初中數(shù)學(xué)論文:中考數(shù)學(xué)“新定義”試題淺析.doc

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1、中考數(shù)學(xué)“新定義”試題淺析隨著新課改的深入,中考試題中考查學(xué)生的學(xué)習(xí)能力,促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的創(chuàng)新型試題不斷地涌現(xiàn)。而“新定義”試題是創(chuàng)新型試題的主要表現(xiàn)之一,也是2009年中考數(shù)學(xué)試題中的一個(gè)熱點(diǎn)。“新定義”試題具有新穎公平的問題背景,且與已學(xué)數(shù)學(xué)知識密切關(guān)聯(lián)的知識基礎(chǔ),能有效考查學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀理解能力和運(yùn)用已學(xué)知識分析問題、解決問題的綜合能力,在中考試題中有較好地效度?,F(xiàn)舉例說明如下:考點(diǎn)一:利用“新定義”構(gòu)建數(shù)、式模型例1、(2009年紹興市)李老師從油條的制作受到啟發(fā),設(shè)計(jì)了一個(gè)數(shù)學(xué)問題:如圖,在數(shù)軸上截取從原點(diǎn)到1的對應(yīng)點(diǎn)的線段,對折后(點(diǎn)與重合)再均勻地拉成1個(gè)單位長度的線段,這一過程稱

2、為一次操作(如在第一次操作后,原線段上的,均變成,變成1,等)那么在線段上(除,)的點(diǎn)中,在第二次操作后,恰好被拉到與1重合的點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)之和是_AB(例3圖)解:在第一次操作后,原線段上的,均變成,變成1, 在第二次操作后,原線段上的,均變成1,點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)之和是?!酒饰觥勘绢}是一道PISA型試題,以學(xué)生已學(xué)的數(shù)軸和已有的生活經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ),對某種操作進(jìn)行了新的定義。解答本題,關(guān)鍵是要讀懂新定義中“一次操作”的真正含義:先對折再拉長到與原線段長度相等的線段即為1個(gè)單位長度。第一次操作后,在處為對折點(diǎn),均勻拉長后變成1,原線段AB上的,均變成,這在題目中已有提示。第二次操作后,在線段處有兩個(gè)數(shù)和為

3、對折點(diǎn),均勻拉長后這兩個(gè)數(shù)都江堰市變?yōu)?,根據(jù)題意,在第二次操作后,恰好被拉到與1重合的點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為和,這樣馬上可以得出結(jié)論。解:。本題是對學(xué)生的抽象概括、空間想象能力要求較高。例2、(2009年臺州市)若將代數(shù)式中的任意兩個(gè)字母交換,代數(shù)式不變,則稱這個(gè)代數(shù)式為完全對稱式,如就是完全對稱式.下列三個(gè)代數(shù)式:;其中是完全對稱式的是(A )A B C D解:由新定義“完全對稱式”知,所以是完全對稱式;若將、字母交換,則變?yōu)椋?,是完全對稱式;若將、字母交換,則變?yōu)?,不是完全對稱式。所以答案應(yīng)選擇為(A)【剖析】本題是以已學(xué)的整式的乘除、乘法公式為知識為基礎(chǔ),對代數(shù)式的變換進(jìn)行了新的定義。解答本題

4、,關(guān)鍵是要讀懂新定義中數(shù)學(xué)的本質(zhì)含義,在理解“新定義”的基礎(chǔ)上,再進(jìn)行具體的代入、計(jì)算、判斷,就能把問題解決。考點(diǎn)二:利用“新定義”構(gòu)建方程、函數(shù)模型例3、(2009年孝感)對于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)對(a,b)和(c,d),規(guī)定:當(dāng)且僅當(dāng)ac且bd時(shí), (a,b)=(c,d)定義運(yùn)算“”:(a,b)(c,d)=(acbd,adbc)若(1,2)(p,q)=(5,0),則p ,q 解:由新定義“”運(yùn)算規(guī)定得:(a,b)(c,d)=(acbd,adbc),(1,2)(p,q)=, , 解得:, 所以答案為:1,2; 【剖析】本題是以學(xué)生已學(xué)的實(shí)數(shù)運(yùn)算和二元一次方程組為知識基礎(chǔ),給出了一個(gè)新定義的運(yùn)算法則,

