南京郵電大學(xué)電磁場與電磁波考試必背公式.doc

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1、電磁場與電磁波復(fù)習(xí)第一部分 知識點歸納第一章 矢量分析1、三種常用的坐標(biāo)系（1）直角坐標(biāo)系微分線元： 面積元： ，體積元：（2）柱坐標(biāo)系長度元：，面積元，體積元：（3）球坐標(biāo)系長度元：，面積元：，體積元：2、三種坐標(biāo)系的坐標(biāo)變量之間的關(guān)系（1）直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系的關(guān)系（2）直角坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的關(guān)系（3）柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的關(guān)系3、梯度（1）直角坐標(biāo)系中：（2）柱坐標(biāo)系中：（3）球坐標(biāo)系中：4.散度（1）直角坐標(biāo)系中：（2）柱坐標(biāo)系中：（3）球坐標(biāo)系中：5、高斯散度定理：，意義為：任意矢量場的散度在場中任意體積內(nèi)的體積分等于矢量場在限定該體積的閉合面上的通量。6，旋度（1） 直角坐標(biāo)系中：（

2、2） 柱坐標(biāo)系中：（3） 球坐標(biāo)系中：兩個重要性質(zhì)：矢量場旋度的散度恒為零，標(biāo)量場梯度的旋度恒為零，7、斯托克斯公式：第二章 靜電場和恒定電場1、靜電場是由空間靜止電荷產(chǎn)生的一種發(fā)散場。描述靜電場的基本變量是電場強度、電位移矢量和電位。電場強度與電位的關(guān)系為：。2、電場分布有點電荷分布、體電荷分布、面電荷分布和線電荷分布。其電場強度和電位的計算公式如下：（1）點電荷分布（2）體電荷分布（3）面電荷分布（4） 線電荷分布3、介質(zhì)中和真空中靜電場的基本方程分別為在線性、各向同性介質(zhì)中，本構(gòu)方程為：4、電介質(zhì)的極化（1）極化介質(zhì)體積內(nèi)的極化體電荷密度為：。（2）介質(zhì)表面的極化面電荷密度為：5、在均勻

3、介質(zhì)中，電位滿足的微分方程為泊松方程和拉普拉斯方程，即6、介質(zhì)分界面上的邊界條件（1）分界面上的邊界條件（為分界面上的自由電荷面密度），當(dāng)分界面上沒有 自由電荷時，則有：，它給出了的法向分量在介質(zhì)分界面兩側(cè)的關(guān)系：（I） 如果介質(zhì)分界面上無自由電荷，則分界面兩側(cè)的法向分量連續(xù)；（II）如果介質(zhì)分界面上分布電荷密度，的法向分量從介質(zhì)1跨過分界面進(jìn)入介質(zhì)2時將有一增量，這個增量等于分界面上的面電荷密度。用電位表示：（2）分界面上的邊界條件（切向分量）,電場強度的切向分量在不同的分界面上總是連續(xù)的。由于電場的切向分量在分界面上總連續(xù)，法向分量有限，故在分界面上的電位函數(shù)連續(xù)，即。電力線折射定律：。7

4、、靜電場能量（1）靜電荷系統(tǒng)的總能量體電荷：；面電荷：；線電荷：。（2）導(dǎo)體系統(tǒng)的總能量為：。（3）能量密度靜電能是以電場的形式存在于空間，而不是以電荷或電位的形式存在于空間中的。場中任意一點的能量密度為：在任何情況下，總靜電能可由來計算。8、恒定電場存在于導(dǎo)電媒質(zhì)中由外加電源維持。描述恒定電場特性的基本變量為電場強度和電流密度，且。為媒質(zhì)的電導(dǎo)率。（1）恒定電場的基本方程電流連續(xù)性方程：恒定電流場中的電荷分布和電流分布是恒定的。場中任一點和任一閉合面內(nèi)都不能有電荷的增減，即。因此，電流連續(xù)性方程變?yōu)椋?，再加上，這變分別是恒定電場基本方程的積分形式和微分形式。（2）恒定電場的邊界條件應(yīng)用歐姆定

5、律可得：。此外，恒定電場的焦耳損耗功率密度為，儲能密度為。第四章 恒定磁場1、磁場的特性由磁感應(yīng)強度和磁場強度來描述，真空中磁感應(yīng)強度的計算公式為： （真空磁導(dǎo)率：）（1）線電流：（2）面電流：（3）體電流： 2、恒定磁場的基本方程（1）真空中恒定磁場的基本方程為：A、磁通連續(xù)性方程：，B、真空中安培環(huán)路定理：（2）磁介質(zhì)中恒定磁場的基本方程為：A、磁通連續(xù)性方程仍然滿足：，B、磁介質(zhì)中安培環(huán)路定理：C、磁性媒質(zhì)的本構(gòu)方程：。恒定磁場是一種漩渦場，因此一般不能用一個標(biāo)量函數(shù)的梯度來描述。3、磁介質(zhì)的磁化磁介質(zhì)在磁場中被磁化，其結(jié)果是磁介質(zhì)內(nèi)部出現(xiàn)凈磁矩或宏觀磁化電流。磁介質(zhì)的磁化程度用磁化強度

