2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 沖刺創(chuàng)新專(zhuān)題 仿真模擬卷三 文

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1、仿真模擬卷三 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．共150分，考試時(shí)間120分鐘． 第Ⅰ卷 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．已知集合A＝{(x，y)|x＋y≤2，x，y∈N}，則A中元素的個(gè)數(shù)為(　　) A．1 B．5 C．6 D．無(wú)數(shù)個(gè) 答案　C 解析　由題得A＝{(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(2,0)}，所以A中元素的個(gè)數(shù)為6. 2．已知i是虛數(shù)單位，是z的共軛復(fù)數(shù)，若z(1＋i)＝，則的虛部為(　　) A. B．－ C.i D．－i 答案　

2、A 解析　由題意可得z＝＝＝－＝－i－，則＝－＋i，據(jù)此可得的虛部為. 3．“0b，則(　　) A．ln (a－b)>0 B．3a<3b C．a(chǎn)3－b3>0 D．|a|>|b| 答案　C 解析　取a＝2，b＝1，滿足a>b，但ln (a－b)＝0，則A錯(cuò)誤；由9＝32>31＝3，知B錯(cuò)誤；取a＝1，b＝－2，滿足a>b

3、，但|1|<|－2|，則D錯(cuò)誤；因?yàn)閮绾瘮?shù)y＝x3是增函數(shù)，a>b，所以a3>b3，即a3－b3>0，C正確． 5．閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的S的值等于(　　) A．30 B．31 C．62 D．63 答案　B 解析　由流程圖可知該算法的功能為計(jì)算S＝1＋21＋22＋23＋24的值，即輸出的值為S＝1＋21＋22＋23＋24＝＝31. 6．已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，若a2＝2，S6－S4＝6a4，則a5＝(　　) A．4 B．10 C．16 D．32 答案　C 解析　設(shè)公比為q(q>0)，S6－S4＝a5＋a6＝6a4，因

4、為a2＝2，所以2q3＋2q4＝12q2，即q2＋q－6＝0，所以q＝2，則a5＝2×23＝16. 7．已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠BAD＝120°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF，若·＝1，則λ的值為(　　) A．3 B．2 C． D． 答案　B 解析　由題意可得·＝(＋)·(＋)＝·＝2＋2＋·，且2＝2＝4，·＝2×2×cos120°＝－2，故＋＋×(－2)＝1，解得λ＝2. 8．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a＝1，sinAcosC＋(sinC＋b)cosA＝0，則角A＝(　　) A. B. C. D. 答案　

5、D 解析　∵a＝1，sinAcosC＋(sinC＋b)cosA＝0， ∴sinAcosC＋sinCcosA＝－bcosA， ∴sin(A＋C)＝sinB＝－bcosA， ∴asinB＝－bcosA， 由正弦定理可得sinAsinB＝－sinBcosA， ∵sinB>0，∴sinA＝－cosA，即tanA＝－， ∵A∈(0，π)，∴A＝. 9．我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說(shuō)：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休．在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來(lái)琢磨函數(shù)的圖象的特征，如函數(shù)f(x)＝的圖象大致是(　　) 答案　

6、D 解析　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝，f(－x)＝＝≠f(x)，所以函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)，圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故排除A，B；又因?yàn)閒(3)＝，f(4)＝，所以f(3)>f(4)，而C在x>0時(shí)是遞增的，故排除C. 10．在△ABC中，P0是邊AB上一定點(diǎn)，滿足P0B＝AB，且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P，恒有·≥·，則(　　) A．AC＝BC B．AB＝AC C．∠ABC＝ D．∠BAC＝ 答案　A 解析　(直接法)由題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，取B(4,0)，則P0(3,0)，設(shè)P(a,0)(a∈[0,4])，C(x0，y0)，則＝(4－a,0)，＝(x0－a，

7、y0)，＝(1,0)，＝(x0－3，y0)，則(4－a)(x0－a)≥x0－3，即a2－(4＋x0)a＋3x0＋3≥0恒成立，所以Δ＝[－(4＋x0)]2－4(3x0＋3)≤0，即(x0－2)2≤0，解得x0＝2，則易知點(diǎn)C在邊AB的垂直平分線上，所以AC＝BC，故選A. 11．在正三角形ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到A，B，C的距離都大于該三角形邊長(zhǎng)一半的概率為(　　) A．1－ B．1－ C．1－ D．1－ 答案　A 解析　滿足條件的正三角形ABC如圖所示． 設(shè)邊長(zhǎng)為2，其中正三角形ABC的面積S△ABC＝×4＝. 滿足到正三角形ABC的頂點(diǎn)A，B，C的距離至少有一個(gè)小于等

