2020屆高考數(shù)學大二輪復(fù)習 沖刺創(chuàng)新專題 題型1 選填題 練熟練穩(wěn) 少丟分 第2講 集合與常用邏輯用語練習 文
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1、第2講 集合與常用邏輯用語 [考情分析] 集合是高考的必考考點之一,多為選擇題,試題比較簡單,題型比較固定,為高考送分試題,經(jīng)常以不等式解集,函數(shù)的定義域、值域為背景考查集合的概念及基本運算,有時也會出現(xiàn)一些集合的新定義問題;常用邏輯用語是高考命題的熱點,考查題型也比較固定,考向主要分為四個部分:四種命題及其之間的關(guān)系,充分、必要條件的判斷方法,含有量詞的命題的否定與真假判斷,含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷. 熱點題型分析 熱點1 集合的基本概念 利用集合元素的特征:確定性、無序性、互異性. 設(shè)a,b∈R,集合{1,a+b,a}=,則b-a=( ) A.1 B.-1
2、 C.2 D.-2 答案 C 解析 由題意知,0∈{1,a+b,a},又a≠0,故a+b=0,得=-1,則集合{1,0,a}={0,-1,b},可得a=-1,b=1,b-a=2.故選C. 兩集合相等的條件是集合中的元素分別相同,本題易忽視本身所包含的a≠0這一條件,而錯誤的得出:a+b=0或a=0;還需注意集合中元素的互異性這一特性:由a+b=0,可得a=1,b=-1或a=-1,b=1,顯然a=1時,左、右兩邊集合中的兩個元素是重復(fù)的,故舍棄. 熱點2 集合的基本運算 先正確理解各個集合的含義,認清集合元素的屬性、代表的意義,再根據(jù)元素的不同屬性采用不同的方法對集合進行化簡
3、求解,集合運算中的常用方法:
(1)若給定的集合是無限、連續(xù)數(shù)集,不等式的解集,常借助數(shù)軸求解;
(2)若給定的集合是點集,常借助函數(shù)的圖象或方程的曲線求解;
(3)若給定的集合是抽象集合或是用列舉法表示的集合,用Venn圖求解.
1.已知集合M={y|y=x2+1,x∈R},N={x|y=},則M∩N=( )
A.{x|1 4、則M∩N為圖中陰影部分,所以M∩N={x|1≤x≤3}.故選C.
2.(2019·全國卷Ⅰ)已知集合M={x|-4 5、答案 A
解析 ∵x2+y2≤3,∴x2≤3,∵x∈Z,∴x=-1,0,1,
當x=-1時,y=-1,0,1;當x=0時,y=-1,0,1;當x=1時,y=-1,0,1,∴A中元素共有9個,故選A.
1.研究一個集合,首先要看集合中的代表元素,然后再看元素的限制條件,當集合用描述法表示時,注意弄清其元素表示的意義是什么,如第1題中,集合M中的元素是y,所求集合為函數(shù)的值域,集合N中元素為x,所求集合為函數(shù)的定義域;第2題中,集合中的元素是x,所求集合為不等式解集;第3題中,集合中的元素是(x,y),所求集合為函數(shù)圖象上的點集.
2.在集合化簡時,要注意正確求解代表元素的取值范圍,再 6、借助數(shù)軸圖或函數(shù)圖進行運算解決.
熱點3 以集合為載體的創(chuàng)新題
以考查探究能力和創(chuàng)新能力為目的,使用已有的數(shù)學知識去分析和解決問題.
(2019·沈陽模擬)已知集合A={x∈N|x2-2x-3≤0},B={1,3},定義集合A,B之間的運算“*”:A*B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},則A*B中的所有元素數(shù)字之和為( )
A.15 B.16
C.20 D.21
答案 D
解析 由x2-2x-3≤0,得(x+1)(x-3)≤0,得A={0,1,2,3}.因為A*B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},所以A*B中的元素有:0+1=1,0+3=3, 7、1+1=2,1+3=4,2+1=3(舍去),2+3=5,3+1=4(舍去),3+3=6,所以A*B={1,2,3,4,5,6},所以A*B中的所有元素數(shù)字之和為21.