6、表示。（1）磁介質(zhì)中的束縛體電流密度為：；（2）磁介質(zhì)表面上的束縛面電流密度為：4、恒定磁場的矢量磁位為：，矢量為矢量磁位。在庫侖規(guī)范條件（）下，場與源的關(guān)系方程為：對于分布型的矢量磁位計算公式：（1） 線電流：（2）面電流：（3）體電流：5、恒定磁場的邊界條件（1）分界面上的邊界條件在兩種磁介質(zhì)的分界面上，取一個跨過分界面兩側(cè)的小扁狀閉合柱面（高為無窮小量），如右圖所示，應(yīng)用磁通連續(xù)性方程可得：于是有：（2） 分界面上（切向分量）的邊界條件：，如果分界面上無源表面電流（即），則即磁力線折射定律：用矢量磁位表示的邊界條件為：6、電感的計算（1）外自感：，（2）互感：（3）內(nèi)自感：單位長度的圓截

7、面導(dǎo)線的內(nèi)自感為：（長度為的一段圓截面導(dǎo)線的內(nèi)自感為）。7、磁場的能量和能量密度（1）磁場的總能量磁介質(zhì)中，載流回路系統(tǒng)的總磁場能量為：（3） 磁場能量密度A、 任意磁介質(zhì)中：，此時磁場總能量可以由計算出；B、在各向同性，線性磁介質(zhì)中：，此時磁場總能量可以由第五章 時變電磁場1、 法拉第電磁感應(yīng)定律（1）感應(yīng)電動勢為：；（2）法拉第電磁感應(yīng)定律它說明時變的磁場將激勵電場，而且這種感應(yīng)電場是一種旋渦場，即感應(yīng)電場不再是保守場，感應(yīng)電場在時變磁場中的閉合曲線上的線積分等于閉合曲線圍成的面上磁通的負(fù)變化率。2、 麥克斯韋位移電流假說按照麥克斯韋提出的位移電流假說，電位移矢量對時間的變化率可視為一種廣

8、義的電流密度，稱為位移電流密度，即。位移電流一樣可以激勵磁場，從而可以得出時變場中的安培環(huán)路定律：3、 麥克斯韋方程組（1） 微分形式（2）積分形式（3）非限定形式的麥克斯韋方程組在線性和各向同性的介質(zhì)中，有媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系：，由此可得非限定形式的麥克斯韋方程組：（4）麥克斯韋方程組的實質(zhì)A、第一方程：時變電磁場中的安培環(huán)路定律。物理意義：磁場是由電流和時變的電場激勵的。B、第二方程：法拉第電磁感應(yīng)定律。物理意義：說明了時變的磁場激勵電場的這一事實。C、第三方程：時變電場的磁通連續(xù)性方程。物理意義：說明了磁場是一個旋渦場。D、第四方程：高斯定律。物理意義：時變電磁場中的發(fā)散電場分量是由電荷激勵的

9、。思考題：麥克斯韋方程中為什么沒有寫進(jìn)電流連續(xù)性方程？答：因為它可以由微分形式的方程組中、式兩式導(dǎo)出。把式兩邊同時取散度得由于矢量的旋度的散度恒等于零，故得，再把式代入上式，即得，這便是電流連續(xù)性方程。4、 分界面上的邊界條件（1）法向分量的邊界條件A、，若分界面上，則B、的邊界條件（2）切向分量的邊界條件A、的邊界條件B、的邊界條件，若分界面上，則（3）理想導(dǎo)體（）表面的邊界條件，式中是導(dǎo)體表面法線方向的單位矢量。上述邊界條件說明：在理想導(dǎo)體與空氣的分界面上，如果導(dǎo)體表面上分布有電荷，則在導(dǎo)體表面上有電場的法向分量，則由上式中的式?jīng)Q定，導(dǎo)體表面上電場的切向分量總為零；導(dǎo)體表面上磁場的法向分量

10、總為零，如果導(dǎo)體表面上分布有電流，則在導(dǎo)體表面上有磁場的切向分量，則由上式中的決定。5、 波動方程無源區(qū)域內(nèi)，、的波動方程分別為：、；此兩式為三維空間中的矢量齊次波動方程。由此可以看出：時變電磁場在無源空間中是以波動的方式在運動，故稱時變電磁場為電磁波，且電磁波的傳播速度為。6、 坡印廷定理和坡印廷矢量數(shù)學(xué)表達(dá)式：由于為體積內(nèi)的總電場儲能，為體積內(nèi)的總磁場儲能， 為體積內(nèi)的總焦耳損耗功率。于是上式可以改寫成：，式中的為限定體積的閉合面。物理意義：對空間中任意閉合面限定的體積，矢量流入該體積邊界面的流量等于該體積內(nèi)電磁能量的增加率和焦耳損耗功率，它給出了電磁波在空間中的能量守恒和能量轉(zhuǎn)換關(guān)系。-

