2018屆蘇錫常鎮(zhèn)高三二模數(shù)學(xué)試卷及答案.docx

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1、2017-2018學(xué)年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研（一）數(shù)學(xué)試題 2018.3一、填空題：本大題共14個(gè)小題，每小題5分，共70分.請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上.1.已知集合，則集合 2.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則 3.雙曲線的漸近線方程為 4.某中學(xué)共有人，其中高二年級(jí)的人數(shù)為.現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取人，其中高二年級(jí)被抽取的人數(shù)為，則 5.將一顆質(zhì)地均勻的正四面體骰子（每個(gè)面上分別寫(xiě)有數(shù)字，）先后拋擲次，觀察其朝下一面的數(shù)字，則兩次數(shù)字之和等于的概率為 6.如圖是一個(gè)算法的流程圖，則輸出的值是 7.若正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)面積為，則它的體積為 8.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則

2、 9.已知，且，則的最小值是 10.設(shè)三角形的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，已知，則 11.已知函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底）.若函數(shù)的最小值是，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 12.在中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，已知，則 13.已知直線：與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，圓：上有且僅有一個(gè)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值集合為 14.若二次函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍為 二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知向量，.（1）若角的終邊過(guò)點(diǎn)，求的值；（2）若，求銳角的大小.16.如圖，正三棱柱的高為，其底面邊長(zhǎng)為.已知點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上靠近的三等分

3、點(diǎn).求證：（1）平面；（2）平面.17.已知橢圓：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓的下頂點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)且互相垂直的兩直線，與直線分別相交于，兩點(diǎn)，已知，求直線的斜率.18.如圖，某景區(qū)內(nèi)有一半圓形花圃，其直徑為，是圓心，且.在上有一座觀賞亭，其中.計(jì)劃在上再建一座觀賞亭，記.（1）當(dāng)時(shí)，求的大??；（2）當(dāng)越大，游客在觀賞亭處的觀賞效果越佳，求游客在觀賞亭處的觀賞效果最佳時(shí)，角的正弦值.19.已知函數(shù)，.（1）若，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，且函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù).求實(shí)數(shù)的值；當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.20.已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）對(duì)于正整數(shù)，已知

4、，成等差數(shù)列，求正整數(shù)，的值；（3）設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和是，且滿足：對(duì)任意的正整數(shù)，都有等式成立.求滿足等式的所有正整數(shù).2017-2018學(xué)年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研（一）數(shù)學(xué)（附加題）21.【選做題】在A，B，C，D四小題中只能選做兩題，每小題10分，共計(jì)20分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.A. 選修4-1：幾何證明選講如圖，是圓的直徑，為圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且滿足.（1）求證：；（2）若，求線段的長(zhǎng).B. 選修4-2：矩陣與變換已知矩陣，列向量.（1）求矩陣；（2）若，求，的值.C. 選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在極坐標(biāo)系中，已知

5、圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，圓心為直線與極軸的交點(diǎn)，求圓的極坐標(biāo)方程.D. 選修4-5：不等式選講已知，都是正數(shù)，且，求證：.【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.22.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，垂直于底面，點(diǎn)為線段（不含端點(diǎn)）上一點(diǎn).（1）當(dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí)，求與平面所成角的正弦值；（2）已知二面角的正弦值為，求的值.23.在含有個(gè)元素的集合中，若這個(gè)元素的一個(gè)排列（，）滿足，則稱這個(gè)排列為集合的一個(gè)錯(cuò)位排列（例如：對(duì)于集合，排列是的一個(gè)錯(cuò)位排列；排列不是的一個(gè)錯(cuò)位排列）.記集合的所有錯(cuò)位排列的個(gè)數(shù)為.（1）直接寫(xiě)出，的值；

6、（2）當(dāng)時(shí)，試用，表示，并說(shuō)明理由；（3）試用數(shù)學(xué)歸納法證明：為奇數(shù).2017-2018學(xué)年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研（一）數(shù)學(xué)試題參考答案一、填空題1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 二、解答題15.解：（1）由題意，所以.（2）因?yàn)?，所以，即，所以，則，對(duì)銳角有，所以，所以銳角.16.證明：（1）連結(jié)，正三棱柱中，且，則四邊形是平行四邊形，因?yàn)辄c(diǎn)、分別是棱，的中點(diǎn)，所以且，又正三棱柱中且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）正三棱柱中，平面，平面，所以，正中，是的中點(diǎn)，所以，又、平面，所以平面，又