5、學(xué)生在閱讀和理解新運(yùn)算的基礎(chǔ)上,來解決與新運(yùn)算有關(guān)的問題。這類試題考查了學(xué)生的邏輯推理能力,由一般到特殊地讀懂新運(yùn)算的本質(zhì),關(guān)鍵是要準(zhǔn)確理解新符號的數(shù)學(xué)意義。例4、(2009年杭州市)某校數(shù)學(xué)課外小組,在坐標(biāo)紙上為學(xué)校的一塊空地設(shè)計(jì)植樹方案如下:第k棵樹種植在點(diǎn)處,其中,當(dāng)k2時(shí),表示非負(fù)實(shí)數(shù)的整數(shù)部分,例如2.6=2,0.2=0。按此方案,第2009棵樹種植點(diǎn)的坐標(biāo)為A.(5,2009) B.(6,2010) C.(3,401) D(4,402)解:從特殊點(diǎn)的坐標(biāo)出發(fā),來探求它的變化周期性,從而來得出一般性的結(jié)論。,同理可得:,得出五個(gè)數(shù)的循環(huán)。所以,所以,因此得結(jié)論。【剖析】本題是一道探索

6、性試題,以學(xué)生已學(xué)的點(diǎn)的坐標(biāo)和已有的探究經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ),對的數(shù)學(xué)符號進(jìn)行了新的定義, 即:表示非負(fù)實(shí)數(shù)的整數(shù)部分。解答本題,關(guān)鍵是要讀懂新定義中“”的真正含義,先通過對特殊和簡單數(shù)的探索對折再拉長到與原線段長度相等的線段即為1個(gè)單位長度。第一次操作后,在處為對折點(diǎn),均例5、(2009年義烏市)已知點(diǎn)A、B分別是軸、軸上的動點(diǎn),點(diǎn)C、D是某個(gè)函數(shù)圖像上的點(diǎn),當(dāng)四邊形ABCD(A、B、C、D各點(diǎn)依次排列)為正方形時(shí),稱這個(gè)正方形為此函數(shù)圖像的伴侶正方形。例如:如圖,正方形ABCD是一次函數(shù)圖像的其中一個(gè)伴侶正方形。(1)若某函數(shù)是一次函數(shù),求它的圖像的所有伴侶正方形的邊長;(2)若某函數(shù)是反比例函數(shù),

7、他的圖像的伴侶正方形為ABCD,點(diǎn)D(2,m)(m 2)在反比例函數(shù)圖像上,求m的值及反比例函數(shù)解析式;(3)若某函數(shù)是二次函數(shù),它的圖像的伴侶正方形為ABCD,C、D中的一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)為(3,4).寫出伴侶正方形在拋物線上的另一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo) ,寫出符合題意的其中一條拋物線解析式 ,并判斷你寫出的拋物線的伴侶正方形的個(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)? 。(本小題只需直接寫出答案)簡解:(1)如圖(1),正方形邊長為;(2)如圖(2),ADEBADCBF,解得反比例函數(shù)為;(3),對應(yīng)的函數(shù)為,?!酒饰觥勘绢}以正方形和一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)為知識基礎(chǔ)和問題背景,給出了“函數(shù)圖像的伴侶正方形”的新定義,解答本

8、題,關(guān)鍵是讀懂“新定義”,看懂函數(shù)圖象。本題主要考查了全等三角形、點(diǎn)坐標(biāo)、函數(shù)圖象等相關(guān)知識和數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用,考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識的能力。例6、(2009年益陽市)閱讀材料:如圖1,過ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線,外側(cè)兩條直線之間的距離叫ABC的“水平寬”(a),中間的這條直線在ABC內(nèi)部線段的長度叫ABC的“鉛垂高(h)”.我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法:,即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.BC鉛垂高水平寬h a xCOyABD11解答下列問題:如圖2,拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C(1,4),交x軸于點(diǎn)A(3,0),交y軸于點(diǎn)B.(1)求拋物線和直線AB的解析式;

9、(2)點(diǎn)P是拋物線(在第一象限內(nèi))上的一個(gè)動點(diǎn),連結(jié)PA,PB,當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動到頂點(diǎn)C時(shí),求CAB的鉛垂高CD及; (3)是否存在一點(diǎn)P,使SPAB=SCAB,若存在,求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.簡解:解:(1) (2)CD4-22(平方單位)(3)假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P,設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x,PAB的鉛垂高為h,則鉛垂高由SPAB=SCAB,得:化簡得:,解得,將代入中,解得P點(diǎn)坐標(biāo)為【剖析】本題以閱讀材料的形式提出了新定義:ABC的“水平寬”、“鉛垂高(h)”,從而得出一種計(jì)算三角形面積的新方法:,即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.運(yùn)用新定義中的新方法,可解答一類在以拋物線為背

