高等數(shù)學(xué)課后習(xí)題及參考答案(第七章).doc

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1、高等數(shù)學(xué)課后習(xí)題及參考答案（第七章）習(xí)題7-1 1. 設(shè)u=a-b+2c, v=-a+3b-c. 試用a、b、c表示2u-3v . 解 2u-3v =2(a-b+2c)-3(-a+3b-c) =2a-2b+4c+3a-9b+3c =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一個四邊形的對角線互相平分, 試用向量證明這是平行四邊形. 證 ; , 而 , , 所以 . 這說明四邊形ABCD的對邊AB=CD且AB/CD, 從而四邊形ABCD是平行四邊形. 3. 把DABC的BC邊五等分, 設(shè)分點依次為D1、D2、D3、D4, 再把各分點與點A連接. 試以、表示向量、. 解 , , , . 4. 已知兩點

2、M1(0, 1, 2)和M2(1, -1, 0). 試用坐標表示式表示向量及. 解 , . 5. 求平行于向量a=(6, 7, -6)的單位向量. 解 , 平行于向量a=(6, 7, -6)的單位向量為 或. 6. 在空間直角坐標系中, 指出下列各點在哪個卦限？ A(1, -2, 3); B(2, 3, -4); C(2, -3, -4); D(-2, -3, 1). 解 A在第四卦限, B在第五卦限, C在第八卦限, D在第三卦限. 7. 在坐標面上和坐標軸上的點的坐標各有什么特征？指出下列各點的位置: A(3, 4, 0); B(0, 4, 3); C(3, 0, 0); D(0, -1,

3、 0). 解 在xOy面上, 點的坐標為(x, y, 0); 在yOz面上, 點的坐標為(0, y, z); 在zOx面上, 點的坐標為(x, 0, z). 在x軸上, 點的坐標為(x, 0, 0); 在y軸上, 點的坐標為(0, y, 0), 在z軸上, 點的坐標為(0, 0, z). A在xOy面上, B在yOz面上, C在x軸上, D在y軸上. 8. 求點(a, b, c)關(guān)于(1)各坐標面; (2)各坐標軸; (3)坐標原點的對稱點的坐標. 解 (1)點(a, b, c)關(guān)于xOy面的對稱點為(a, b, -c), 點(a, b, c)關(guān)于yOz面的對稱點為(-a, b, c), 點(

4、a, b, c)關(guān)于zOx面的對稱點為(a, -b, c). (2)點(a, b, c)關(guān)于x軸的對稱點為(a, -b, -c), 點(a, b, c)關(guān)于y軸的對稱點為(-a, b, -c), 點(a, b, c)關(guān)于z軸的對稱點為(-a, -b, c). (3)點(a, b, c)關(guān)于坐標原點的對稱點為(-a, -b, -c). 9. 自點P0(x0, y0, z0)分別作各坐標面和各坐標軸的垂線, 寫出各垂足的坐標. 解 在xOy面、yOz面和zOx面上, 垂足的坐標分別為(x0, y0, 0)、(0, y0, z0)和(x0, 0, z0). 在x軸、y軸和z軸上, 垂足的坐標分別為(

5、x0, 0, 0), (0, y0, 0)和(0, 0, z0). 10. 過點P0(x0, y0, z0)分別作平行于z軸的直線和平行于xOy面的平面, 問在它們上面的點的坐標各有什么特點？ 解 在所作的平行于z軸的直線上, 點的坐標為(x0, y0, z); 在所作的平行于xOy面的平面上, 點的坐標為(x, y, z0). 11. 一邊長為a的立方體放置在xOy面上, 其底面的中心在坐標原點, 底面的頂點在x軸和y軸上, 求它各頂點的坐標. 解 因為底面的對角線的長為, 所以立方體各頂點的坐標分別為 , , , , , , , . 12. 求點M(4, -3, 5)到各坐標軸的距離. 解

6、 點M到x軸的距離就是點(4, -3, 5)與點(4, 0, 0)之間的距離, 即 . 點M到y(tǒng)軸的距離就是點(4, -3, 5)與點(0, -3, 0)之間的距離, 即 . 點M到z軸的距離就是點(4, -3, 5)與點(0, 0, 5)之間的距離, 即 . 13. 在yOz面上, 求與三點A(3, 1, 2)、B(4, -2, -2)和C(0, 5, 1)等距離的點. 解 設(shè)所求的點為P(0, y, z)與A、B、C等距離, 則 , , . 由題意, 有 , 即 解之得y=1, z=-2, 故所求點為(0, 1, -2). 14. 試證明以三點A(4, 1, 9)、B(10, -1, 6)

