（全國(guó)通用）高考數(shù)學(xué) 考前三個(gè)月復(fù)習(xí)沖刺 專題7 第32練 與拋物線有關(guān)的熱點(diǎn)問(wèn)題 理.doc

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1、第32練與拋物線有關(guān)的熱點(diǎn)問(wèn)題題型分析高考展望拋物線是三種圓錐曲線之一，應(yīng)用廣泛，是高考的重點(diǎn)考查對(duì)象，拋物線方程、幾何性質(zhì)、直線與拋物線結(jié)合的問(wèn)題都是高考熱點(diǎn).考查形式有選擇題、填空題也有解答題，小題難度一般為低中檔層次，解答題難度為中檔偏上.?？碱}型精析題型一拋物線的定義及其應(yīng)用例1設(shè)P是拋物線y24x上的一動(dòng)點(diǎn)，(1)求點(diǎn)P到A(1,1)的距離與點(diǎn)P到直線x1的距離之和的最小值；(2)若B(3,2)，拋物線的焦點(diǎn)為F，求|PB|PF|的最小值.點(diǎn)評(píng)與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān).由于拋物線的定義在運(yùn)用上有較大的靈活性，因此此類問(wèn)題也有一定的難度.“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn)，

2、看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”，這是解決拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)問(wèn)題的重要途徑.變式訓(xùn)練1已知拋物線C：y2x的焦點(diǎn)為F，A(x0，y0)是C上一點(diǎn)，|AF|x0，則x0等于()A.1 B.2C.4 D.8題型二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)例2拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，它與圓x2y29相交，公共弦MN的長(zhǎng)為2，求該拋物線的方程，并寫(xiě)出它的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程.點(diǎn)評(píng)(1)由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可以首先確定拋物線的開(kāi)口方向、焦點(diǎn)的位置及p的值，再進(jìn)一步確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.(2)求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開(kāi)口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)p，

3、只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.變式訓(xùn)練2(2015福建)如圖，已知點(diǎn)F為拋物線E：y22px(p0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)A(2，m)在拋物線E上，且|AF|3.(1)求拋物線E的方程；(2)已知點(diǎn)G(1,0)，延長(zhǎng)AF交拋物線E于點(diǎn)B，證明：以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切.題型三直線和拋物線的位置關(guān)系例3(2015課標(biāo)全國(guó))在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：y與直線l：ykxa(a0)交于M，N兩點(diǎn)，(1)當(dāng)k0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；(2)y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有OPMOPN？說(shuō)明理由.點(diǎn)評(píng)(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系

4、類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式.(3)涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法.提醒：涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)一般用“點(diǎn)差法”求解.變式訓(xùn)練3(2015長(zhǎng)春模擬)已知拋物線C：ymx2(m0)，焦點(diǎn)為F，直線2xy20交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，P是線段AB的中點(diǎn)，過(guò)P作x軸的垂線交拋物線C于點(diǎn)Q.(1)求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若拋物線C上有一點(diǎn)R(xR,2)到焦點(diǎn)F的距離為3，求此時(shí)m的值；

5、(3)是否存在實(shí)數(shù)m，使ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由.高考題型精練1.(2014遼寧)已知點(diǎn)A(2,3)在拋物線C：y22px的準(zhǔn)線上，過(guò)點(diǎn)A的直線與C在第一象限相切于點(diǎn)B，記C的焦點(diǎn)為F，則直線BF的斜率為()A. B.C. D.2.(2015浙江)如圖，設(shè)拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C，其中點(diǎn)A，B在拋物線上，點(diǎn)C在y軸上，則BCF與ACF的面積之比是()A. B. C. D.3.已知拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，P、Q是拋物線上的兩個(gè)點(diǎn)，若PQF是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則p的值是()A.2 B.2C.

6、1 D.14.(2014課標(biāo)全國(guó))設(shè)F為拋物線C：y23x的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為30的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OAB的面積為()A. B. C. D.5.已知拋物線y28x的準(zhǔn)線為l，點(diǎn)Q在圓C：x2y22x8y130上，記拋物線上任意一點(diǎn)P到直線l的距離為d，則d|PQ|的最小值等于()A.3 B.2 C.4 D.56.已知拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)弦AB的兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則的值一定等于()A.4 B.4 C.p2 D.p27.(2014湖南)如圖，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長(zhǎng)分別為a，b(a0)經(jīng)過(guò)C，F(xiàn)兩點(diǎn)，則_.8.已知拋物