8、于1的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，其加起來(lái)是一個(gè)半徑為1的半圓，則S陰影＝，則使取到的點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C的距離都大于1的概率P＝1－，故選A. 12．若存在m，使得關(guān)于x的方程x＋a(2x＋2m－4ex)·[ln (x＋m)－ln x]＝0成立，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則非零實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，0) B. C．(－∞，0)∪ D. 答案　C 解析　由題意得－＝ln ＝(t－2e)ln t， 令f(t)＝(t－2e)ln t(t＞0)，則f′(t)＝ln t＋1－， 令h(t)＝f′(t)，則h′(t)＝＋＞0，∴h(t)為增函數(shù)，即f′(t)為增函

9、數(shù)． 當(dāng)t＞e時(shí)，f′(t)＞f′(e)＝0， 當(dāng)0＜t＜e時(shí)，f′(t)＜f′(e)＝0， ∴f(t)≥f(e)＝－e，且當(dāng)t→0時(shí)，f(t)→＋∞， ∴－≥－e，解得a＜0或a≥，故選C. 第Ⅱ卷 本卷包括必考題和選考題兩部分．第13～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答． 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分． 13．若變量x，y滿足約束條件則z＝的最小值是________． 答案?。? 解析　畫(huà)出滿足約束條件的可行域，如圖中陰影部分所示(含邊界)， 聯(lián)立解得A(2,2)， z＝的幾何意義為可行域內(nèi)的點(diǎn)與

10、定點(diǎn)P(3,0)的連線的斜率． ∵kPA＝＝－2，∴z＝的最小值是－2. 14．已知三棱錐P－ABC內(nèi)接于球O，PA＝PB＝PC＝2，當(dāng)三棱錐P－ABC的三個(gè)側(cè)面的面積之和最大時(shí)，球O的表面積為_(kāi)_______． 答案　12π 解析　由于三條側(cè)棱相等，根據(jù)三角形面積公式可知，當(dāng)PA，PB，PC兩兩垂直時(shí)，側(cè)面積之和最大．此時(shí)PA，PB，PC可看成正方體一個(gè)頂點(diǎn)處的三條側(cè)棱，其外接球直徑為正方體的體對(duì)角線，即4R2＝3×22＝12，故球的表面積為4πR2＝12π. 15．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0,1)，B(1,0)，C(0，－2)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足||＝1，則|＋＋

11、|的最大值是________． 答案?。? 解析　設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x，y)， ∵C(0，－2)，且||＝1， ∴＝1，x2＋(y＋2)2＝1，則點(diǎn)M的軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓． ∵A(0,1)，B(1,0)，∴＋＋＝(x＋1，y＋1)， 則|＋＋|＝，其幾何意義表示圓x2＋(y＋2)2＝1上的點(diǎn)與點(diǎn)P(－1，－1)間的距離． 又點(diǎn)P(－1，－1)在圓C的外部， ∴|＋＋|max＝||＋1 ＝＋1 ＝＋1. 16．函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镈，若?x∈D，?a∈[1,2]，使得f(x)≥ax恒成立，則稱(chēng)函數(shù)y＝f(x)具有性質(zhì)P，現(xiàn)有如下函數(shù)： ①f(x)＝ex－1

12、；②f(x)＝2cos2－1(x≤0)； ③f(x)＝ 則具有性質(zhì)P的函數(shù)f(x)為_(kāi)_______．(填序號(hào)) 答案?、佗? 解析　①設(shè)φ(x)＝ex－1－x(x∈R)，則 φ′(x)＝ex－1－1. 當(dāng)x>1時(shí)，φ′(x)>0；當(dāng)x<1時(shí)，φ′(x)<0. ∴φ(x)min＝φ(1)＝0，所以ex－1－x≥0，ex－1≥x， 故?a＝1，使f(x)≥ax在R上恒成立，①中函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P； ②易知f(x)＝2cos2－1＝sin2x(x≤0)． 令φ(x)＝f(x)－2x＝sin2x－2x(x≤0)， 則φ′(x)＝2cos2x－2. ∴φ′(x)≤0，∴φ(x