7、、C(2, 4, 3)為頂點的三角形是等腰三角直角三角形. 解 因為 , , , 所以, . 因此DABC是等腰直角三角形. 15. 設(shè)已知兩點和M2(3, 0, 2). 計算向量的模、方向余弦和方向角. 解 ; ; , , ; , , . 16. 設(shè)向量的方向余弦分別滿足(1)cosa=0; (2)cosb=1; (3)cosa=cosb=0, 問這些向量與坐標軸或坐標面的關(guān)系如何？ 解 (1)當cosa=0時, 向量垂直于x軸, 或者說是平行于yOz面. (2)當cosb=1時, 向量的方向與y軸的正向一致, 垂直于zOx面. (3)當cosa=cosb=0時, 向量垂直于x軸和y軸, 平

8、行于z軸, 垂直于xOy面. 17. 設(shè)向量r的模是4, 它與軸u的夾角是60, 求r在軸u上的投影. 解 . 18. 一向量的終點在點B(2, -1, 7), 它在x軸、y軸和z軸上的投影依次為4, -4, 7. 求這向量的起點A的坐標. 解 設(shè)點A的坐標為(x, y, z). 由已知得 , 解得x=-2, y=3, z=0. 點A的坐標為A(-2, 3, 0). 19. 設(shè)m=3i+5j+8k, n=2i-4j-7k和p=5i+j-4k. 求向量a=4m+3n-p在x軸上的投影及在y軸上的分向量. 解 因為 a=4m+3n-p =4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5i+j-

9、4k ) =13i+7j+15k, 所以a=4m+3n-p在x軸上的投影為13, 在y軸上的分向量7j . 習(xí)題7-2 1. 設(shè)a=3i-j-2k, b=i+2j-k, 求(1)ab及ab; (2)(-2a)3b及a2b; (3)a、b夾角的余弦. 解 (1)ab=31+(-1)2+(-2)(-1)=3, . (2)(-2a)3b =-6ab = -63=-18, a2b=2(ab)=2(5i+j+7k)=10i+2j+14k . (3). 2. 設(shè)a、b、c為單位向量, 且滿足a+b+c=0, 求ab+bc+ca . 解 因為a+b+c=0, 所以(a+b+c)(a+b+c)=0, 即 aa

10、+bb+cc+2ab+2ac+2ca=0, 于是 . 3. 已知M1(1, -1, 2)、M2(3, 3, 1)和M3(3, 1, 3). 求與、同時垂直的單位向量. 解 , . , , 為所求向量. 4. 設(shè)質(zhì)量為100kg的物體從點M1(3, 1, 8)沿直線稱動到點M2(1, 4, 2), 計算重力所作的功(長度單位為m, 重力方向為z軸負方向). 解F=(0, 0, -1009. 8)=(0, 0, -980), . W=FS=(0, 0, -980)(-2, 3, -6)=5880(焦耳). 5. 在杠桿上支點O的一側(cè)與點O的距離為x1的點P1處, 有一與成角q1的力F1作用著; 在

11、O的另一側(cè)與點O的距離為x2的點P2處, 有一與成角q1的力F1作用著. 問q1、q2、x1、x2、|F1|、|F2|符合怎樣的條件才能使杠桿保持平衡？ 解 因為有固定轉(zhuǎn)軸的物體的平衡條件是力矩的代數(shù)和為零, 再注意到對力矩正負的規(guī)定可得, 使杠桿保持平衡的條件為 x1|F1|sinq1-x2|F2|sinq2=0, 即 x1|F1|sinq1=x2|F2|sinq2. 6. 求向量a=(4, -3, 4)在向量b=(2, 2, 1)上的投影. 解 . 7. 設(shè)a=(3, 5, -2), b=(2, 1, 4), 問l與m有怎樣的關(guān)系, 能使得la+mb與z軸垂直? 解 la+mb=(3l+2

12、m, 5l+m, -2l+4m), la+mb與z軸垂la+mb k (3l+2m, 5l+m, -2l+4m)(0, 0, 1)=0, 即-2l+4m=0, 所以l=2m. 當l=2m 時, la+mb與z軸垂直. 8. 試用向量證明直徑所對的圓周角是直角. 證明 設(shè)AB是圓O的直徑, C點在圓周上, 則, . 因為, 所以, C=90. 9. 設(shè)已知向量a=2i-3j+k, b=i-j+3k和c=i-2j, 計算: (1)(ab)c-(ac)b; (2)(a+b)(b+c); (3)(ab)c . 解 (1)ab=21+(-3)(-1)+13=8, ac=21+(-3)(-2)=8, (a