7、線C：y22px(p0)的準(zhǔn)線為l，過(guò)M(1,0)且斜率為的直線與l相交于點(diǎn)A，與C的一個(gè)交點(diǎn)為B，若AM，則p_.9.過(guò)拋物線y22x的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若|AB|，|AF|0)和E2：y22p2x(p20)，過(guò)原點(diǎn)O的兩條直線l1和l2，l1與E1，E2分別交于A1，A2兩點(diǎn)，l2與E1，E2分別交于B1，B2兩點(diǎn).(1)證明：A1B1A2B2；(2)過(guò)O作直線l(異于l1，l2)與E1，E2分別交于C1，C2兩點(diǎn).記A1B1C1與A2B2C2的面積分別為S1與S2，求的值.12.(2015湖南)已知拋物線C1 ：x24y的焦點(diǎn)F也是橢圓C2：1(ab0)的一個(gè)焦點(diǎn).C1

8、與C2的公共弦的長(zhǎng)為2.過(guò)點(diǎn)F的直線l與C1相交于A，B兩點(diǎn)，與C2相交于C，D兩點(diǎn)，且與同向.(1)求C2的方程；(2)若|AC|BD|，求直線l的斜率.答案精析第32練與拋物線有關(guān)的熱點(diǎn)問(wèn)題常考題型精析例1解(1)由于A(1,1)，F(xiàn)(1,0)，P是拋物線上的任意一點(diǎn)，則|AP|PF|AF|，從而知點(diǎn)P到A(1,1)的距離與點(diǎn)P到F(1,0)的距離之和的最小值為，所以點(diǎn)P到A(1,1)的距離與P到直線x1的距離之和的最小值也為.(2)如圖所示，自點(diǎn)B作BQ垂直于拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，交拋物線于點(diǎn)P1，此時(shí)|P1Q|P1F|，那么|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4，即|PB|PF|的最小值

9、為4.變式訓(xùn)練1A解析由題意知拋物線的準(zhǔn)線為x.因?yàn)閨AF|x0，根據(jù)拋物線的定義可得x0|AF|x0，解得x01.例2解由題意，得拋物線方程為x22ay (a0).設(shè)公共弦MN交y軸于A，N在y軸右側(cè)，則|MA|AN|，而|AN|.|ON|3，|OA|2，N(，2).N點(diǎn)在拋物線上，52a(2)，即2a，故拋物線的方程為x2y或x2y.拋物線x2y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為y.拋物線x2y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為y.變式訓(xùn)練2解方法一(1)由拋物線的定義得|AF|2.因?yàn)閨AF|3，即23，解得p2，所以拋物線E的方程為y24x.(2)因?yàn)辄c(diǎn)A(2，m)在拋物線E：y24x上，所以m2，由拋物

10、線的對(duì)稱性，不妨設(shè)A(2,2).由A(2,2)，F(xiàn)(1,0)可得直線AF的方程為y2(x1).由得2x25x20，解得x2或x，從而B(niǎo).又G(1,0)，所以kGA，kGB.所以kGAkGB0，從而AGFBGF，這表明點(diǎn)F到直線GA，GB的距離相等，故以F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切.方法二(1)同方法一.(2)設(shè)以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓的半徑為r.因?yàn)辄c(diǎn)A(2，m)在拋物線E：y24x上，所以m2，由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)A(2,2).由A(2,2)，F(xiàn)(1,0)可得直線AF的方程為y2(x1).由得2x25x20.解得x2或x，從而B(niǎo).又G(1,0)，故直線GA的方程為

11、2x3y20.從而r.又直線GB的方程為2x3y20.所以點(diǎn)F到直線GB的距離dr.這表明以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切.例3解(1)由題設(shè)可得M(2，a)，N(2，a)，或M(2，a)，N(2，a).又y，故y在x2處的導(dǎo)數(shù)值為，C在點(diǎn)(2，a)處的切線方程為ya(x2)，即xya0.y在x2處的導(dǎo)數(shù)值為，C在點(diǎn)(2，a)處的切線方程為ya(x2)，即xya0.故所求切線方程為xya0和xya0.(2)存在符合題意的點(diǎn)，證明如下：設(shè)P(0，b)為符合題意的點(diǎn)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線PM，PN的斜率分別為k1，k2.將ykxa代入C的方程得x24kx4a0.

12、故x1x24k，x1x24a.從而k1k2.當(dāng)ba時(shí)，有k1k20，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ)，故OPMOPN，所以點(diǎn)P(0，a)符合題意.變式訓(xùn)練3解(1)拋物線C：x2y，它的焦點(diǎn)F(0，).(2)|RF|yR，23，得m.(3)存在，聯(lián)立方程消去y得mx22x20，依題意，有(2)24m(2)0m.設(shè)A(x1，mx)，B(x2，mx)，則(*)P是線段AB的中點(diǎn)，P(，)，即P(，yP)，Q(，).得(x1，mx)，(x2，mx)，若存在實(shí)數(shù)m，使ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則0，即(x1)(x2)(mx)(mx)0，結(jié)合(*)化簡(jiǎn)得40，即2m23m20，m2或m