13、)在(－∞，0]上是減函數(shù)， ∴φ(x)min＝φ(0)＝0，故f(x)≥2x恒成立． ∴?a＝2，使得f(x)≥ax在(－∞，0]上恒成立， ②中函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P； ③作函數(shù)y＝f(x)與直線y＝ax的圖象，顯然當(dāng)y＝ax過(guò)點(diǎn)O(0,0)，A(1,1)，B(2,2)時(shí)，斜率a＝1. 根據(jù)圖象知，不存在a∈[1,2]，使f(x)≥ax恒成立． 因此③中函數(shù)f(x)不具有性質(zhì)P. 綜上可知，具有性質(zhì)P的函數(shù)為①②. 三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． 17．(本小題滿分12分)已知銳角△ABC面積為S，角A，B，C所對(duì)邊分別是a，b，c，角

14、A，C的平分線相交于點(diǎn)O，b＝2且S＝(a2＋c2－b2)， 求：(1)角B的大?。? (2)△AOC周長(zhǎng)的最大值． 解　(1)∵S＝(a2＋c2－b2)， ∴acsinB＝(a2＋c2－b2)， 故acsinB＝×2accosB?tanB＝?B＝. (2)設(shè)△AOC的周長(zhǎng)為l，∠OAC＝α，則α∈， ∵OA，OC分別是角A，C的平分線，B＝， ∴∠AOC＝. 由正弦定理，得＝＝， ∴l(xiāng)＝4sinα＋4sin＋2＝4sin＋2， ∵α∈，∴α＋∈， 當(dāng)α＝時(shí)，△AOC周長(zhǎng)的最大值為4＋2. 18．(本小題滿分12分)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)

15、：將200只小鼠隨機(jī)分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液．每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比．根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖： 記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計(jì)值為0.70. (1)求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值； (2)分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)． 解　(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35. b＝1－0.05－0.15－0.70

16、＝0.10. (2)甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為 2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05， 乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為 3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00. 19．(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC＝AD＝CD＝AB＝2，AB∥DC，AD⊥CD，PC⊥平面ABCD. (1)求證：BC⊥平面PAC； (2)若M為線段PA的中點(diǎn)，且過(guò)C，D，M三點(diǎn)的平面與線段PB交于點(diǎn)N，確定點(diǎn)N的位置，說(shuō)明理由；并求三棱錐A－CMN的高． 解　(1

17、)證明：在直角梯形ABCD中， AC＝＝2， BC＝＝2， 所以AC2＋BC2＝AB2， 即AC⊥BC.又PC⊥平面ABCD，BC?平面ABCD， 所以PC⊥BC，又AC∩PC＝C，AC，PC?平面PAC，故BC⊥平面PAC. (2)N為PB的中點(diǎn)，如圖，連接MN，CN. 因?yàn)镸為PA的中點(diǎn)，N為PB的中點(diǎn)，所以MN∥AB，且MN＝AB＝2. 又因?yàn)锳B∥CD，所以MN∥CD，所以M，N，C，D四點(diǎn)共面， 所以N為過(guò)C，D，M三點(diǎn)的平面與線段PB的交點(diǎn)． 因?yàn)锽C⊥平面PAC，N為PB的中點(diǎn)， 所以點(diǎn)N到平面PAC的距離d＝BC＝. 又S△ACM＝S△ACP＝××A

18、C×PC＝， 所以V三棱錐N－ACM＝××＝. 由題意可知，在Rt△PCA中， PA＝＝2，CM＝， 在Rt△PCB中，PB＝＝2， CN＝，所以S△CMN＝×2×＝. 設(shè)三棱錐A－CMN的高為h， V三棱錐N－ACM＝V三棱錐A－CMN＝××h＝， 解得h＝，故三棱錐A－CMN的高為. 20．(本小題滿分12分)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)，離心率e＝，A是橢圓的左頂點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的左焦點(diǎn)，|AF|＝1，直線m：x＝－4. (1)求橢圓C的方程； (2)直線l過(guò)點(diǎn)F與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，直線PA，QA分別與直線m交于M，N兩點(diǎn)，試問(wèn)：以MN為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)，如果

