2020屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 課時跟蹤練(五十九)拋物線 理(含解析)新人教A版

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1、課時跟蹤練(五十九) A組 基礎(chǔ)鞏固 1.(2019·黃山模擬)若拋物線y2=8x上一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)的距離為10,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(  ) A.(8,8) B.(8,-8) C.(8,±8) D.(-8,±8) 解析:設(shè)P(xP,yP), 因?yàn)辄c(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線x=-2的距離, 所以xP=8,則yP=±8, 所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(8,±8).故選C. 答案:C 2.O為坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),若|PF|=4,則△POF的面積為(  ) A.2 B.2 C.2 D.4 解析:如圖,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),

2、由|PF|=x0+=4,得x0=3, 代入拋物線方程得,y=4×3=24,所以|y0|=2, 所以S△POF=|OF||y0|=××2=2. 答案:C 3.(2019·珠海模擬)已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn),且在第一象限,PA⊥l,垂足為A,|PF|=4,則直線AF的傾斜角等于(  ) A. B. C. D. 解析:由拋物線y2=4x知焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0),準(zhǔn)線l的方程為x=-1,由拋物線定義可知|PA|=|PF|=4,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,2),因此點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,2),所以kAF==-,所以直線AF的傾斜角等于,故選B. 答

3、案:B 4.(2019·河南百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在拋物線C上,且|MO|=|MF|=(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則·=(  ) A.- B. C. D.- 解析:不妨設(shè)M(m,)(m>0),易知拋物線C的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為,因?yàn)閨MO|=|MF|=,所以解得m=,p=2,所以=,=,所以·=-2=-.故選A. 答案:A 5.(2019·長沙模擬)已知點(diǎn)P(x0,y0)是拋物線y2=4x上的一個動點(diǎn),Q是圓C:(x+2)2+(y-4)2=1上的一個動點(diǎn),則x0+|PQ|的最小值為(  ) A.2-1 B.2 C.3 D.4 解析

4、:設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F(1,0),過點(diǎn)P(x0,y0)作準(zhǔn)線l:x=-1的垂線,垂足為N,則x0+|PQ|=|PN|+|PQ|-1=|PF|+|PQ|-1≥|CF|-2=-2=5-2=3,當(dāng)且僅當(dāng)C,P,F(xiàn)三點(diǎn)共線且點(diǎn)Q在線段CF上時取等號,則x0+|PQ|的最小值是3,故選C. 答案:C 6.(2019·福州模擬)函數(shù)y=ax-1(a>0且a≠1)的圖象恒過點(diǎn)P,則焦點(diǎn)在x軸上且過點(diǎn)P的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________________. 解析:設(shè)拋物線的方程為y2=mx(m≠0),由題意知點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1),代入y2=mx,可得m=1,所以焦點(diǎn)在x軸上且過點(diǎn)P的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)

5、方程是y2=x. 答案:y2=x 7.(2019·玉溪模擬)已知F是拋物線y=x2的焦點(diǎn),M、N是該拋物線上的兩點(diǎn),|MF|+|NF|=3,則線段MN的中點(diǎn)到x軸的距離為________. 解析:拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為y=-,過M,N作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為M′,N′, 則|MM′|=|MF|,|NN′|=|NF|, 所以|MM′|+|NN′|=|MF|+|NF|=3, 設(shè)線段MN的中點(diǎn)為P,過P作準(zhǔn)線的垂線,垂足為P′, 則|PP′|==, 所以線段MN的中點(diǎn)P到x軸的距離為|PP′|-=-=. 答案: 8.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F作斜率大于0的直線l交

6、拋物線于A,B兩點(diǎn)(A在B的上方),且l與準(zhǔn)線交于點(diǎn)C,若=4,則=________. 解析:根據(jù)題意,設(shè)|AF|=a,|BF|=b, 過A,B作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為M,N, 則有|BF|=|BN|=b,|AF|=|AM|=a, 因?yàn)椋?,所以|CB|=4|BF|, 即|CB|=4|BN|, 又BN∥AM, 所以|CA|=4|AM|,即4b+b+a=4a, 變形可得=, 即=. 答案: 9.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,A是拋物線上橫坐標(biāo)為4,且位于x軸上方的點(diǎn),A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5,過A作AB垂直于y軸,垂足為B,OB的中點(diǎn)為M. (1)求拋

7、物線的方程; (2)若過M作MN⊥FA,垂足為N,求點(diǎn)N的坐標(biāo). 解:(1)拋物線y2=2px的準(zhǔn)線為x=-,于是4+=5, 所以p=2, 所以拋物線方程為y2=4x. (2)由(1)知點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4,4),由題意得B(0,4),M(0,2). 又因?yàn)镕(1,0),所以kFA=. 因?yàn)镸N⊥FA,所以kMN=-, 所以FA的方程為y=(x-1),① MN的方程為y=-x+2,② 由①②聯(lián)立得x=,y=, 所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為. 10.已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),斜率為2的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)兩點(diǎn),且|AB|=9.

