小學(xué)數(shù)學(xué)典型應(yīng)用題行程問(wèn)題.doc

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1、行程問(wèn)題經(jīng)典題型(一)1、甲、乙兩地相距6千米,某人從甲地步行去乙地,前一半時(shí)間平均每分鐘行80米,后一半時(shí)間平均每分鐘行70米。問(wèn)他走后一半路程用了多少分鐘?分析:解法、全程的平均速度是每分鐘(80+70)/2=75米,走完全程的時(shí)間是6000/75=80分鐘,走前一半路程速度一定是80米,時(shí)間是3000/80=37.5分鐘,后一半路程時(shí)間是80-37.5=42.5分鐘解法2:設(shè)走一半路程時(shí)間是x分鐘,則80*x+70*x=6*1000,解方程得:x=40分鐘因?yàn)?0*40=3200米,大于一半路程3000米,所以走前一半路程速度都是80米,時(shí)間是3000/80=37.5分鐘,后一半路程時(shí)間

2、是40+(40-37.5)=42.5分鐘答:他走后一半路程用了42.5分鐘。2、小明從家到學(xué)校有兩條一樣長(zhǎng)的路,一條是平路,另一條是一半上坡路、一半下坡路。小明上學(xué)走兩條路所用的時(shí)間一樣多。已知下坡的速度是平路的1.5倍,那么上坡的速度是平路的多少倍?分析:解法1:設(shè)路程為180,則上坡和下坡均是90。設(shè)走平路的速度是2,則下坡速度是3。走下坡用時(shí)間90/3=30,走平路一共用時(shí)間180/2=90,所以走上坡時(shí)間是90-30=60走與上坡同樣距離的平路時(shí)用時(shí)間90/2=45因?yàn)樗俣扰c時(shí)間成反比,所以上坡速度是下坡速度的45/60=0.75倍。解法2:因?yàn)榫嚯x和時(shí)間都相同,所以平均速度也相同,又

3、因?yàn)樯掀潞拖缕侣犯饕话胍蚕嗤?,設(shè)距離是1份,時(shí)間是1份,則下坡時(shí)間=0.5/1.5=1/3,上坡時(shí)間=1-1/3=2/3,上坡速度=(1/2)/(2/3)=3/4=0.75解法3:因?yàn)榫嚯x和時(shí)間都相同,所以:1/2*路程/上坡速度+1/2*路程/1.5=路程/1,得:上坡速度=0.75答:上坡的速度是平路的0.75倍。3、一只小船從甲地到乙地往返一次共用2小時(shí),回來(lái)時(shí)順?biāo)?,比去時(shí)的速度每小時(shí)多行駛8千米,因此第二小時(shí)比第一小時(shí)多行駛6千米。那么甲、乙兩地之間的距離是多少千米?分析:解法,第二小時(shí)比第一小時(shí)多走6千米,說(shuō)明逆水走1小時(shí)還差6/2=3千米沒(méi)到乙地。順?biāo)?小時(shí)比逆水多走8千米,說(shuō)明

4、逆水走3千米與順?biāo)?-3=5千米時(shí)間相同,這段時(shí)間里的路程差是5-3=2千米,等于1小時(shí)路程差的1/4,所以順?biāo)俣仁敲啃r(shí)5*4=20千米(或者說(shuō)逆水速度是3*4=12千米)。甲、乙兩地距離是12*1+3=15千米解法,順?biāo)啃r(shí)比逆水多行駛8千米,實(shí)際第二小時(shí)比第一小時(shí)多行駛6千米,順?biāo)旭倳r(shí)間=6/8=3/4小時(shí),逆水行駛時(shí)間=2-3/4=5/4,順?biāo)俣龋耗嫠俣?5/4:3/4=5:3,順?biāo)俣?8*5/(5-3)=20千米/小時(shí),兩地距離=20*3/4=15千米。答:甲、乙兩地距離之間的距離是15千米。4、一條電車線路的起點(diǎn)站和終點(diǎn)站分別是甲站和乙站,每隔5分鐘有一輛電車從甲站發(fā)