7、平面，所以，由題意，所以，又，所以與相似，則，所以，則，又，平面，所以平面.17.解：（1）由題意得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意知，直線，的斜率存在且不為零，設(shè)直線：，與直線聯(lián)立方程有，得，設(shè)直線：，同理，因?yàn)椋?，無(wú)實(shí)數(shù)解；，解得，綜上可得，直線的斜率為.18.解：（1）設(shè)，由題，中，所以，在中，由正弦定理得，即，所以，則，所以，因?yàn)闉殇J角，所以，所以，得；（2）設(shè)，在中，由正弦定理得，即，所以，從而，其中，所以，記，；令，存在唯一使得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)減，所以當(dāng)時(shí)，最大，即最大，又為銳角，從而最大，此時(shí).答：觀賞效果達(dá)到最佳時(shí)，的正弦值為.19.解：（1）函數(shù)的定義

8、域?yàn)?當(dāng)，恒成立，恒成立，即.令，則，令，得，在上單調(diào)遞增，令，得，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，.（2）當(dāng)時(shí)，.由題意，對(duì)恒成立，即實(shí)數(shù)的值為.函數(shù)的定義域?yàn)?當(dāng)，時(shí)，.，令，得.-+極小值當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.對(duì)于，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.故函數(shù)的值域?yàn)?20.解：（1）由得，兩式作差得，即.，所以，則，所以數(shù)列是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列，所以；（2）由題意，即，所以，其中，所以，所以，；（3）由得，所以，即，所以，又因?yàn)?，得，所以，從而，?dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；下面證明：對(duì)任意正整數(shù)都有，當(dāng)時(shí)，即，所以當(dāng)時(shí)，遞減，所以對(duì)任意正整數(shù)都有；綜上可得，滿足等式的正整數(shù)的值為和.2017-2018學(xué)

9、年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研（一）數(shù)學(xué)（附加題）參考答案21.【選做題】A. 選修4-1：幾何證明選講證明：（1）連接，.因?yàn)槭菆A的直徑，所以，.因?yàn)槭菆A的切線，所以，又因?yàn)?，所以，于是，得到，所以，從?（2）解：由及得到，.由切割線定理，所以.B. 選修4-2：矩陣與變換解：（1）；（2）由，解得，又因?yàn)椋裕?C. 選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程解：在中，令，得，所以圓的圓心的極坐標(biāo)為.因?yàn)閳A的半徑，于是圓過(guò)極點(diǎn)，所以圓的極坐標(biāo)方程為.D. 選修4-5：不等式選講證明：因?yàn)?，都是正?shù)，所以，又因?yàn)?，所?【必做題】22.解：（1）以為原點(diǎn)，為坐標(biāo)軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系；設(shè)，則

10、，；所以，設(shè)平面的法向量，則，即，解得，所以平面的一個(gè)法向量，則與平面所成角的正弦值為.（2）由（1）知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量，則，即，解得，所以平面的一個(gè)法向量，由題意得，所以，即，因?yàn)?，所以，則.23. 解：（1），（2），理由如下：對(duì)的元素的一個(gè)錯(cuò)位排列（，），若，分以下兩類：若，這種排列是個(gè)元素的錯(cuò)位排列，共有個(gè)；若，這種錯(cuò)位排列就是將，排列到第到第個(gè)位置上，不在第個(gè)位置，其他元素也不在原先的位置，這種排列相當(dāng)于個(gè)元素的錯(cuò)位排列，共有個(gè)；根據(jù)的不同的取值，由加法原理得到；（3）根據(jù)（2）的遞推關(guān)系及（1）的結(jié)論，均為自然數(shù)；當(dāng)，且為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，從而為偶數(shù)，又也是偶數(shù)，故對(duì)任意正奇數(shù)，有均為偶數(shù).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明（其中）為奇數(shù).當(dāng)時(shí)，為奇數(shù)；假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即是奇數(shù)，則當(dāng)時(shí)，注意到為偶數(shù)，又是奇數(shù)，所以為奇數(shù)，又為奇數(shù)，所以，即結(jié)論對(duì)也成立；根據(jù)前面所述，對(duì)任意，都有為奇數(shù)。