解決以集合為背景的新定義問題,要抓住兩點:
(1)緊扣新定義.首先分析新定義的特點,把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚,應(yīng)用到具體的解題過程之中.
(2)用好集合的性質(zhì).解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素.本題中x1∈A,x2∈B,忽視任何一個條件,都會導致失誤丟分!
熱點4 四種命題及其之間的關(guān)系
1.由原命題寫出其他三種命題,關(guān)鍵要分清原命題的條件和結(jié)論.
2.兩個命題互為逆否命題,它們有相 8、同的真假性,當一個命題判斷不易時,可轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題的真假.
原命題:設(shè)a,b,c∈R,若“a>b”,則“ac2>bc2”,以及它的逆命題、否命題、逆否命題中,真命題共有( )
A.0個 B.1個
C.2個 D.4個
答案 C
解析 若c=0,則原命題不成立,由等價命題同真假知其逆否命題也為假;逆命題:設(shè)a,b,c∈R,若“ac2>bc2”,則“a>b”.由ac2>bc2知c2>0,由不等式的基本性質(zhì)得a>b,所以逆命題為真,由等價命題同真假知否命題也為真,所以真命題共有2個.故選C.
寫一個命題的其他三種命題形式時,若命題有大前提,需保留大前提不變,只改變條件和 9、結(jié)論.判斷命題真假時,要注意原命題與逆否命題同真假,故四個命題中真、假命題必有偶數(shù)個.本題中“設(shè)a,b,c∈R”是大前提,在原命題的判斷中易忽略c=0的特殊情況而得出真命題,從而錯選D.
熱點5 充分、必要條件的判斷
判斷充分、必要條件的三種方法:
(1)利用定義判斷.
(2)利用集合間的包含關(guān)系判斷.
1.(2017·北京高考)設(shè)m,n為非零向量,則“存在負數(shù)λ,使得m=λn”是“m·n<0”的( )
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
答案 A
解析 若?λ<0,使m=λn,即兩向量反向,夾角是π,那么m·n 10、=|m||n|cosπ=-|m||n|<0,反過來,若m·n<0,那么兩向量的夾角為,并不一定反向,即不一定存在負數(shù)λ,使得m=λn,所以是充分不必要條件,故選A.
答案 [9,+∞)
1.第1題誤區(qū)有兩個方面:①由“存在負數(shù)λ,使得m=λn”不能得出向量反向,由“m·n<0”,不能得出θ∈;②由向量m與n反向能得出m·n<0,而認為m·n<0也能得出m與n反向.
2.對于條件或結(jié)論是否定形式的命題一般運用等價法,然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解.但第2題中由NM,易誤解為得m>9.
熱點6 簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱命題與特稱命題
1.含有邏輯 11、聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷步驟
2.全(特)稱命題的否定及真假的判斷方法
(1)含有全稱量詞的全稱命題的否定是將全稱量詞改為存在量詞,并把結(jié)論否定;含有存在量詞的特稱命題的否定是將存在量詞改為全稱量詞,并把結(jié)論否定.
(2)有些全稱(或特稱)命題省略了全稱(或存在)量詞,否定時要先理解其含義,再進行否定.
1.下列命題中的假命題是( )
A.?x∈R,2x-1>0
B.?x∈N*,(x-1)2>0
C.?x0∈R,lg x0<1
D.?x0∈R,tanx0=2
答案 B
解析 當x∈N*時,x-1∈N,可得(x-1)2≥0,當且僅當x=1時取等號,故B不正確;易知A 12、,C,D正確,故選B.
A.?x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)≤0
B.?x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)≤0
C.?x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0
D.?x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0
答案 C
判定全稱命題“?x∈M,p(x)”是真命題,需要對集合M中的每一個元素x,證明p(x)成立;要判斷特稱命題是真命題,只要在限定集合內(nèi)找到一個x=x0,使p(x0)成立.
真題自檢感悟
1.(2018·全國卷Ⅰ)已知集合A={x|x2-x-2>0},則?RA=( 13、 )
A.{x|-1 14、,3}.故選C.