13、b)c-(ac)b=8c-8b=8(c-b)=8(i-2j)-(i-j+3k)=-8j-24k . (2)a+b=3i-4j+4k, b+c=2i-3j+3k, . (3), (ab)c=-81+(-5)(-2)+10=2. 10. 已知, , 求DOAB的面積. 解 根據(jù)向量積的幾何意義, 表示以和為鄰邊的平行四邊形的面積, 于是DOAB的面積為 . 因為, , 所以三角形DOAB的面積為 . 12. 試用向量證明不等式: , 其中a1、a2、a3、b1、b2、b3為任意實數(shù), 并指出等號成立的條件. 解 設(shè)a=(a1, a2, a3), b=(b1, b2, b3), 則有 , 于是 ,

14、其中當=1時, 即a與b平行是等號成立. 習(xí)題7-3 1. 一動點與兩定點(2, 3, 1)和(4, 5, 6)等距離, 求這動點的軌跡方程. 解 設(shè)動點為M(x, y, z), 依題意有 (x-2)2+(y-3)2+(z-1)2=(x-4)2+(y-5)2+(z-6)2, 即 4x+4y+10z-63=0. 2. 建立以點(1, 3, -2)為球心, 且通過坐標原點的球面方程. 解 球的半徑, 球面方程為 (x-1)2+(y-3)2+(z+2)2=14, 即 x2+y2+z2-2x-6y+4z=0. 3. 方程x2+y2+z2-2x+4y+2z=0表示什么曲面? 解 由已知方程得 (x2-2

15、x+1)+(y2+4y+4)+(z2+2z+1)=1+4+1, 即 , 所以此方程表示以(1, -2, -1)為球心, 以為半徑的球面. 4. 求與坐標原點O及點(2, 3, 4)的距離之比為1:2的點的全體所組成的曲面的方程, 它表示怎樣曲面？ 解 設(shè)點(x, y, z)滿足題意, 依題意有 , 化簡整理得 , 它表示以為球心, 以為半徑的球面. 5. 將zOx坐標面上的拋物線z2=5x繞x軸旋轉(zhuǎn)一周, 求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 解 將方程中的z換成得旋轉(zhuǎn)曲面的方程y2+z2=5x. 6. 將zOx坐標面上的圓x2+z2=9繞z軸旋轉(zhuǎn)一周, 求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 解 將方程中的x換成

16、得旋轉(zhuǎn)曲面的方程x2+y2+z2=9. 7. 將xOy坐標面上的雙曲線4x2-9y2=36分別繞x軸及y軸旋轉(zhuǎn)一周, 求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 解 雙曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)而得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為 4x2-9y2-9z2=36. 雙曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)而得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為 4x2+4z2-9y2=36. 8. 畫出下列方程所表示的曲面: (1); (2); (3); (4)y2-z=0; (5)z=2-x2. 9. 指出下列方程在平面解析幾何中和在空間解析幾何中分別表示什么圖形: (1)x=2; 解在平面解析幾何中, x=2表示平行于y軸的一條直線; 在空間解析幾何中, x=2表示一張平行于yOz面的平面

17、. (2)y=x+1; 解 在平面解析幾何中, y=x+1表示一條斜率是1, 在y軸上的截距也是1的直線; 在空間解析幾何中，y=x+1表示一張平行于z軸的平面. (3)x2+y2=4; 解 在平面解析幾何中, x2+y2=4表示中心在原點, 半徑是4的圓; 在空間解析幾何中, x2+y2=4表示母線平行于z軸, 準線為x2+y2=4的圓柱面. (4)x2-y2=1. 解 在平面解析幾何中, x2-y2=1表示雙曲線; 在空間解析幾何中, x2-y2=1表示母線平行于z軸的雙曲面. 10. 說明下列旋轉(zhuǎn)曲面是怎樣形成的: (1); 解 這是xOy面上的橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的, 或是zOx面

18、上的橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的. (2); 解 這是xOy面上的雙曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的, 或是yOz面上的雙曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的. (3)x2-y2-z2=1; 解 這是xOy面上的雙曲線x2-y2=1繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的, 或是zOx面上的雙曲線x2-z2=1繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的. (4)(z-a)2=x2+y2 . 解 這是zOx面上的曲線(z-a)2=x2繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的, 或是yOz面上的曲線(z-a)2=y2繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的. 11. 畫出下列方程所表示的曲面: (1)4x2+y2-z2=4; (2)x2-y2-4z2=4; (3). 習(xí)題7-4 1. 畫