11、 12 - 坡印廷矢量（能流矢量）表示沿能量流動方向單位面積上傳過的功率。 7、動態(tài)矢量磁位和動態(tài)標(biāo)量為與電磁場的關(guān)系為：，達(dá)朗貝爾方程（或稱與的非齊次波動方程）為，第六章 正弦平面電磁波1、 正弦電磁場（1） 正弦電場、磁場強度的復(fù)數(shù)表示方法（以電場強度為例）在直角坐標(biāo)系中，正弦電磁場的電場分量可以寫成：運用歐拉公式將其表示成復(fù)數(shù)矢量形式：其中，分別稱為各分量振幅的相量，它的模和相位角都是空間坐標(biāo)的函數(shù)，因此其中，稱為電場強度復(fù)矢量，它含有各分量的振幅和初相兩大要素。電場強度復(fù)矢量是一個為簡化正弦場計算的表示符號，一般不能用三維空間中一個矢量來表示，也不能寫成指數(shù)形式。例題1 將下列場矢量的

12、瞬時值改寫為復(fù)數(shù)；將場得復(fù)矢量寫為瞬時值（1）（2）解：（1）因為是偶函數(shù)，則而，故（2） 因為故 （2）麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式，此方程組沒有時間因子，注意：式中的場量仍代表復(fù)矢量，標(biāo)量仍代表復(fù)數(shù)。對于正弦電磁場的求解，我們可根據(jù)給出的源寫出其復(fù)矢量和復(fù)數(shù)，然后利用麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式求出場得復(fù)矢量，再由電磁場的復(fù)矢量寫出電磁場的正弦表達(dá)式。例題2 在真空中，已知正弦電磁波的電場分量為，求波的磁場分量解：先將波的電場分量寫出復(fù)矢量，即，將其代入矢量的麥克斯韋方程組：可得：，將代入上式可得，將上式展開取實部得：（3） 正弦場中的坡印廷定理其中為磁場能量密度的平均值，為電場能量密度的平均值。

13、這里場量分別為正弦電場和磁場的幅值。正弦電磁場的坡印廷定理說明：流進(jìn)閉合面內(nèi)的有功功率供閉合面包圍的區(qū)域內(nèi)媒質(zhì)的各種功率損耗；而流進(jìn)（或流出）的無功功率代表著電磁波與該區(qū)域功率交換的尺度。（4） 亥姆霍茲方程（正弦電磁場波動方程的復(fù)數(shù)形式），式中稱為正弦電磁波的波數(shù)。2、 理想介質(zhì)中的均勻平面波（1）均勻平面波的波動方程及其解平面波是指波陣面為平面的電磁波。均勻平面波是指波的電場和磁場只沿波的傳播方向變化，而在波陣面內(nèi)和的方向、振幅和相位不變的平面波。一般說來，大多數(shù)源輻射的電磁波為球面波。，通常稱為波的相速度。（2）均勻平面波的傳播特性波在一個周期中傳播的距離稱為波長，用表示。波長與頻率、相

14、速的關(guān)系為，周期是波在時間上的重復(fù)量，波長是波在空間上的重復(fù)量。電場與磁場的振幅比為：稱為媒質(zhì)的本征阻抗，在自由空間中，電場能量密度： ，磁場能量密度：，且二者滿足關(guān)系：。結(jié)論：沿方向傳播的均勻平面波，若電場在方向，則磁場在方向，電場與磁場總是相互垂直，并垂直于波的傳播方向，電場、磁場、波的傳播方向三者滿足右手螺旋關(guān)系。3、 電磁波的極化電磁波的極化表征在空間給定點上電場強度矢量的取向隨時間變化的特性。當(dāng)電場的水平分量與垂直分量相位相同或相差別時為直線極化；當(dāng)兩分量的振幅相等，但相位差為或時為圓極化（圓極化波分為左旋極化波和右旋極化波。如果我們面向電磁波傳去的方向，電場矢量是順時針方向旋轉(zhuǎn)的，

15、這樣極化的波稱右旋極化波。如果電場矢量是逆時針旋轉(zhuǎn)的，這樣的極化的波稱左旋極化波）；當(dāng)兩分量的振幅和相位均為任意關(guān)系時為橢圓極化。4、媒質(zhì)的損耗及分類工程上通常按的大小將媒質(zhì)劃分為：當(dāng)時，媒質(zhì)被稱為良導(dǎo)體；當(dāng)時，媒質(zhì)被稱為半導(dǎo)電介質(zhì)；當(dāng)時，媒質(zhì)被稱為低損耗介質(zhì)。5、波在有耗介質(zhì)中的傳播電磁波在導(dǎo)電媒質(zhì)中的相速變慢，波長變短，場的振幅隨波的傳播按指數(shù)規(guī)律衰減。傳播常數(shù)，其中導(dǎo)電媒質(zhì)中波的傳播速度為，在導(dǎo)電媒質(zhì)中波的傳播速度隨頻率變化，這種現(xiàn)象稱為色散現(xiàn)象。導(dǎo)電媒質(zhì)中磁場能量大于電場能量。6、相速是波陣面移動的速度，它不代表電磁波能量的傳播速度，也不代表信號的傳播速度。而群速度才是電磁波信號和電磁波能量的傳播速度。