3.(2017·天津高考)設(shè)θ∈R,則“<”是“sinθ<”的( )
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
答案 A
解析 ∵<,∴-<θ-<,即0<θ<.顯然0<θ<時,sinθ<成立.但sinθ<時,由周期函數(shù)的性質(zhì)知0<θ<不一定成立.故0<θ<是sinθ<的充分而不必要條件.故選A.
4.(2017·全國卷Ⅰ)設(shè)有下面四個命題:
p1:若復(fù)數(shù)z滿足∈R,則z∈R;
p2:若復(fù)數(shù)z滿足z2∈R,則z∈R;
p3:若復(fù)數(shù)z1,z2滿足z1z2∈R,則z1=2;
p4:若復(fù)數(shù)z∈R,則∈R.
其中的真命題 15、為( )
A.p1,p3 B.p1,p4
C.p2,p3 D.p2,p4
答案 B
解析 設(shè)z=a+bi(a,b∈R),z1=a1+b1i(a1,b1∈R),z2=a2+b2i(a2,b2∈R).
對于p1,若∈R,即=∈R,則b=0?z=a+bi=a∈R,所以p1為真命題.
對于p2,若z2∈R,即(a+bi)2=a2+2abi-b2∈R,則ab=0.
當a=0,b≠0時,z=a+bi=bi?R,所以p2為假命題.
對于p3,若z1z2∈R,即(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i∈R,則a1b2+a2b1=0.而z1=2,即 16、a1+b1i=a2-b2i?a1=a2,b1=-b2.因為a1b2+a2b1==a2,b1=-b2,所以p3為假命題.
對于p4,若z∈R,即a+bi∈R,則b=0?=a-bi=a∈R,所以p4為真命題.故選B.
5.(2019·北京高考)設(shè)點A,B,C不共線,則“與的夾角為銳角”是“|+|>||”的( )
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
答案 C
解析 因為點A,B,C不共線,由向量加法的三角形法則,可知=-,所以|+|>||等價于|+|>|-|,因模為正,故不等號兩邊平方得2+2+2||||cosθ>2+2-2||·|| 17、cosθ(θ為與的夾角),整理得4||||·cosθ>0,故cosθ>0,即θ為銳角.又以上推理過程可逆,所以“與的夾角為銳角”是“|+|>||”的充分必要條件.故選C.
專題作業(yè)
一、選擇題
1.(2018·天津高考)設(shè)全集為R,集合A={x|0 18、nθ=1,則p是q的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
答案 D
解析 由cosθ=,得θ=±+2kπ,k∈Z,則tanθ=±1,故pq,p是q的不充分條件;由tanθ=1,得θ=+kπ,k∈Z,則cosθ=±,故qp,p是q的不必要條件;所以p是q的既不充分也不必要條件.故選D.
3.(2019·海南聯(lián)考)已知集合A={x|3x2+x-2≤0},B={x|log2(2x-1)≤0},則A∩B等于( )
答案 D
解析 由題意得A=,B=,
∴A∩B=,故選D.
4.(2019·鄭州質(zhì)測)下列命題是真命題的是( ) 19、
A.?φ∈R,函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函數(shù)
B.?α,β∈R,使cos(α+β)=cosα+cosβ
C.向量a=(2,1),b=(-1,0),則a在b方向上的投影為2
D.“|x|≤1”是“x≤1”的既不充分又不必要條件
答案 B
解析 當φ=+kπ,k∈Z時,函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)是偶函數(shù),所以A是假命題;若α=,β=-,則cos(α+β)=cosα+cosβ,所以B是真命題;|a|cos〈a,b〉===-2,即a在b方向上的投影為-2,所以C是假命題;“|x|≤1?-1≤x≤1”是“x≤1”的充分不必要條件,所以D是假命題,故選B.
5.(201 20、8·天津高考)設(shè)x∈R,則“<”是“x3<1”的( )
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
答案 A
解析 絕對值不等式- 21、與n平行,所以“m∥n”是“m∥α”的充分不必要條件.故選A.
7.已知p:x≥k,q:(x+1)(2-x)<0,如果p是q的充分不必要條件,則實數(shù)k的取值范圍是( )
A.[2,+∞) B.(2,+∞)
C.[1,+∞) D.(-∞,-1]
答案 B
解析 由q:(x+1)(2-x)<0,得x<-1或x>2,又p是q的充分不必要條件,所以k>2,即實數(shù)k的取值范圍是(2,+∞),故選B.