5、出開(kāi)往乙站,全程要走15分鐘。有一個(gè)人從乙站出發(fā)沿電車線路騎車前往甲站。他出發(fā)的時(shí)候,恰好有一輛電車到達(dá)乙站。在路上他又遇到了10輛迎面開(kāi)來(lái)的電車。到達(dá)甲站時(shí),恰好又有一輛電車從甲站開(kāi)出。問(wèn)他從乙站到甲站用了多少分鐘?分析:騎車人一共看到12輛車,他出發(fā)時(shí)看到的是15分鐘前發(fā)的車,此時(shí)第4輛車正從甲發(fā)出。騎車中,甲站發(fā)出第4到第12輛車,共9輛,有8個(gè)5分鐘的間隔,時(shí)間是5*8=40(分鐘)。答:他從乙站到甲站用了40分鐘。5、甲、乙兩人在河中游泳,先后從某處出發(fā),以同一速度向同一方向游進(jìn)?,F(xiàn)在甲位于乙的前方,乙距起點(diǎn)20米,當(dāng)乙游到甲現(xiàn)在的位置時(shí),甲將游離起點(diǎn)98米。問(wèn):甲現(xiàn)在離起點(diǎn)多少米?

6、分析:甲、乙速度相同,當(dāng)乙游到甲現(xiàn)在的位置時(shí),甲也又游過(guò)相同距離,兩人各游了(98-20)/2=39(米),甲現(xiàn)在位置:39+20=59(米)答:甲現(xiàn)在離起點(diǎn)59米。6、甲、乙兩輛汽車同時(shí)從東西兩地相向開(kāi)出,甲每小時(shí)行56千米,乙每小時(shí)行48千米,兩車在離兩地中點(diǎn)32千米處相遇。問(wèn):東西兩地的距離是多少千米?分析:解法1:甲比乙1小時(shí)多走8千米,一共多走32*2=64千米,用了64/8=8小時(shí),所以距離是8*(56+48)=832(千米)解法2:設(shè)東西兩地距離的一半是X千米,則有:48*(X+32)=56*(X-32),解得X=416,距離是2*416=832(千米)解法3:甲乙速度比=56:

7、48=7:6,相遇時(shí),甲比乙多行=(7-6)/(7+6)=1/13,兩地距離=2*32/(1/13)=832千米。答:東西兩地間的距離是832千米。7、李華步行以每小時(shí)4千米的速度從學(xué)校出發(fā)到20.4千米外的冬令營(yíng)報(bào)到。0.5小時(shí)后,營(yíng)地老師聞?dòng)嵡巴?,每小時(shí)比李華多走1.2千米。又過(guò)了1.5小時(shí),張明從學(xué)校騎車去營(yíng)地報(bào)到。結(jié)果3人同時(shí)在途中某地相遇。問(wèn):騎車人每小時(shí)行駛多少千米?分析:老師速度=4+1.2=5.2(千米),與李相遇時(shí)間是老師出發(fā)后(20.4-4*0.5)/(4+5.2)=2(小時(shí)),相遇地點(diǎn)距離學(xué)校4*(0.5+2)=10(千米),所以騎車人速度=10/(2+0.5-2)=

8、20(千米)答:騎車人每小時(shí)行駛20千米。8、快車和慢車分別從甲、乙兩地同時(shí)開(kāi)出,相向而行,經(jīng)過(guò)5小時(shí)相遇。已知慢車從乙地到甲地用12.5小時(shí),慢車到甲地停留0.5小時(shí)后返回,快車到乙地停留1小時(shí)后返回,那么兩車從第一次相遇到第二次相遇需要多少時(shí)間?分析:解法,快車5小時(shí)行過(guò)的距離是慢車12.5-5=7.5小時(shí)行的距離,慢車速度/快車速度=5/7.5=2/3。兩車行1個(gè)單程用5小時(shí),如果不停,再次相遇需要5*2=10小時(shí),如果兩車都停0.5小時(shí),則需要10.5小時(shí)再次相遇。快車多停30分鐘,這段路程快車與慢車一起走,需要30/(1+2/3)=18(分鐘)所以10.5小時(shí)+18分鐘=10小時(shí)48