19、出下列曲線在第一卦限內(nèi)的圖形: (1); (2); (3) . 2. 指出下方程組在平面解析幾何中與在空間解析幾何中分別表示什么圖形: (1); 解 在平面解析幾何中, 表示直線y=5x+1與y=2x-3的交點; 在空間解析幾何中, 表示平面y=5x+1與y=2x-3的交線, 它表示過點, 并且行于z軸. (2). 解 在平面解析幾何中, 表示橢圓與其切線y=3的交點(0, 3); 在空間解析幾何中, 表示橢圓柱面與其切平面y=3的交線. 3. 分別求母線平行于x軸及y軸而且通過曲線的柱面方程. 解 把方程組中的x消去得方程3y2-z2=16, 這就是母線平行于x軸且通過曲線的柱面方程. 把方

20、程組中的y消去得方程3x2+2z2=16, 這就是母線平行于y軸且通過曲線的柱面方程. 4. 求球面x2+y2+z2=9與平面x+z=1的交線在xOy面上的投影的方程. 解 由x+z=1得z=1-x代入x2+y2+z2=9得方程2x2-2x+y2=8, 這是母線平行于z軸, 準線為球面x2+y2+z2=9與平面x+z=1的交線的柱面方程, 于是所求的投影方程為 . 5. 將下列曲線的一般方程化為參數(shù)方程: (1) ; 解 將y=x代入x2+y2+z2=9得2x2+z2=9, 即. 令, 則z=3sin t . 故所求參數(shù)方程為 , , z=3sin t . (2). 解 將z=0代入(x-1)

21、2+y2+(z+1)2=4得(x-1)2+y2=3. 令, 則, 于是所求參數(shù)方程為 , , z=0. 6. 求螺旋線在三個坐標面上的投影曲線的直角坐標方程. 解 由前兩個方程得x2+y2=a2, 于是螺旋線在xOy面上的投影曲線的直角坐標方程為 . 由第三個方程得代入第一個方程得 , 即, 于是螺旋線在zOx面上的投影曲線的直角坐標方程為 . 由第三個方程得代入第二個方程得 , 即, 于是螺旋線在yOz面上的投影曲線的直角坐標方程為 . 7. 求上半球與圓柱體x2+y2ax(a0)的公共部分在xOy面和zOx面上的投影. 解 圓柱體x2+y2ax在xOy面上的投影為x2+y2ax, 它含在半

22、球在xOy面上的投影x2+y2a2內(nèi), 所以半球與圓柱體的公共部分在xOy面上的投影為x2+y2ax. 為求半球與圓柱體的公共部分在zOx面上的投影, 由圓柱面方程x2+y2=ax得y2=ax-x2, 代入半球面方程, 得(0 xa), 于是半球與圓柱體的公共部分在zOx面上的投影為 (0 xa), 即z2+axa2, 0 xa, z0. 8. 求旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2(0z4)在三坐標面上的投影. 解 令z=4得x2+y2=4, 于是旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2(0z4)在xOy面上的投影為x2+y24. 令x=0得z=y2, 于是旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2(0z4)在yOz面上的投影為y2z4

23、. 令y=0得z=x2, 于是旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2(0z4)在zOx面上的投影為x2z4. 習(xí)題7-5 1. 求過點(3, 0, -1)且與平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程. 解 所求平面的法線向量為n=(3, -7, 5), 所求平面的方程為 3(x-3)-7(y-0)+5(z+1)=0, 即3x-7y+5z-4=0. 2. 求過點M0(2, 9, -6)且與連接坐標原點及點M0的線段OM0垂直的平面方程. 解 所求平面的法線向量為n=(2, 9, -6), 所求平面的方程為 2(x-2)+9(y-9)-6(z-6)=0, 即2x+9y-6z-121=0. 3. 求過(1,

24、1, -1)、(-2, -2, 2)、(1, -1, 2)三點的平面方程. 解 n1=(1, -1, 2)-(1, 1, -1)=(0, -2, 3), n1=(1, -1, 2)-(-2, -2, 2)=(3, 1, 0), 所求平面的法線向量為 ,所求平面的方程為 -3(x-1)+9(y-1)+6(z+1)=0, 即x-3y-2z=0. 4. 指出下列各平面的特殊位置, 并畫出各平面: (1)x=0; 解 x=0是yOz平面. (2)3y-1=0; 解 3y-1=0是垂直于y軸的平面, 它通過y軸上的點. (3)2x-3y-6=0; 解 2x-3y-6=0是平行于z軸的平面, 它在x軸、y

