. 所以三角形AF1B的內切圓的半徑為r==,所以三角形AF1B的內切圓的標準方程為+=. 4.設函數f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整數x0使得f(x0)<0,則a的取值范圍是 (　　) A.　　 B. C.　　 D. 【解析】選D.設g(x)=ex(2x-1),y=ax-a, 由題意知存在唯一的整數x0使得g(x0)在直線y=ax-a的下方, 因為g′(x)=ex(2x-1)+2ex=ex(2x+1), 所以當x<-時,g′(

6、x)<0; 當x>-時,g′(x)>0, 所以當x=-時,g(x)取最小值-2. 當x=0時,g(0)=-1,當x=1時,g(1)=e>0, 直線y=ax-a恒過定點(1,0)且斜率為a, 故-a>g(0)=-1且g(-1)=-3e-1≥-a-a, 解得≤a<1. 5.已知△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且aβ>γ B.α<β<γ C.α=β=γ D.α<γ<β 【解析】選A.根據題意畫出如圖

7、所示的圖形: 因為G為△ABC的重心, 所以S△AGB=S△AGC=S△BGC. 過G分別作GH,GM,GN垂直于AB,AC,BC,連接PH,PM,PN,可知∠PHG,∠PMG、∠PNG分別為平面PAB,PAC,PCB與底面ABC所成的銳二面角,分別為α,β,γ. 在△AGB,△AGC,△BGC中,AB>AC>BC, 且S△AGB=S△AGC=S△BGC, 所以GH>,即tan α>tan β>tan γ. 因為正切函數在上為增函數, 所以α>β>γ. 6.函數f

8、(x)=(kx+4)ln x-x(x>1),若f(x)>0的解集為(s,t),且(s,t)中恰有兩個整數,則實數k的取值范圍為 (　　) A.　　 B. C.　　 D. 【解析】選D.令f(x)>0,得kx+4>, 令g(x)=,則g′(x)=, 令g′(x)>0,解得x>e,令g′(x)<0,解得10在(s,t)中恰有兩個整數解,由圖可知,這兩個整數解為2和3, 從而有解得-

9、范圍是 (　　) A. B. C. D. 【解析】選C.設切點為(x0,y0), 則有?b=ae-2,因為b>0,所以a>,a+=a+≥2. 8.已知函數f(x)滿足f(x)+1=,當x∈[0,1]時,f(x)=x,若在區(qū)間(-1,1]上方程f(x)-mx-m=0有兩個不同的實根,則實數m的取值范圍是 (　　) A.　　 B. C.　　 D. 【解析】選D.設x∈(-1,0),則x+1∈(0,1), 因為當x∈[0,1]時,f(x)=x, 所以f(x+1)=x+1. 因為f(x)+1=, 可得f(x)= 方程f(x)-mx-x=0,化為f(x)=mx

10、+m, 畫出圖象y=f(x),y=m(x+1),M(1,1),N(-1,0), 可得kMN=. 因為在區(qū)間(-1,1]上方程f(x)-mx-x=0有兩個不同的實根,所以0

11、,故-≤Sn-<0. 所以Sn-的最大值與最小值的比值為=-. 10.如圖是一個幾何體的平面展開圖,其中ABCD為正方形,E,F分別為PA,PD的中點,在此幾何體中,給出下面結論: ①直線BE與直線CF異面; ②直線BE與直線AF異面; ③直線EF∥平面PBC. 其中正確結論的個數是 (　　) A.0個 B.1個 C.2個 D.3個 【解析】選C.畫出幾何體的立體圖形,如圖, 由題意可知,①直線BE與直線CF異面,不正確, 因為E,F是PA與PD的中點,可知EF∥AD, 所以EF∥BC,直線BE與直線CF是共面直線. ②直線BE與直線AF異面,正確

12、. ③直線EF∥平面PBC;由E,F是PA與PD的中點可知,EF∥AD,所以EF∥BC, 因為EF?平面PBC,BC?平面PBC,所以EF∥平面PBC是正確的. 11.已知拋物線C:y2=8x,圓F:(x-2)2+y2=4,直線l:y=k(x-2)(k≠0)自上而下順次與上述兩曲線交于M1,M2,M3,M4四點,則下列各式結果為定值的是 (　　) A.|M1M3|·|M2M4| B.|FM1|·|FM4| C.|M1M2|·|M3M4| D.|FM1|·|M1M2| 【解析】選C.由 消去y整理得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0(k≠0), 設M1(x1,y1