13、，而2(，)，(，).存在實(shí)數(shù)m2，使ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形.高考題型精練1.D 拋物線y22px的準(zhǔn)線為直線x，而點(diǎn)A(2,3)在準(zhǔn)線上，所以2，即p4，從而C：y28x，焦點(diǎn)為F(2,0).設(shè)切線方程為y3k(x2)，代入y28x得y2y2k30(k0)，由于14(2k3)0，所以k2或k.因?yàn)榍悬c(diǎn)在第一象限，所以k.將k代入中，得y8，再代入y28x中得x8，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,8)，所以直線BF的斜率為.2.A 由圖形可知，BCF與ACF有公共的頂點(diǎn)F，且A，B，C三點(diǎn)共線，易知BCF與ACF的面積之比就等于.由拋物線方程知焦點(diǎn)F(1，0)，作準(zhǔn)線l，則l的方程為x1.點(diǎn)

14、A，B在拋物線上，過(guò)A，B分別作AK，BH與準(zhǔn)線垂直，垂足分別為點(diǎn)K，H，且與y軸分別交于點(diǎn)N，M.由拋物線定義，得|BM|BF|1，|AN|AF|1.在CAN中，BMAN，.3.A 依題意得F，設(shè)P，Q(y1y2).由拋物線定義及|PF|QF|，得，yy，y1y2.又|PQ|2，因此|y1|y2|1，點(diǎn)P.又點(diǎn)P位于該拋物線上，于是由拋物線的定義得|PF|2，由此解得p2，故選A.4.D 由已知得焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(，0)，因此直線AB的方程為y(x)，即4x4y30.方法一聯(lián)立拋物線方程化簡(jiǎn)得4y212y90，故|yAyB|6.因此SOAB|OF|yAyB|6.方法二聯(lián)立方程得x2x0，故xAx

15、B.根據(jù)拋物線的定義有|AB|xAxBp12，同時(shí)原點(diǎn)到直線AB的距離為h，因此SOAB|AB|h.5.A 如圖所示，由題意，知拋物線y28x的焦點(diǎn)為F(2,0)，連接PF，則d|PF|.圓C的方程配方，得(x1)2(y4)24，圓心為C(1,4)，半徑r2.d|PQ|PF|PQ|，顯然，|PF|PQ|FQ|(當(dāng)且僅當(dāng)F，P，Q三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)).而|FQ|為圓C上的動(dòng)點(diǎn)Q到定點(diǎn)F的距離，顯然當(dāng)F，Q，C三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，最小值為|CF|r2523.6.A 若焦點(diǎn)弦ABx軸，則x1x2，則x1x2；若焦點(diǎn)弦AB不垂直于x軸，可設(shè)AB：yk(x)，聯(lián)立y22px得k2x2(k2p2p)x0，

16、則x1x2.則y1y2p2.故4.7.1解析正方形ABCD和正方形DEFG的邊長(zhǎng)分別為a，b，O為AD的中點(diǎn)，C(，a)，F(xiàn)(b，b).又點(diǎn)C，F(xiàn)在拋物線y22px(p0)上，解得1.8.2解析如圖，由AB的斜率為，知60，又AM，M為AB的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)B作BP垂直準(zhǔn)線l于點(diǎn)P，則ABP60，BAP30.M為焦點(diǎn)，即1，p2.9.解析2，|AB|AF|BF|，|AF|0，再由y10，y20，則0，故1k0.又線段ST的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以線段ST的垂直平分線方程為y.令y0，得Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xQ26，故Q點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為(，6).11.(1)證明設(shè)直線l1，l2的方程分別為yk1x，yk2x(k

17、1，k20)，由得A1，由得A2.同理可得B1，B2.所以2p1.(，)2p2(，)故，所以A1B1A2B2.(2)解由(1)知A1B1A2B2，同理可得B1C1B2C2，C1A1C2A2，所以A1B1C1A2B2C2.因此2.又由(1)中的知，故.12.解(1)由C1：x24y知其焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,1).因?yàn)镕也是橢圓C2的一個(gè)焦點(diǎn)，所以a2b21.又C1與C2的公共弦的長(zhǎng)為2，C1與C2都關(guān)于y軸對(duì)稱，且C1的方程為x24y，由此易知C1與C2的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以1.聯(lián)立，得a29，b28.故C2的方程為1.(2)如圖，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4).因與同向，且|AC|BD|，所以，從而x3x1x4x2，即x1x2x3x4，于是(x1x2)24x1x2(x3x4)24x3x4.設(shè)直線l的斜率為k，則l的方程為ykx1.由得x24kx40.而x1，x2是這個(gè)方程的兩根，所以x1x24k，x1x24.由得(98k2)x216kx640.而x3，x4是這個(gè)方程的兩根，所以x3x4，x3x4，將，代入，得16(k21)，即16(k21)，所以(98k2)2169，解得k，即直線l的斜率為.15