9、分鐘解法2:回程慢車比快車多開(kāi)半小時(shí),這半小時(shí)慢車走了0.5/12.5=1/25全程,兩車合起來(lái)少開(kāi)1/25,節(jié)省時(shí)間=5*1/25=0.2小時(shí),所以,從第一次相遇到第二次相遇需要=5*2+1-0.2=10.8小時(shí)。答:兩車從第一次相遇到第二次相遇需要10小時(shí)48分鐘。9、某校和某工廠之間有一條公路,該校下午2時(shí)派車去該廠接某勞模來(lái)校作報(bào)告,往返需用1小時(shí)。這位勞模在下午1時(shí)便離廠步行向?qū)W校走來(lái),途中遇到接他的汽車,便立刻上車駛向?qū)W校,在下午2時(shí)40分到達(dá)。問(wèn):汽車速度是勞模步行速度的幾倍?解:汽車走單程需要60/2=30分鐘,實(shí)際走了40/2=20分鐘的路程,說(shuō)明相遇時(shí)間是2:20,2點(diǎn)20

10、分相遇時(shí),勞模走了60+20=80分鐘,這段距離汽車要走30-20=10分鐘,所以車速/勞模速度=80/10=8答:汽車速度是勞模步行速度的8倍。10、已知甲的步行的速度是乙的1.4倍。甲、乙兩人分別由A,B兩地同時(shí)出發(fā)。如果相向而行,0.5小時(shí)后相遇;如果他們同向而行,那么甲追上乙需要多少小時(shí)?分析:兩人相向而行,路程之和是AB,AB=速度和*0.5;同向而行,路程之差是AB,AB=速度差*追及時(shí)間。速度和=1.4+1=2.4,速度差=1.4-1=0.4。所以:追及時(shí)間=速度和/速度差*0.5=2.4/0.4*0.5=3(小時(shí))答:甲追上乙需要3小時(shí)。11、獵狗發(fā)現(xiàn)在離它10米的前方有一只奔

11、跑著的兔子,馬上緊追上去。兔跑9步的路程狗只需跑5步,但狗跑2步的時(shí)間,兔卻跑3步。問(wèn)狗追上兔時(shí),共跑了多少米路程?分析:狗跑2步時(shí)間里兔跑3步,則狗跑6步時(shí)間里兔跑9步,兔走了狗5步的距離,距離縮小1步。狗速=6*速度差,路程=10*6=60(米)答:狗追上兔時(shí),共跑了60米。12、張、李兩人騎車同進(jìn)從甲地出發(fā),向同一方向行進(jìn)。張的速度比李的速度每小時(shí)快4千米,張比李早到20分鐘通過(guò)途中乙地。當(dāng)李到達(dá)乙地時(shí),張又前進(jìn)了8千米。那么甲、乙兩地之間的距離是多少千米?分析:解法1,張速度每小時(shí)8/(20/60)=24(千米),李速度每小時(shí)24-4=20(千米),張到乙時(shí)超過(guò)李距離是20*(20/6

12、0)=20/3(千米)所以甲乙距離=24*(20/3/4)=40(千米)解法2:張比李每小時(shí)快4千米,現(xiàn)共多前進(jìn)了8千米,即共騎了8/4=2小時(shí),張從甲到乙用了2*60-20=100分鐘,所以甲乙兩地距離=(100/20)*8=40千米。答:甲、乙兩地之間的距離是40千米。13、上午8時(shí)8分,小明騎自行車從家里出發(fā);8分鐘后,爸爸騎摩托車去追他,在離家4千米的地方追上了他;然后爸爸立刻回家,到家后又立刻回頭去追小明,再追上他的時(shí)候,離家恰好是8千米。問(wèn)這時(shí)是幾時(shí)幾分?分析:爸爸第一次追上小明離家4千米,如果等8分鐘,再追上時(shí)應(yīng)該離家8千米,說(shuō)明爸爸8分鐘行8千米,爸爸一共行了8+8=16分鐘,