25、軸上的截距分別是3和-2. (4); 解 是通過z軸的平面, 它在xOy面上的投影的斜率為. (5)y+z=1; 解 y+z=1是平行于x軸的平面, 它在y軸、z軸上的截距均為1. (6)x-2z=0; 解 x-2z=0是通過y軸的平面. (7)6x+5-z=0. 解 6x+5-z=0是通過原點的平面. 5. 求平面2x-2y+z+5=0與各坐標面的夾角的余弦. 解 此平面的法線向量為n=(2, -2, 1). 此平面與yOz面的夾角的余弦為 ; 此平面與zOx面的夾角的余弦為 ; 此平面與xOy面的夾角的余弦為 . 6. 一平面過點(1, 0, -1)且平行于向量a=(2, 1, 1)和b=

26、(1, -1, 0), 試求這平面方程. 解 所求平面的法線向量可取為 , 所求平面的方程為 (x-1)+(y-0)-3(z+1)=0, 即x+y-3z-4=0. 7. 求三平面x+3y+z=1, 2x-y-z=0, -x+2y+2z=3的交點. 解 解線性方程組 得x=1, y=-1, z=3. 三個平面的交點的坐標為(1, -1, 3). 8. 分別按下列條件求平面方程: (1)平行于zOx面且經(jīng)過點(2, -5, 3); 解 所求平面的法線向量為j =(0, 1, 0), 于是所求的平面為 0(x-2)-5(y+5)+0(z-3)=0, 即y=-5. (2)通過z軸和點(-3, 1, -

27、2); 解 所求平面可設(shè)為Ax+By=0. 因為點(-3, 1, -2)在此平面上, 所以 -3A+B=0, 將B=3A代入所設(shè)方程得 Ax+3Ay=0, 所以所求的平面的方程為 x+3y=0, (3)平行于x軸且經(jīng)過兩點(4, 0, -2)和(5, 1, 7). 解 所求平面的法線向量可設(shè)為n=(0, b, c). 因為點(4, 0, -2)和(5, 1, 7)都在所求平面上, 所以向量n1=(5, 1, 7)-(4, 0, -2)=(1, 1, 9)與n是垂直的, 即 b+9c=0, b=-9c , 于是 n=(0, -9c, c)=-c(0, 9, -1). 所求平面的方程為 9(y-0

28、)-(z+2)=0, 即9y-z-2=0. 9. 求點(1, 2, 1)到平面x+2y+2z-10=0的距離. 解 點(1, 2, 1)到平面x+2y+2z-10=0的距離為 . 習(xí)題7-6 1. 求過點(4, -1, 3)且平行于直線的直線方程. 解 所求直線的方向向量為s=(2, 1, 5), 所求的直線方程為. 2. 求過兩點M1(3, -2, 1)和M2(-1, 0, 2)的直線方程. 解 所求直線的方向向量為s=(-1, 0, 2)-(3, -2, 1)=(-4, 2, 1), 所求的直線方程為. 3. 用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線. 解 平面x-y+z=1和2x+y+z=4的法線

29、向量為n1=(1, -1, 1), n2=(2, 1, 1), 所求直線的方向向量為 . 在方程組中, 令y=0, 得, 解得x=3, z=-2. 于是點(3, 0, -2)為所求直線上的點. 所求直線的對稱式方程為 ; 參數(shù)方程為 x=3-2t, y=t, z=-2+3t. 4. 求過點(2, 0, -3)且與直線垂直的平面方程. 解 所求平面的法線向量n可取為已知直線的方向向量, 即 . 所平面的方程為 -16(x-2)+14(y-0)+11(z+3)=0, 即 16x-14y-11z-65=0. 5. 求直線與直線的夾角的余弦. 解 兩直線的方向向量分別為 , .兩直線之間的夾角的余弦為

30、 . 6. 證明直線與直線平行. 解 兩直線的方向向量分別為 , . 因為s2=-3s1, 所以這兩個直線是平行的. 7. 求過點(0, 2, 4)且與兩平面x+2z=1和y-3z=2平行的直線方程. 解 因為兩平面的法線向量n1=(1, 0, 2)與n2=(0, 1, -3)不平行, 所以兩平面相交于一直線, 此直線的方向向量可作為所求直線的方向向量s, 即 . 所求直線的方程為 . 8. 求過點(3, 1, -2)且通過直線的平面方程. 解 所求平面的法線向量與直線的方向向量s1=(5, 2, 1)垂直. 因為點(3, 1, -2)和(4, -3, 0)都在所求的平面上, 所以所求平面的法

