2019年高考數學 考點分析與突破性講練 專題27 直線、平面垂直的判定和性質 理

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1、專題27 直線、平面垂直的判定和性質 一、考綱要求： 1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面垂直的有關性質與判定定理. 2.能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間圖形的垂直關系的簡單命題． 二、概念掌握及解題上的注意點： 1.證明直線和平面垂直的常用方法 (1）)利用判定定理. (2）)利用判定定理的推論(a∥b，a⊥α?b⊥α). (3）)利用面面平行的性質(a⊥α，α∥β?a⊥β). (4）)利用面面垂直的性質. 當兩個平面垂直時，在一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面. (5）)重視平面幾何知識，特別是勾股定理的應用. 2.面面垂

2、直的兩種證明方法 (1)定義法：利用面面垂直的定義，即判定兩平面所成的二面角為直二面角，將證明面面垂直問題轉化為證明平面角為直角的問題． (2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即證明其中一個平面經過另一個平面的一條垂線，把問題轉化成證明線線垂直加以解決． 3．三種垂直關系的轉化 4.平行與垂直的綜合應用問題的主要數學思想和處理策略 (1）)處理平行與垂直的綜合問題的主要數學思想是轉化，要熟練掌握線線、線面、面面之間的平行與垂直的轉化. (2）)探索性問題一般是先根據條件猜測點的位置再給出證明，探索點的存在問題，點多為中點或三等分點中的某一個，也可以根據相似知識找點. 三、高考

3、考題題例分析： 例1.（2018課標卷I節(jié)選）如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，以DF為折痕把△DFC折起，使點C到達點P的位置，且PF⊥BF． （1）證明：平面PEF⊥平面ABFD； （ 【答案】見解析 例2.（2018課標II節(jié)選） 如圖，在三棱錐P﹣ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點． （1）證明：PO⊥平面ABC； 【答案】見解析 【解析】：（1）證明：∵AB=BC=2，O是AC的中點， ∴BO⊥AC，且BO=2， 又PA=PC=PB=AC=2， ∴PO⊥AC，PO=2， 則PB2=PO2+BO

4、2， 則PO⊥OB， ∵OB∩AC=O， ∴PO⊥平面ABC； 例3.（2018課標卷III節(jié)選）如圖，邊長為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧所在平面垂直，M是上異于C，D的點． （1）證明：平面AMD⊥平面BMC； 【答案】見解析 例4.（2018北京卷節(jié)選）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F(xiàn)，G分別為AA1，AC，A1C1，BB1的中點，AB=BC=，AC=AA1=2． （Ⅰ）求證：AC⊥平面BEF； 【答案】見解析 【解析】（I）證明：∵E，F(xiàn)分別是AC，A1C1的中點，∴EF∥CC1， ∵CC1⊥平面ABC

5、，∴EF⊥平面ABC， 又AC?平面ABC，∴EF⊥AC， ∵AB=BC，E是AC的中點， ∴BE⊥AC， 又BE∩EF=E，BE?平面BEF，EF?平面BEF， ∴AC⊥平面BEF． 3．已知在空間四邊形ABCD中，AD⊥BC，AD⊥BD，且△BCD是銳角三角形，則必有 (　　) A．平面ABD⊥平面ADC　 B．平面ABD⊥平面ABC C．平面ADC⊥平面BDC D．平面ABC⊥平面BDC 4．設a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則能得出a⊥b的是 (　　) A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β C．a?α，b⊥β，α∥β

6、 D．a?α，b∥β，α⊥β 【答案】C 【解析】：選C　對于C項，由α∥β，a?α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故選C． 5.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P為△ABC所在平面外一點，PA⊥平面ABC，則四面體P -ABC中直角三角形的個數為(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解析】：選A　由PA⊥平面ABC可得△PAC，△PAB是直角三角形，且PA⊥BC．又∠ABC＝90°，所以△ABC是直角三角形，且BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，即△PBC為直角三角形，故四面體P -ABC中共有4個直角三角形． 6．如圖，O為正方體ABCD-A

7、1B1C1D1的底面ABCD的中心，則下列直線中與B1O垂直的是 (　　) A．A1D B．AA1 C．A1D1 D．A1C1 【答案】D 【解析】　易知AC⊥平面BB1D1D． ∵A1C1∥AC，∴A1C1⊥平面BB1D1D． 又B1O?平面BB1D1D，∴A1C1⊥B1O，故選D． 7．設α，β為兩個不同的平面，直線l?α，則“l(fā)⊥β”是“α⊥β”成立的 (　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C

8、．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】A 8．已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個不重合的平面，下面給出的條件中一定能推出m⊥β的是 (　　) A．α⊥β且m?α　　　　 B．α⊥β且m∥α C．m∥n且n⊥β D．m⊥n且n∥β 【答案】C 【解析】　對于選項A，α⊥β且m?α，可得m∥β或m與β相交或m?β，故A不成立；對于選項B，α⊥β且m∥α，可得m?β或m∥β或m與β相交，故B不成立；對于選項C，m∥n且n⊥β，則m⊥β，故C正確；對于選

9、項D，由m⊥n且n∥β，可得m∥β或m與β相交或m?β，故D不成立，故選C． 9．設a，b是夾角為30°的異面直線，則滿足條件“a?α，b?β，且α⊥β”的平面α，β(　　) A．不存在 B．有且只有一對 C．有且只有兩對 D．有無數對 【答案】D 10．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CD的中點，則 (　　) A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC 【答案】C 【解析】　如圖，∵A1E在平面ABCD上的投影為AE，而AE不與AC，BD垂直，∴B，D錯； ∵A1E在平面BC

10、C1B1上的投影為B1C，且B1C⊥BC1， ∴A1E⊥BC1，故C正確； (證明：由條件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C， ∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E?平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1) ∵A1E在平面DCC1D1上的投影為D1E，而D1E不與DC1垂直，故A錯． 故選C． 11．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點，G是EF的中點，現(xiàn)在沿AE、AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使B、C、D三點重合，重合后的點記為H，那么，在這個空間圖形中必有

11、 (　　) A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFH C．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF 【答案】B 12．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，沿AE，AF，EF把正方形折成一個四面體，使B，C，D三點重合，重合后的點記為P，P點在△AEF內的射影為O，則下列說法正確的是 (　　) A．O是△AEF的垂心 B．O是△AEF的內心

12、 C．O是△AEF的外心 D．O是△AEF的重心 【答案】A 【解析】　由題意可知PA，PE，PF兩兩垂直， 所以PA⊥平面PEF，從而PA⊥EF， 而PO⊥平面AEF，則PO⊥EF，因為PO∩PA＝P， 所以EF⊥平面PAO， 所以EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO， 所以O為△AEF的垂心． 二、填空題 13．如圖，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC，△PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線是________；與AP垂直的直線是________． 【答案】AB，BC，AC；AB　 【解析】∵PC⊥平面ABC， ∴PC垂直于直線AB，BC，AC． ∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C， ∴AB⊥平面PAC， ∴AB⊥AP，故與AP垂直的直線是AB. 22.如圖，高為1的等腰梯形ABCD中，AM＝CD＝AB＝1，M為AB的三等分點．現(xiàn)將△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，連接AB，AC． (1)在AB邊上是否存在點P，使AD∥平面MPC，請說明理由； (2)當點P為AB邊中點時，求點B到平面MPC的距離． 【答案】見解析 在△MPC中，MP＝AB＝， MC＝，PC＝＝， ∴S△MPC＝××＝. ∴點B到平面MPC的距離為＝＝. 11