13、時(shí)間是8點(diǎn)8分+8分+16分=8點(diǎn)32分。答:這時(shí)8點(diǎn)32分。14、龜兔進(jìn)行10000米賽跑,兔子的速度是烏龜?shù)乃俣鹊?倍。當(dāng)它們從起點(diǎn)一起出發(fā)后,烏龜不停地跑,兔子跑到某一地點(diǎn)開(kāi)始睡覺(jué),兔子醒來(lái)時(shí)烏龜已經(jīng)領(lǐng)先它5000米;兔子奮起直追,但烏龜?shù)竭_(dá)終點(diǎn)時(shí),兔子仍落后100米。那么兔子睡覺(jué)期間,烏龜跑了多少米?分析:兔子跑了10000-100=9900米,這段時(shí)間里烏龜跑了9900*1/5=1980米,兔子睡覺(jué)時(shí)烏龜跑了10000-1980=8020米答:兔子睡覺(jué)期間烏龜跑了8020米。15、一輛大轎車與一輛小轎車都從甲地駛往乙地。大轎車的速度是小轎車速度的0.8倍。已知大轎車比小轎車早出發(fā)17

14、分鐘,但在兩地中點(diǎn)停了5分鐘后,才繼續(xù)駛往乙地;在小轎車出發(fā)后中途沒(méi)有停,直接駛往乙地,最后小轎車卻比大轎車早4分鐘到達(dá)乙地。又知大轎車是上午10時(shí)從甲地出發(fā)的,求小轎車追上大轎車的時(shí)間。分析:解法1,大車如果中間不停車,要比小車多費(fèi)17-5+4=16分鐘,大車用的時(shí)間與小車用的時(shí)間之比是速度比的倒數(shù),即1/0.8=5/4,所以大車行駛時(shí)間是16/(5-4)*5=80分鐘,小車行駛時(shí)間是80-16=64分鐘,走到中間分別用了40和32分鐘。大車10點(diǎn)出發(fā),到中間點(diǎn)是10點(diǎn)40分,離開(kāi)中點(diǎn)是10點(diǎn)45分,到達(dá)終點(diǎn)是11點(diǎn)25分。小車10點(diǎn)17分出發(fā),到中間點(diǎn)是10點(diǎn)49分,比大車晚4分;到終點(diǎn)是

15、11點(diǎn)21分,比大車早4分。所以小車追上大車的時(shí)間是在從中間點(diǎn)到終點(diǎn)之間的正中間,11點(diǎn)5分。解法2:大轎車的速度是小轎車速度的0.8倍,大轎車的用時(shí)是小轎車用時(shí)的1/0.8=1.25倍,大轎車比小轎車多用時(shí)17-5+4=16分鐘,大轎車行駛時(shí)間=16*(1.25/0.25)=80分鐘,小轎車行駛時(shí)間=16/(0.25)=64分鐘,小轎車比大轎車實(shí)際晚開(kāi)17-5=12分鐘,追上需要=12*0.8/(1-0.8)=48分鐘,48+17=65分=1小時(shí)5分,所以,小轎車追上大轎車的時(shí)間是11時(shí)5分答:小轎車追上大轎車的時(shí)間是11點(diǎn)5分。行程問(wèn)題(二)走路、行車、一個(gè)物體的移動(dòng),總是要涉及到三個(gè)數(shù)量

16、:距離走了多遠(yuǎn),行駛多少千米,移動(dòng)了多少米等等;速度在單位時(shí)間內(nèi)(例如1小時(shí)內(nèi))行走或移動(dòng)的距離;時(shí)間行走或移動(dòng)所花時(shí)間.這三個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系,可以用下面的公式來(lái)表示:距離=速度時(shí)間很明顯,只要知道其中兩個(gè)數(shù)量,就馬上可以求出第三個(gè)數(shù)量.從數(shù)學(xué)上說(shuō),這是一種最基本的數(shù)量關(guān)系,在小學(xué)的應(yīng)用題中,這樣的數(shù)量關(guān)系也是最常見(jiàn)的,例如總量=每個(gè)人的數(shù)量人數(shù).工作量=工作效率時(shí)間.因此,我們從行程問(wèn)題入手,掌握一些處理這種數(shù)量關(guān)系的思路、方法和技巧,就能解其他類似的問(wèn)題.當(dāng)然,行程問(wèn)題有它獨(dú)自的特點(diǎn),在小學(xué)的應(yīng)用題中,行程問(wèn)題的內(nèi)容最豐富多彩,饒有趣味.它不僅在小學(xué),而且在中學(xué)數(shù)學(xué)、物理的學(xué)習(xí)中,也是一個(gè)