31、線向量與向量s2=(4, -3, 0)-(3, 1, -2)=(1, -4, 2)也是垂直的. 因此所求平面的法線向量可取為 . 所求平面的方程為 8(x-3)-9(y-1)-22(z+2)=0, 即 8x-9y-22z-59=0. 9. 求直線與平面x-y-z+1=0的夾角. 解 已知直線的方向向量為 , 已知平面的法線向量為n=(1, -1, -1). 因為 sn=21+4(-1)+(-2)(-1)=0, 所以s n, 從而直線與平面x-y-z+1=0的夾角為0. 10. 試確定下列各組中的直線和平面間的關(guān)系: (1)和4x-2y-2z=3; 解 所給直線的方向向量為s=(-2, -7,

32、3), 所給平面的法線向量為n=(4, -2, -2). 因為sn=(-2)4+(-7)(-2)+3(-2)=0, 所以sn, 從而所給直線與所給平面平行. 又因為直線上的點(-3, -4, 0)不滿足平面方程4x-2y-2z=3, 所以所給直線不在所給平面上. (2)和3x-2y+7z=8; 解 所給直線的方向向量為s=(3, -2, 7), 所給平面的法線向量為n=(3, -2, 7). 因為s=n, 所以所給直線與所給平面是垂直的. (3)和x+y+z=3. 解 所給直線的方向向量為s=(3, 1, -4), 所給平面的法線向量為n=(1, 1, 1). 因為s n=31+11+(-4)

33、1=0, 所以sn, 從而所給直線與所給平面平行. 又因為直線上的點(2, -2, 3)滿足平面方程x+y+z=3, 所以所給直線在所給平面上. 11. 求過點(1, 2, 1)而與兩直線和平行的平面的方程. 解 已知直線的方向向量分別為 , . 所求平面的法線向量可取為 , 所求平面的方程為 -(x-1)+(y-2)-(z-1)=0, 即x-y+z=0. 12. 求點(-1, 2, 0)在平面x+2y-z+1=0上的投影. 解 平面的法線向量為n=(1, 2, -1). 過點(-1, 2, 0)并且垂直于已知平面的直線方程為 . 將此方程化為參數(shù)方程x=-1+t, y=2+2t, z=-t,

34、 代入平面方程x+2y-z+1=0中, 得 (-1+t)+2(2+2t)-(-t)+1=0, 解得. 再將代入直線的參數(shù)方程, 得, , . 于是點(-1, 2, 0)在平面x+2y-z+1=0上的投影為點. 13. 求點P(3, -1, 2)到直線的距離. 解 已知直線的方向向量為 . 過點P且與已知直線垂直的平面的方程為 -3(y+1)-3(z-2)=0, 即y+z-1=0. 解線性方程組 , 得x=1, , . 點P(3, -1, 2)到直線的距離就是點P(3, -1, 2)與點間的距離, 即 . 14. 設(shè)M0是直線L外一點, M是直線L上任意一點, 且直線的方向向量為s, 試證: 點

35、M0到直線L的距離 . 解 設(shè)點M0到直線L的距離為d, L的方向向量, 根據(jù)向量積的幾何意義, 以和為鄰邊的平行四邊形的面積為 , 又以和為鄰邊的平行四邊形的面積為. 因此 , . 15. 求直線在平面4x-y+z=1上的投影直線的方程. 解 過已知直線的平面束方程為 (2+3l)x+(-4-l)y+(1-2l)z-9l=0. 為在平面束中找出與已知平面垂直的平面, 令 (4 -1, 1)(2+3l, -4-l, 1-2l)=0, 即 4(2+3l)+(-1)(-4-l)+1(1-2l)=0. 解之得. 將代入平面束方程中, 得 17x+31y-37z-117=0. 故投影直線的方程為 .

36、16. 畫出下列各曲面所圍成的立體圖形: (1)x=0, y=0, z=0, x=2, y=1, 3x+4y+2z-12=0; (2)x=0, z=0, x=1, y=2, ; (3)z=0, z=3, x-y=0, , x2+y2=1(在第一卦限內(nèi)); (4)x=0, y=0, z=0, x2+y2=R2, y2+z2=R2(在第一卦限內(nèi)). 總習(xí)題七 1. 填空 (1)設(shè)在坐標系O; i, j, k中點A和點M的坐標依次為(x0, y0, z0)和(x, y, z), 則在A; i, j, k坐標系中, 點M的坐標為_, 向量的坐標為_. 解 M(x-x0, y-y0, z-z0), .

