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1、每日一題 規(guī)范練(第三周)
[題目1] 在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知cos 2C＝－.
(1)求sin C；
(2)當(dāng)c＝2a，且b＝3時(shí)，求a.
解：(1)因?yàn)閏os 2 C＝－，即1－2sin2 C＝－.
又0＜C＜，
所以sin C＝＝.
(2)由(1)知sin C＝，且△ABC是銳角三角形，
所以cos C＝＝.
因?yàn)閏＝2a，＝，
所以sin A＝sin C＝，cos A＝.
所以sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝.
因?yàn)椋剑琤＝3，
所以a＝2.
[
2、題目2] 已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公比q＞1，且a2＋1為a1，a3的等差中項(xiàng)，S3＝14.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)記bn＝an· log2an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
解：(1)由題意，得2(a2＋1)＝a1＋a3.
又S3＝a1＋a2＋a3＝14，
所以2(a2＋1)＝14－a2，所以a2＝4.
因?yàn)镾3＝＋4＋4q＝14，
所以q＝2或q＝.
又q＞1，所以公比q＝2.
因此an＝a2qn－2＝4·2n－2＝2n.
(2)由(1)知an＝2n，
所以bn＝an·log2an＝n·2n，
所以Tn＝1×21＋2×22＋3×23
3、＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n.
所以2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1.
兩式相減得－Tn＝2＋22＋23＋24＋…＋2n－n×2n＋1＝
－n×2n＋1＝(1－n)2n＋1－2.
故Tn＝(n－1)2n＋1＋2.
[題目3] 如圖，在三棱柱ABC-DEF中，AE與BD相交于點(diǎn)O，C在平面ABED內(nèi)的射影為O，G為CF的中點(diǎn)．
(1)求證：平面ABED⊥平面GED；
(2)若AB＝BD＝BE＝EF＝2，求二面角A-CE-B的余弦值．
(1)證明：取DE中點(diǎn)M，連接OM，在三角形BDE中，
OM∥BE，OM＝BE.
又
4、因?yàn)镚為CF中點(diǎn)，
所以CG∥BE，CG＝BE.
所以CG∥OM，CG＝OM.
所以四邊形OMGC為平行四邊形．
所以GM∥CO.
因?yàn)镃在平面ABED內(nèi)的射影為O.
所以CO⊥平面ABED.
所以GM⊥平面ABED，
又因?yàn)镚M?平面DEG，
所以平面ABED⊥平面GED.
(2)解：因?yàn)镃O⊥平面ABED，
所以CO⊥AO，CO⊥OB，
又因?yàn)锳B＝BE，所以四邊形ABED為菱形，
所以O(shè)B⊥AO.
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.
于是A(，0，0)，B(0，1，0)，
E(－，0，0)，
5、C(0，0，)，
＝(－，－1，0)，＝(0，－1，)．
設(shè)平面BCE的一個(gè)法向量為m＝(x1，y1，z1)，
即
不妨令z1＝1，則y1＝，x1＝－1，則m＝(－1，，1)．
又n＝(0，1，0)為平面ACE的一個(gè)法向量．
設(shè)二面角ACEB大小為θ，顯然θ為銳角，
于是cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝＝＝，
故二面角A-CE-B的余弦值為.
[題目4] (2019·河南八市聯(lián)盟“領(lǐng)軍考試”)某商家對(duì)他所經(jīng)銷的一種商品的日銷售量(單位：噸)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，最近50天的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：
日銷售量
1
1.5
2
天數(shù)
10
25
15
頻率
0.2
a
6、
b
若以上表中頻率作為概率，且每天的銷售量相互獨(dú)立．
(1)求5天中該種商品恰好有兩天的銷售量為1.5噸的概率；
(2)已知每噸該商品的銷售利潤(rùn)為2千元，X表示該種商品某兩天銷售利潤(rùn)的和(單位：千元)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
解：(1)由統(tǒng)計(jì)表知，a＝＝0.5，b＝＝0.3.
依題意，隨機(jī)選取一天，銷售量為1.5噸的概率p＝0.5.
設(shè)5天中該種商品有Y天的銷售量為1.5噸，
則Y～B(5，0.5)．
所以P(Y＝2)＝C×0.52×(1－0.5)3＝＝0.3125.
(2)X的可能取值為4，5，6，7，8.
P(X＝4)＝0.22＝0.04，P(X＝5)＝2×0.2×
7、0.5＝0.2，
P(X＝6)＝0.52＋2×0.2×0.3＝0.37，P(X＝7)＝2×0.3×0.5＝0.3，
P(X＝8)＝0.32＝0.09，
所以X的分布列為：
X
4
5
6
7
8
P
0.04
0.2
0.37
0.3
0.09
X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝4×0.04＋5×0.2＋6×0.37＋7×0.3＋8×0.09＝6.2(千元)．
[題目5] 已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)F(c，0)的最大距離是＋1，且1，a，4c成等比數(shù)列．
(1)求橢圓的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)F且與x軸不垂直的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中垂線
8、交x軸于點(diǎn)M(m，0)求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解：(1)由于1，a，4c成等比數(shù)列，
所以1×4c＝2a2，即a2＝2c.①
又a＋c＝＋1.②
聯(lián)立①②得a＝，c＝1.