17、重點(diǎn)內(nèi)容.因此,我們非常希望大家能學(xué)好這一講,特別是學(xué)會(huì)對(duì)一些問(wèn)題的思考方法和處理技巧.這一講,用5千米/小時(shí)表示速度是每小時(shí)5千米,用3米/秒表示速度是每秒3米一、追及與相遇有兩個(gè)人同時(shí)在行走,一個(gè)走得快,一個(gè)走得慢,當(dāng)走得慢的在前,走得快的過(guò)了一些時(shí)間就能追上他.這就產(chǎn)生了“追及問(wèn)題”.實(shí)質(zhì)上,要算走得快的人在某一段時(shí)間內(nèi),比走得慢的人多走的距離,也就是要計(jì)算兩人走的距離之差.如果設(shè)甲走得快,乙走得慢,在相同時(shí)間內(nèi),甲走的距離-乙走的距離= 甲的速度時(shí)間-乙的速度時(shí)間=(甲的速度-乙的速度)時(shí)間.通常,“追及問(wèn)題”要考慮速度差.例1 小轎車的速度比面包車速度每小時(shí)快6千米,小轎車和面包車同

18、時(shí)從學(xué)校開(kāi)出,沿著同一路線行駛,小轎車比面包車早10分鐘到達(dá)城門(mén),當(dāng)面包車到達(dá)城門(mén)時(shí),小轎車已離城門(mén)9千米,問(wèn)學(xué)校到城門(mén)的距離是多少千米?解:先計(jì)算,從學(xué)校開(kāi)出,到面包車到達(dá)城門(mén)用了多少時(shí)間.此時(shí),小轎車比面包車多走了9千米,而小轎車與面包車的速度差是6千米/小時(shí),因此所用時(shí)間=961.5(小時(shí)).小轎車比面包車早10分鐘到達(dá)城門(mén),面包車到達(dá)時(shí),小轎車離城門(mén)9千米,說(shuō)明小轎車的速度是面包車速度是 54-648(千米/小時(shí)).城門(mén)離學(xué)校的距離是481.572(千米).答:學(xué)校到城門(mén)的距離是72千米.例2 小張從家到公園,原打算每分種走50米.為了提早10分鐘到,他把速度加快,每分鐘走75米.問(wèn)家

19、到公園多遠(yuǎn)?解一:可以作為“追及問(wèn)題”處理.假設(shè)另有一人,比小張?jiān)?0分鐘出發(fā).考慮小張以75米/分鐘速度去追趕,追上所需時(shí)間是50 10(75- 50) 20(分鐘)?因此,小張走的距離是75 20 1500(米).答:從家到公園的距離是1500米.還有一種不少人采用的方法.解二:小張加快速度后,每走1米,可節(jié)約時(shí)間(1/75-1/50)分鐘,因此家到公園的距離是一種解法好不好,首先是“易于思考”,其次是“計(jì)算方便”.那么你更喜歡哪一種解法呢?對(duì)不同的解法進(jìn)行比較,能逐漸形成符合你思維習(xí)慣的解題思路.例3 一輛自行車在前面以固定的速度行進(jìn),有一輛汽車要去追趕.如果速度是30千米/小時(shí),要1小

20、時(shí)才能追上;如果速度是 35千米/小時(shí),要 40分鐘才能追上.問(wèn)自行車的速度是多少?解一:自行車1小時(shí)走了301-已超前距離,自行車40分鐘走了自行車多走20分鐘,走了因此,自行車的速度是 答:自行車速度是20千米/小時(shí).解二:因?yàn)樽飞纤钑r(shí)間=追上距離速度差1小時(shí)與40分鐘是32.所以兩者的速度差之比是23.請(qǐng)看下面示意圖:馬上可看出前一速度差是15.自行車速度是35- 15 20(千米/小時(shí)).解二的想法與第二講中年齡問(wèn)題思路完全類同.這一解法的好處是,想清楚后,非常便于心算.例4 上午8點(diǎn)8分,小明騎自行車從家里出發(fā),8分鐘后,爸爸騎摩托車去追他,在離家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即