37、提示: 自由向量與起點無關(guān), 它在某一向量上的投影不會因起點的位置的不同而改變. (2)設(shè)數(shù)l1、l2、l3不全為0, 使l1a+l2b+l3c=0, 則a、b、c三個向量是_的. 解 共面. (3)設(shè)a=(2, 1, 2), b=(4, -1, 10), c=b-la, 且ac, 則l=_. 解3. 提示: 因為ac, 所以ac=0. 又因為由ac=ab-laa=24+1(-1)+210-l(22+12+22)=27-9l, 所以l=3. (4)設(shè)a、b、c都是單位向量, 且滿足a+b+c=0, 則ab+bc+ca=_. 解 . 提示: 因為a+b+c=0, 所以(a+b+c)(a+b+c)

38、=0, 即 aa+bb+cc+2ab+2ac+2ca=0, 于是 . (5)設(shè)|a|=3, |b|=4, |c|=5, 且滿足a+b+c=0, 則|ab+bc+ca|=_. 解36. 提示: c=-(a+b), ab+bc+ca=ab-b(a+b)-(a+b)a=ab-ba-ba=3ab, |ab+bc+ca|=3|ab|=3|a|b|=334=36. 2. 在y 軸上求與點A(1, -3, 7)和點B(5, 7, -5)等距離的點. 解 設(shè)所求點為M(0, y, 0), 則有 12+(y+3)2+72=52+(y-7)2+(-5)2, 即 (y+3)2=(y-7)2, 解得y=2, 所求的點

39、為M(0, 2, 0). 3. 已知DABC的頂點為A(3,2,-1)、B(5,-4,7)和C(-1,1,2), 求從頂點C所引中線的長度. 解 線段AB的中點的坐標為. 所求中線的長度為 . 4. 設(shè)DABC的三邊、, 三邊中點依次為D、E、F, 試用向量a、b、c表示、, 并證明 . 解 , , . 5. 試用向量證明三角形兩邊中點的連線平行于第三邊, 且其長度等于第三邊長度的一半. 證明 設(shè)D, E分別為AB, AC的中點, 則有 , , 所以 , 從而DE/BC, 且. 6. 設(shè)|a+b|=|a-b|, a=(3, -5, 8), b=(-1, 1, z), 求z . 解a+b=(2,

40、 -4, 8+z), a-b=(4, -6, 8-z). 因為|a+b|=|a-b|, 所以 , 解得z=1. 7. 設(shè), |b|=1, , 求向量a+b與a-b的夾角. 解 |a+b|2=(a+b)(a+b)=|a|2+|b|2+2ab=|a|2+|b|2+2|a|b|cos(a, b), |a-b|2=(a-b)(a-b)=|a|2+|b|2-2ab=|a|2+|b|2-2|a|b|cos(a, b). 設(shè)向量a+b與a-b的夾角為q, 則 , . 8. 設(shè)a+3b7a-5b, a-4b7a-2b, 求 . 解 因為a+3b7a-5b, a-4b7a-2b, 所以 (a+3b)(7a-5b

41、)=0, (a-4b)(7a-2b)=0, 即 7|a|2+16ab-15|b|2 =0, 7|a|2-30ab+8|b|2 =0,又以上兩式可得 , 于是 , . 9. 設(shè)a=(2, -1, -2), b=(1, 1, z), 問z為何值時最??？并求出此最小值. 解 . 因為當時, 為單調(diào)減函數(shù). 求的最小值也就是求的最大值. 令, 得z=-4. 當z=-4時, , 所以. 10. 設(shè)|a|=4, |b|=3, , 求以a+2b和a-3b為邊的平行四邊形的面積. 解 (a+2b)(a-3b)=-3ab+2ba=5ba. 以a+2b和a-3b為邊的平行四邊形的面積為 . 11. 設(shè)a=(2,

42、-3, 1), b=(1, -2, 3), c=(2, 1, 2), 向量r滿足ra, rb, Prjcr=14, 求r. 解 設(shè)r=(x, y, z). 因為ra, rb, 所以ra=0, rb=0, 即 2x-3y+z=0, x-2y+3z=0. 又因為Prjcr=14, 所以, 即 2x+y+2z=42. 解線性方程組 , 得x=14, y=10, z=2, 所以r=(14, 10, 2). 另解 因為ra, rb, 所以r與平行, 故可設(shè)r=l(7, 5, 1). 又因為Prjcr=14, 所以, rc=42, 即 l(72+51+12)=42, l=2, 所以r=(14, 10, 2