19、是，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解　(1)由題意，得解得 又∵a2＝b2＋c2，∴b＝， 故所求橢圓方程為＋＝1. (2)當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y＝k(x＋1)(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直線PA：y＝(x＋2)． 令x＝－4，得M， 同理N. 則以MN為直徑的圓的方程為(x＋4)(x＋4)＋＝0， 整理得，(x＋4)2＋y2＋2ky＋4k2＝0① 由得(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0. 則x1＋x2＝，x1x2＝.② 將②代入①，整理得，x2＋y2＋8x－y＋7＝0. 令y＝0，得x＝－1或x＝－7. 當(dāng)直線l斜

20、率不存在時(shí)，P，Q，M(－4，－3)，N(－4,3)， 以MN為直徑的圓為(x＋4)2＋y2＝9也過(guò)點(diǎn)(－1,0)，(－7,0)兩點(diǎn)． 綜上，以MN為直徑的圓能過(guò)兩定點(diǎn)(－1,0)，(－7,0)． 21．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝－ax－b，g(x)＝ax2＋bx. (1)當(dāng)a＝2，b＝－3時(shí)，求函數(shù)f(x)在x＝e處的切線方程，并求函數(shù)f(x)的最大值； (2)若函數(shù)y＝f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為x1，x2，且x1≠x2，求證：g>1. 解　(1)當(dāng)a＝2，b＝－3時(shí)，f(x)＝－x＋3(x>0)， f′(x)＝， 則f′(e)＝－1，切點(diǎn)為， 故函數(shù)f(x)在x

21、＝e處的切線方程為x＋y－－3＝0. 令h(x)＝1－ln x－x2，則h(x)＝1－ln x－x2在(0，＋∞)是減函數(shù)， 又h(1)＝0，∴x∈(0,1)，h(x)>0，f′(x)>0，x∈(1，＋∞)，h(x)<0，f′(x)<0， ∴f(x)在(0,1)上是增函數(shù)，在(1，＋∞)上是減函數(shù)． ∴f(x)max＝f(1)＝2. (2)證明：∵x1，x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)x1

22、b(x1－x2)＝0?－a(x1＋x2)－b＝0?－a·(x1＋x2)2－b(x1＋x2)＝0?－a2－b＝0. ∴＝g?g＝＝， 令t＝，即證01， >1?ln t0， ∴m(t)＝ln t－在(0,1)上是增函數(shù)， 又∵m(1)＝0， ∴t∈(0,1)時(shí)，m(t)<0，命題得證． 請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清題號(hào)． 22．(本小題滿分10分)選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C1：x＋y＝1

23、與曲線C2：(φ為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)寫(xiě)出曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程； (2)在極坐標(biāo)系中，已知l：θ＝α(ρ>0)與C1，C2的公共點(diǎn)分別為A，B，α∈，當(dāng)＝4時(shí)，求α的值． 解　(1)曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ(cosθ＋sinθ)＝1， 即ρsin＝. 曲線C2的普通方程為(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0， 所以曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ. (2)由(1)知，|OA|＝ρA＝，|OB|＝ρB＝4cosα， ∴＝4cosα(cosα＋sinα)＝2(1＋cos2α＋sin2α) ＝2＋2sin， ∵＝4

24、，∴2＋2sin＝4， sin＝， 由0<α<，知<2α＋<，即2α＋＝， ∴α＝. 23．(本小題滿分10分)選修4－5：不等式選講 已知函數(shù)f(x)＝|x＋2|－|2x－1|. (1)求f(x)>－5的解集； (2)若關(guān)于x的不等式|b＋2a|－|2b－a|≥|a|(|x＋1|＋|x－m|)(a≠0)能成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解　(1)f(x)＝|x＋2|－|2x－1| ＝ 故f(x)>－5的解集為(－2,8)． (2)由|b＋2a|－|2b－a|≥|a|(|x＋1|＋|x－m|)(a≠0)能成立， 得≥|x＋1|＋|x－m|能成立， 即－≥|x＋1|＋|x－m|能成立， 令＝t，則|t＋2|－|2t－1|≥|x＋1|＋|x－m|能成立， 由(1)知，|t＋2|－|2t－1|≤， 又∵|x＋1|＋|x－m|≥|1＋m|， ∴|1＋m|≤，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是. - 15 -