21、回家,到家后又立刻回頭去追小明,再追上小明的時(shí)候,離家恰好是8千米,這時(shí)是幾點(diǎn)幾分?解:畫(huà)一張簡(jiǎn)單的示意圖:圖上可以看出,從爸爸第一次追上到第二次追上,小明走了8-44(千米).而爸爸騎的距離是 4 8 12(千米).這就知道,爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的 1243(倍).按照這個(gè)倍數(shù)計(jì)算,小明騎8千米,爸爸可以騎行8324(千米).但事實(shí)上,爸爸少用了8分鐘,騎行了41216(千米).少騎行24-168(千米).摩托車的速度是1千米/分,爸爸騎行16千米需要16分鐘.881632.答:這時(shí)是8點(diǎn)32分.下面講“相遇問(wèn)題”.小王從甲地到乙地,小張從乙地到甲地,兩人在途中相遇,實(shí)質(zhì)上是

22、小王和小張一起走了甲、乙之間這段距離.如果兩人同時(shí)出發(fā),那么甲走的距離+乙走的距離=甲的速度時(shí)間+乙的速度時(shí)間=(甲的速度+乙的速度)時(shí)間.“相遇問(wèn)題”,常常要考慮兩人的速度和.例5 小張從甲地到乙地步行需要36分鐘,小王騎自行車從乙地到甲地需要12分鐘.他們同時(shí)出發(fā),幾分鐘后兩人相遇?解:走同樣長(zhǎng)的距離,小張花費(fèi)的時(shí)間是小王花費(fèi)時(shí)間的 36123(倍),因此自行車的速度是步行速度的3倍,也可以說(shuō),在同一時(shí)間內(nèi),小王騎車走的距離是小張步行走的距離的3倍.如果把甲地乙地之間的距離分成相等的4段,小王走了3段,小張走了1段,小張花費(fèi)的時(shí)間是36(31)9(分鐘).答:兩人在9分鐘后相遇.例6 小張

23、從甲地到乙地,每小時(shí)步行5千米,小王從乙地到甲地,每小時(shí)步行4千米.兩人同時(shí)出發(fā),然后在離甲、乙兩地的中點(diǎn)1千米的地方相遇,求甲、乙兩地間的距離.解:畫(huà)一張示意圖離中點(diǎn)1千米的地方是A點(diǎn),從圖上可以看出,小張走了兩地距離的一半多1千米,小王走了兩地距離的一半少1千米.從出發(fā)到相遇,小張比小王多走了2千米小張比小王每小時(shí)多走(5-4)千米,從出發(fā)到相遇所用的時(shí)間是2(5-4)2(小時(shí)).因此,甲、乙兩地的距離是(5 4)218(千米).本題表面的現(xiàn)象是“相遇”,實(shí)質(zhì)上卻要考慮“小張比小王多走多少?”豈不是有“追及”的特點(diǎn)嗎?對(duì)小學(xué)的應(yīng)用題,不要簡(jiǎn)單地說(shuō)這是什么問(wèn)題.重要的是抓住題目的本質(zhì),究竟考

24、慮速度差,還是考慮速度和,要針對(duì)題目中的條件好好想一想.千萬(wàn)不要“兩人面對(duì)面”就是“相遇”,“兩人一前一后”就是“追及”.請(qǐng)?jiān)倏匆粋€(gè)例子.例7 甲、乙兩車分別從A,B兩地同時(shí)出發(fā),相向而行,6小時(shí)后相遇于C點(diǎn).如果甲車速度不變,乙車每小時(shí)多行5千米,且兩車還從A,B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行,則相遇地點(diǎn)距C點(diǎn)12千米;如果乙車速度不變,甲車每小時(shí)多行5千米,且兩車還從A,B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行,則相遇地點(diǎn)距C點(diǎn)16千米.求A,B兩地距離.解:先畫(huà)一張行程示意圖如下設(shè)乙加速后與甲相遇于D點(diǎn),甲加速后與乙相遇于E點(diǎn).同時(shí)出發(fā)后的相遇時(shí)間,是由速度和決定的.不論甲加速,還是乙加速,它們的速度和比原來(lái)都增加