43、). 12. 設(shè)a=(-1, 3, 2), b=(2, -3, -4), c=(-3, 12, 6), 證明三向量a、b、c共面, 并用a和b表示c . 證明 向量a、b、c共面的充要條件是(ab)c=0. 因為 , (ab)c=(-6)(-3)+012+(-3)6=0, 所以向量a、b、c共面. 設(shè)c=la+mb, 則有 (-l+2m, 3l-3m, 2l-4m)=(-3, 12, 6), 即有方程組 , 解之得l=5, m=1, 所以c=5a+b . 13. 已知動點M(x,y,z)到xOy平面的距離與點M到點(1, -1, 2)的距離相等, 求點M的軌跡方程. 解 根據(jù)題意, 有 , 或

44、 z2=(x-1)2+(y+1)2+(z-2)2, 化簡得 (x-1)2+(y+1)2=4(z-1), 這就是點M的軌跡方程. 14. 指出下列旋轉(zhuǎn)曲面的一條母線和旋轉(zhuǎn)軸: (1)z=2(x2+y2); 解 旋轉(zhuǎn)曲面的一條母線為zOx面上的曲線z=2x2, 旋轉(zhuǎn)軸為z軸. (2); 解 旋轉(zhuǎn)曲面的一條母線為xOy面上的曲線, 旋轉(zhuǎn)軸為y軸. (3)z2=3(x2+y2); 解 旋轉(zhuǎn)曲面的一條母線為yOz面上的曲線, 旋轉(zhuǎn)軸為z軸. (4). 解 旋轉(zhuǎn)曲面的一條母線為xOy面上的曲線, 旋轉(zhuǎn)軸為x軸. 15. 求通過點A(3, 0, 0)和B(0, 0, 1)且與xOy面成角的平面的方程. 解

45、設(shè)所求平面的法線向量為n=(a, b, c). , xOy面的法線向量為k=(0, 0, 1). 按要求有, , 即 , 解之得c=3a, . 于是所求的平面的方程為 , 即 , 或. 16. 設(shè)一平面垂直于平面z=0, 并通過從點(1, -1, 1)到直線的垂線, 求此平面方程. 解 直線的方向向量為s=(0, 1, -1)(1, 0, 0)=(0, -1, -1). 設(shè)點(1, -1, 1)到直線的垂線交于點(x0, y0, z0). 因為點(x0, y0, z0)在直線上, 所以(x0, y0, z0)=(0, y0, y0+1). 于是, 垂線的方向向量為 s1=(-1, y0+1,

46、y0). 顯然有ss 1=0, 即 -y0-1-y0=0, . 從而. 所求平面的法線向量可取為 , 所求平面的方程為 , 即x+2y+1=0 17. 求過點(-1, 0, 4), 且平行于平面3x-4y+z-10=0, 又與直線相交的直線的方程. 解 過點(-1, 0, 4), 且平行于平面3x-4y+z-10=0的平面的方程為 3(x+1)-4(y-0)+(z-4)=0, 即3x-4y+z-1=0. 將直線化為參數(shù)方程x=-1+t, y=3+t, z=2t, 代入平面方程3x-4y+z-1=0, 得 3(-1+t)-4(3+t)+2t-1=0, 解得t=16. 于是平面3x-4y+z-1=

47、0與直線的交點的坐標為(15, 19, 32), 這也是所求直線與已知直線的交點的坐標. 所求直線的方向向量為 s=(15, 19, 32)-(-1, 0, 4)=(16, 19, 28), 所求直線的方程為 . 18. 已知點A(1, 0, 0)及點B(0, 2, 1), 試在z軸上求一點C, 使DABC的面積最小. 解 設(shè)所求的點為C(0, 0, z), 則, . 因為 , 所以DABC的面積為 . 令, 得, 所求點為. 19. 求曲線在三個坐標面上的投影曲線的方程. 解 在xOy面上的投影曲線方程為 , 即. 在zOx面上的投影曲線方程為 , 即. 在yOz面上的投影曲線方程為 , 即. 20. 求錐面與柱面z2=2x所圍立體在三個坐標面上的投影. 解 錐面與柱面交線在xOy面上的投影為 , 即, 所以, 立體在xOy面上的投影為. 錐面與柱面交線在yOz面上的投影為 , 即, 所以, 立體在yOz面上的投影為. 錐面與柱面z2=2x與平面y=0的交線為 和, 所以, 立體在zOx面上的投影為 . 21. 畫出下列各曲面所圍立體的圖形: (1)拋物柱面2y2=x, 平面z=0及; (2)拋物柱面x2=1-z, 平面y=0, z=0及x+y=1; (3)圓錐面及旋轉(zhuǎn)拋物面z=2-x2-y2; (4)旋轉(zhuǎn)拋物面x2+y2=z, 柱面y2=x, 平面z=0及x=1.