8、(1)求該拋物線的方程; (2)O為坐標(biāo)原點(diǎn),C為拋物線上一點(diǎn),若=+λ,求λ的值. 解:(1)直線AB的方程是y=2, 與y2=2px聯(lián)立,從而有4x2-5px+p2=0, 所以x1+x2=,由拋物線定義得|AB|=x1+x2+p=9, 所以p=4,從而拋物線方程是y2=8x. (2)由(1)知p=4,4x2-5px+p2=0可簡化為x2-5x+4=0, 又x1<x2, 從而x1=1,x2=4,y1=-2,y2=4, 從而A(1,-2),B(4,4). 設(shè)=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(4λ+1,4λ-2),又y=8x3,即[2(2λ-1)]2=8(4λ+

9、1),即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2. B組 素養(yǎng)提升 11.(2019·太原模擬)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F,設(shè)A,B是拋物線上的兩個動點(diǎn),|AF|+|BF|=|AB|,則∠AFB的最大值為(  ) A. B. C. D. 解析:設(shè)|AF|=m,|BF|=n, 因?yàn)閨AF|+|BF|=|AB|, 所以|AB|≥2,所以mn≤|AB|2, 在△AFB中,由余弦定理得 cos ∠AFB===≥-, 所以∠AFB的最大值為.故選D. 答案:D 12.(2017·全國卷Ⅱ)過拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F,且斜率為的直線交C于點(diǎn)M(M在x軸的上方),l

10、為C的準(zhǔn)線,點(diǎn)N在l上,且MN⊥l,則M到直線NF的距離為(  ) A. B.2 C.2 D.3 解析:拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1.由直線方程的點(diǎn)斜式可得直線MF的方程為y=(x-1). 聯(lián)立得方程組 解得或 因?yàn)辄c(diǎn)M在x軸的上方, 所以M(3,2). 因?yàn)镸N⊥l, 所以N(-1,2). 所以|NF|==4, |MF|=|MN|==4. 所以△MNF是邊長為4的等邊三角形. 所以點(diǎn)M到直線NF的距離為2. 故選C. 答案:C 13.[一題多解](2018·全國卷Ⅲ)已知點(diǎn)M(-1,1)和拋物線C:y2=4x,過C的焦

11、點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A,B兩點(diǎn).若∠AMB=90°,則k=________. 解析:法一 由題意可知C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),所以過焦點(diǎn)(1,0),斜率為k的直線方程為x=+1, 設(shè)A,B,將直線方程與拋物線方程聯(lián)立得整理得y2-y-4=0, 從而得y1+y2=,y1·y2=-4. 因?yàn)镸(-1,1),∠AMB=90°,所以·=0, 即·+(y1-1)(y2-1)=0, 即k2-4k+4=0,解得k=2. 法二 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則 ②-①得y-y=4(x2-x1),從而k==. 設(shè)AB的中點(diǎn)為M′,連接MM′. 因?yàn)橹本€AB過拋物線y2=4x的焦

12、點(diǎn), 所以以線段AB為直徑的⊙M′與準(zhǔn)線l:x=-1相切. 因?yàn)镸(-1,1),∠AMB=90°, 所以點(diǎn)M在準(zhǔn)線l:x=-1上,同時在⊙M′上, 所以準(zhǔn)線l是⊙M′的切線,切點(diǎn)為M,且M′M⊥l, 即MM′與x軸平行, 所以點(diǎn)M′的縱坐標(biāo)為1,即=1?y1+y2=2, 故k===2. 答案:2 14.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn). (1)若=2,求直線AB的斜率; (2)設(shè)點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動,原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M的對稱點(diǎn)為C,求四邊形OACB面積的最小值. 解:(1)依題意知F(1,0), 設(shè)直線AB的方程為x=my+1. 將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立,消去x得 y2-4my-4=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1+y2=4m,y1y2=-4. 因?yàn)椋?,所以y1=-2y2. 聯(lián)立上述三式,消去y1,y2,得m=±. 所以直線AB的斜率是±2. (2)由點(diǎn)C與原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M對稱,得M是線段OC的中點(diǎn), 從而點(diǎn)O與點(diǎn)C到直線AB的距離相等, 所以四邊形OACB的面積等于2S△AOB. 因?yàn)?S△AOB=2×·|OF|·|y1-y2|= =4, 所以當(dāng)m=0時,四邊形OACB的面積最小,最小值是4. 8

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