則b2＝a2－c2＝1.
所以橢圓的方程為＋y2＝1.
(2)由題意得F(1，0)，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)．
與橢圓方程聯(lián)立得消去y可得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝.
可得線段AB的中點(diǎn)為N.
當(dāng)k＝0時(shí)，直線MN為y軸，此時(shí)m＝0.
當(dāng)k≠0時(shí)，直線MN的方程為y＋＝－，
化
9、簡(jiǎn)得ky＋x－＝0.令y＝0，得m＝.
所以m＝＝∈.
綜上所述，m的取值范圍為.
[題目6] (2019·衡水聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝excos x，x∈.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若不等式f(x)≤ax＋1恒成立，試求正實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解：(1)由函數(shù)f(x)＝excos x，x∈，
得f′(x)＝ex(cos x－sin x)，x∈.
令f′(x)＝0，得x＝，
則當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)＞0；
當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)＜0.
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
(2)令g(x)＝ax＋1－excos x，則
g′(x)＝a－ex(c
10、os x－sin x)＝a－excos.
令h(x)＝a－excos，則h′(x)＝2exsin x＞0，即h(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以h(x)≥h(0)＝a－1.
①當(dāng)a≥1時(shí)，a－1≥0，則h(x)≥0，即g′(x)≥0，
所以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，即g(x)≥g(0)＝0，
所以excos x≤ax＋1在區(qū)間上恒成立．
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，h(0)＝a－1＜0，h＝a＋e＞0，
所以h(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
故在區(qū)間上存在唯一的x0，使得h(x0)＝0，
即g′(x0)＝0.
所以g(x)在區(qū)間[0，x0]上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．
因?yàn)閤0＞0，所以g
11、(x0)＜g(0)＝0，所以excos x≤ax＋1不恒成立．
綜上所述，正實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，＋∞)．
[題目7] 1.[選修4－4坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，射線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位．圓C的方程為ρ＝2sin θ，l被圓C截得的弦長(zhǎng)為.
(1)求實(shí)數(shù)m的值；
(2)設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A、B，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，)，且m＞0，求|PA|＋|PB|的值．
解：(1)由ρ＝2sin θ，得x2＋y2－2y＝0，
即x2＋(y－)2＝5.
直線l的普通方程為x＋y－m－＝0
12、，l被圓C截得的弦長(zhǎng)為，
所以圓心到直線的距離＝，
解得m＝3或m＝－3.
(2)法1：當(dāng)m＝3時(shí)，將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程得，(3－t)2＋(t)2＝5，即2t2－3t＋2＝0.
由于Δ＝(3)2－4×4＝2＞0，
設(shè)t1，t2是方程2t2－3t＋2＝0的兩實(shí)根．
所以
又直線l過(guò)點(diǎn)P(3，)，
故由上式及t的幾何意義，得|PA|＋|PB|＝2(|t1|＋|t2|)＝2(t1＋t2)＝3.
法2：當(dāng)m＝3時(shí)點(diǎn)P(3，)，易知點(diǎn)P在直線l上．
又32＋(－)2＞5，所以點(diǎn)P在圓外．
聯(lián)立消去y得，x2－3x＋2＝0.
不妨設(shè)A(2，1＋)、B(1，2＋)，所
13、以|PA|＋|PB|＝＋2＝3.
2．[選修4－5不等式選講]
已知f(x)＝2|x＋1|＋|2x－1|.
(1)若f(x)＞f(1)，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
(2)f(x)≥＋(m＞0，n＞0)對(duì)任意的x∈R都成立，求證：m＋n≥.
(1)解：由f(x)＞f(1)得2|x＋1|＋|2x－1|＞5.
①當(dāng)x≥時(shí)，2(x＋1)＋(2x－1)＞5，得x＞1；
②當(dāng)－1≤x＜時(shí)，2(x＋1)－(2x－1)＞5，得3＞5，不成立；
③當(dāng)x＜－1時(shí)，－2(x＋1)－(2x－1)＞5，得x＜－.
綜上，所求的x的取值范圍是∪(1，＋∞)．
(2)證明：因?yàn)?|x＋1|＋|2x－1|＝|2x＋2|＋|2x－1|≥|(2x＋2)－(2x－1)|＝3，
所以＋≤3.
因?yàn)閙＞0，n＞0時(shí)，＋≥2，所以2≤3，
得≥，所以m＋n≥2≥.
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