10、景下的斜三角形的最大面積問題,解答本題,關(guān)鍵是讀懂“新定義”和理解運(yùn)用新公式。本題主要考查學(xué)生閱讀理解能力和數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用。以考點(diǎn)三:利用“新定義”構(gòu)建四邊形、相似形模型(第23題)圖3圖2圖4FEDCBAPGHJI例7、(2009年臺州市)定義:到凸四邊形一組對邊距離相等,到另一組對邊距離也相等的點(diǎn)叫凸四邊形的準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)如圖1,則點(diǎn)就是四邊形的準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)BJIHGDCAP圖1(1)如圖2, 與的角平分線相交于點(diǎn)求證:點(diǎn)是四邊形的準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)(2)分別畫出圖3平行四邊形和圖4梯形的準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)(作圖工具不限,不寫作法,但要有必要的說明)(3)判斷下列命題的真假,在括號內(nèi)填“真”或“假” 任意凸四邊形一定存在準(zhǔn)

11、內(nèi)點(diǎn)( )任意凸四邊形一定只有一個(gè)準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)( )若是任意凸四邊形的準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn),則或( ) 簡解:(1)如圖2,過點(diǎn)作, 平分, 同理 ,是四邊形的準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)圖3(1)圖4圖3(2)(2) 平行四邊形對角線的交點(diǎn)就是準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn),如圖3(1).或者取平行四邊形兩對邊中點(diǎn)連線的交點(diǎn)就是準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn),如圖3(2);梯形兩腰夾角的平分線與梯形中位線的交點(diǎn)就是準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)如圖4.(3)真;真;假 【剖析】本題以四邊形、特殊四邊和角平分線的性質(zhì)為知識基礎(chǔ),給出了“四邊形的準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)”的新定義,解答本題,關(guān)鍵是讀懂“新定義”和看懂幾何圖形,理解點(diǎn)到直線的距離和角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。本題主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀理解能力、邏輯推理能力和畫

12、圖操作能力。例8、(2009年紹興市)若從矩形一邊上的點(diǎn)到對邊的視角是直角,則稱該點(diǎn)為直角點(diǎn)例如,如圖的矩形中,點(diǎn)在邊上,連,則點(diǎn)為直角點(diǎn)DBCAM(例8圖)(1)若矩形一邊上的直角點(diǎn)為中點(diǎn),問該矩形的鄰邊具有何種數(shù)量關(guān)系?并說明理由;(2)若點(diǎn)分別為矩形邊,上的直角點(diǎn),且,求的長解:(1)AB=2AD,如圖(1) 直角點(diǎn)M為CD邊的中點(diǎn), MD=MC,AD=BC ,D=C=Rt, ADMADM,AMD=BMCAMB=Rt, AMD+BMC=90AMD=BMC=45, AD=DM,AB=2AD如圖(2),作MHAB于點(diǎn)H,連結(jié)MN,AMB=90,AMD+BMC=90,AMD+DAM=90,DA

13、M=BMC,又D=C,ADMMCB,既,或。當(dāng)時(shí),。當(dāng)時(shí),【剖析】本題以全等三角形、矩形和相似三角形為知識基礎(chǔ),給出了“直角點(diǎn)”的新定義,解答本題,關(guān)鍵是讀懂“新定義”和看懂幾何中的基本圖形。本題主要考查學(xué)生邏輯推理能力和分類討論思想的運(yùn)用,以及解方程和計(jì)算能力。解答本題,可從不同角度和思路來解答,是一道解法多樣性的試題。例9、(2009年湖州市)若為所在平面上一點(diǎn),且,則點(diǎn)叫做的費(fèi)馬點(diǎn).ACB第(25)題(1) 若點(diǎn)為銳角的費(fèi)馬點(diǎn),且,則的值為_;(2)如圖,在銳角外側(cè)作等邊連結(jié).求證:過的費(fèi)馬點(diǎn),且=.ACBPE例9題25(1)2.(2)證明:在上取點(diǎn),使,連結(jié),再在上截取,連結(jié)為正三角形

14、, =,為正三角形,=,=,為的費(fèi)馬點(diǎn),過的費(fèi)馬點(diǎn),且=+2分【剖析】本題有一定的難度和能力要求較高,它以特殊三角形和全等三角形為知識基礎(chǔ),給出了“的費(fèi)馬點(diǎn)”的新定義,解答本題,關(guān)鍵是讀懂“新定義”和添加輔助線,并運(yùn)用特殊三角形和全等三角形的有關(guān)知識來解決。本題主要考查學(xué)生邏輯推理能力和綜合運(yùn)用知識的能力。新定義試題創(chuàng)設(shè)了一個(gè)全新的問題情景,通過以新帶舊的表現(xiàn)形式,來考查學(xué)生的知識和能力。在解決“新定義”中的問題時(shí),學(xué)生不需要太多的數(shù)學(xué)知識,更多地是需要閱讀理解能力和分析綜合、推理論證能力,。因而,這類試題對學(xué)生靈活運(yùn)用知識的考查可抽象到課程標(biāo)準(zhǔn)高層次水平,其命題方式也值得借鑒、研究和開發(fā)。7

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