13、),M4(x2,y2), 則x1+x2=,x1x2=4. 過點M1,M4分別作直線l′:x=-2的垂線,垂足分別為A,B,則|M1F|=x1+2,|M4F|=x2+2. 對于A,|M1M3|·|M2M4|=(|M1F|+2)(|M4F|+2)=(x1+4)(x2+4)=x1x2+4(x1+x2)+16,不為定值,故A不正確. 對于B,|FM1|·|FM4|=(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4,不為定值,故B不正確. 對于C,|M1M2|·|M3M4|=(|M1F|-2)(|M4F|-2)=x1x2=4,為定值,故C正確. 對于D,|FM1|·|M1M2|=

14、|M1F|·(|M1F|-2)=(x1+2)x1,不為定值,故D不正確. 12.在關于x的不等式x2-axex-aex>0(其中e=2.71828…為自然對數的底數)的解集中,有且僅有兩個正整數,則實數a的取值范圍為 (　　) A. B. C. D. 【解析】選D.x2-axex-aex>0?x2>a(x+1)ex, 設f(x)=x2,g(x)=a(x+1)ex, 則原不等式等價于f(x)>g(x). 若a≤0,則當x>0時,f(x)>0,g(x)<0, 所以原不等式的解集中有無數個正整數. 所以a>0. 因為f(0)=0,g(0)=a>0, 所以f(0)

15、(0). 當f(1)≤g(1),即a≥時, 設h(x)=f(x)-g(x)(x≥2). 則h′(x)=2x-a(x+2)ex≤2x-. 設φ(x)=2x-(x≥2), 則φ′(x)=2-≤φ′(1)=0, 所以φ(x)在[2,+∞)上為減函數, 所以φ(x)≤φ(2)=2(2-e)<0, 所以當x≥2時,h′(x)<0, 所以h(x)在[2,+∞)上為減函數. 所以h(x)≤h(2)=4-3ae2≤4-<0. 所以當x≥2時,不等式f(x)

16、、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請把正確答案填在題中橫線上) 13.在三棱錐D-ABC中,AB=BC=DB=DC=1,當三棱錐體積最大時,其外接球的表面積為________.? 【解析】在三棱錐D-ABC中, 當且僅當AB⊥平面BCD時,三棱錐體積達到最大, 此時,設外接球的半徑為R,球心為O,球心O在平面BDC內的投影為點F,則有R2=OB2=OF2+BF2=+=, 表面積為S=4πR2=. 答案:π 14.已知數列{an}滿足當2k-1-110的n的最小值為_____

17、___.? 【解析】由題意可知數列{an}中an=的有2k-1項,這2k-1項記作第k組, 第k組中所有項的和為, 所以前5組所有項的和為=,且前5組的項數為1+21+22+23+24=31. 第6組有32項,各項均為,即. 由×26<,×27>可得滿足Sn>10的n的最小值為31+27=58. 答案:58 15.若實數x,y,z滿足x+2y+3z=1,x2+4y2+9z2=1,則z的最小值是________.? 【解析】x+2y+3z=1,則x=1-2y-3z,據此可得: (1-2y-3z)2+4y2+9z2=1, 整理可得4y2+(6z-2)y+(9z2-3z)=0,

18、 滿足題意時上述關于y的一元二次方程有實數根, 則Δ=(6z-2)2-16(9z2-3z)≥0, 整理可得(3z-1)(9z+1)≤0, 則-≤z≤. 則z的最小值是-. 答案:- 16.點F1,F2分別是橢圓C:+y2=1的左、右兩焦點,點N為橢圓C的上頂點,若動點M滿足:||2=2·,則|+2|的最大值為__________. ? 【解析】設M(x0,y0),由+y2=1, 得N(0,1),F1(-1,0),F2(1,0), 則由||2=2·, 可得+(y0-1)2=2-2+2, 化為+(y0+1)2=4,可設 =(-1-2cos α,1-2sin α), 2=(2-4cos α,2-4sin α), +2=(1-6cos α,3-6sin α), |+2|= = = ≤=6+, 其中cos φ=, 即|+2|的最大值為6+. 答案:6+ 13