8.命題“?x∈[1,2),x2-a≤0”成立的一個充分不必要條件可以是( )
A.a≥1 B.a(chǎn)>1
C.a(chǎn)≥4 D.a(chǎn)>4
答案 D
解析 命題成立的充要條件是?x∈[1, 22、2),a≥x2恒成立,即a≥4.∴命題成立的一個充分不必要條件可以是a>4.故選D.
9.下列命題中,真命題是( )
A.?x0∈R,ex0≤0
B.?x∈R,2x>x2
C.a+b=0的充要條件是=-1
D.“a>1,b>1”是“ab>1”的充分條件
答案 D
解析 因為y=ex0>0,x0∈R恒成立,所以A不正確;因為當x=-5時,2-5<(-5)2,所以B不正確;“=-1”是“a+b=0”的充分不必要條件,所以C不正確;當a>1,b>1時,顯然ab>1,故D正確.
10.已知命題p:“?x∈[0,1],a≥ex”,命題q:“?x0∈R,x+4x0+a=0”.若命題p和q 23、都成立,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(4,+∞) B.[1,4]
C.[e,4] D.(-∞,-1)
答案 C
解析 對于p成立,a≥(ex)max,∴a≥e.對于q成立,知x+4x0+a=0有解,則Δ=16-4a≥0,解得a≤4.綜上可知e≤a≤4.故選C.
11.已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定義集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},則A⊕B中元素的個數(shù)為( )
A.77 B.49
C.45 D.30
答案 C
解析 當x1=0時,y 24、1∈{-1,0,1},而x2,y2∈{-2,-1,0,1,2},此時x1+x2∈{-2,-1,0,1,2},y1+y2∈{-3,-2,-1,0,1,2,3},則A⊕B中元素的個數(shù)為5×7=35.
當x1=±1時,y1=0,而x2,y2∈{-2,-1,0,1,2},此時x1+x2∈{-3,-2,-1,0,1,2,3},y1+y2∈{-2,-1,0,1,2}.由于當x1+x2∈{-2,-1,0,1,2},y1+y2∈{-2,-1,0,1,2}時,A⊕B中的元素與x1=0時有重復(fù)的元素,此時不重復(fù)的元素個數(shù)為2×5=10,所以A⊕B中元素的個數(shù)為35+10=45.故選C.
12.給出下列四個命題 25、:
①“若x0為y=f(x)的極值點,則f′(x0)=0”的逆命題為真命題;
②“平面向量a,b的夾角是鈍角”的充分不必要條件是“a·b<0”;
④命題“?x∈R,x2+x+1<0”的否定是“?x∈R,x2+x+1≥0”.
其中不正確命題的編號是( )
A.②④ B.①③④
C.①②④ D.①②③
答案 D
解析 對于①,“若x0為y=f(x)的極值點,則f′(x0)=0”的逆命題為“若f′(x0)=0,則x0為y=f(x)的極值點”,不正確,如f(x)=x3,f′(x)=3x2,由f′(x0)=0,可得x0=0,但x0=0不是極值點,故①錯;對于②,“平面向量a,b的夾 26、角是鈍角”等價于“a·b<0,且a·b不共線”,則“平面向量a,b的夾角是鈍角”的必要不充分條件是“a·b<0”,故②錯;對于③,若命題p:<0,則
:≥0或x=1,故③錯;對于④,命題“?x∈R,x2+x+1<0”的否定是“?x∈R,x2+x+1≥0”,故④正確.故選D.
二、填空題
13.已知全集U=R,集合A,B滿足A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1 27、-2 且2m-1≤7,得m≤4且m≥-3,∴m∈(2,4].
14.若“?x∈,tanx≤m”是真命題,則實數(shù)m的最小值為________.
答案 1
解析 若“?x∈,tanx≤m”是真命題,則m≥tan=1,于是實數(shù)m的最小值為1.
15.(2019·山東濟南一中月考)已知不等式|x-m|<1成立的充分不必要條件是
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