25、5千米,因此,不論在D點(diǎn)相遇,還是在E點(diǎn)相遇,所用時(shí)間是一樣的,這是解決本題的關(guān)鍵.下面的考慮重點(diǎn)轉(zhuǎn)向速度差.在同樣的時(shí)間內(nèi),甲如果加速,就到E點(diǎn),而不加速,只能到 D點(diǎn).這兩點(diǎn)距離是 12 16 28(千米),加速與不加速所形成的速度差是5千米/小時(shí).因此,在D點(diǎn)(或E點(diǎn))相遇所用時(shí)間是285 5.6(小時(shí)).比C點(diǎn)相遇少用 6-5.60.4(小時(shí)).甲到達(dá)D,和到達(dá)C點(diǎn)速度是一樣的,少用0.4小時(shí),少走12千米,因此甲的速度是120.430(千米/小時(shí)).同樣道理,乙的速度是160.440(千米/小時(shí)).A到 B距離是(30 40)6 420(千米).答: A,B兩地距離是 420千米.很

26、明顯,例7不能簡(jiǎn)單地說(shuō)成是“相遇問(wèn)題”.例8 如圖,從A到B是1千米下坡路,從B到C是3千米平路,從C到D是2.5千米上坡路.小張和小王步行,下坡的速度都是6千米/小時(shí),平路速度都是4千米/小時(shí),上坡速度都是2千米/小時(shí).問(wèn):(1)小張和小王分別從A, D同時(shí)出發(fā),相向而行,問(wèn)多少時(shí)間后他們相遇?(2)相遇后,兩人繼續(xù)向前走,當(dāng)某一個(gè)人達(dá)到終點(diǎn)時(shí),另一人離終點(diǎn)還有多少千米?解:(1)小張從 A到 B需要 1660 10(分鐘);小王從 D到 C也是下坡,需要 2.5660 25(分鐘);當(dāng)小王到達(dá) C點(diǎn)時(shí),小張已在平路上走了 25-1015(分鐘),走了因此在 B與 C之間平路上留下 3- 1

27、 2(千米)由小張和小王共同相向而行,直到相遇,所需時(shí)間是2 (4 4)60 15(分鐘).從出發(fā)到相遇的時(shí)間是25 15 40 (分鐘).(2)相遇后,小王再走30分鐘平路,到達(dá)B點(diǎn),從B點(diǎn)到 A點(diǎn)需要走 1260=30分鐘,即他再走 60分鐘到達(dá)終點(diǎn).小張走15分鐘平路到達(dá)D點(diǎn),45分鐘可走小張離終點(diǎn)還有2.5-1.5=1(千米).答:40分鐘后小張和小王相遇.小王到達(dá)終點(diǎn)時(shí),小張離終點(diǎn)還有1千米.二、環(huán)形路上的行程問(wèn)題人在環(huán)形路上行走,計(jì)算行程距離常常與環(huán)形路的周長(zhǎng)有關(guān).例9 小張和小王各以一定速度,在周長(zhǎng)為500米的環(huán)形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.(1)小張和小王同時(shí)從同一地

28、點(diǎn)出發(fā),反向跑步,75秒后兩人第一次相遇,小張的速度是多少米/分?(2)小張和小王同時(shí)從同一點(diǎn)出發(fā),同一方向跑步,小張跑多少圈后才能第一次追上小王?解:(1 )75秒-1.25分.兩人相遇,也就是合起來(lái)跑了一個(gè)周長(zhǎng)的行程.小張的速度是5001.25-180=220(米/分).(2)在環(huán)形的跑道上,小張要追上小王,就是小張比小王多跑一圈(一個(gè)周長(zhǎng)),因此需要的時(shí)間是500(220-180)12.5(分).22012.55005.5(圈).答:(1)小張的速度是220米/分;(2)小張跑5.5圈后才能追上小王.例10 如圖,A、B是圓的直徑的兩端,小張?jiān)贏點(diǎn),小王在B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向行走,他們?cè)贑點(diǎn)

29、第一次相遇,C離A點(diǎn)80米;在D點(diǎn)第二次相遇,D點(diǎn)離B點(diǎn)6O米.求這個(gè)圓的周長(zhǎng).解:第一次相遇,兩人合起來(lái)走了半個(gè)周長(zhǎng);第二次相遇,兩個(gè)人合起來(lái)又走了一圈.從出發(fā)開(kāi)始算,兩個(gè)人合起來(lái)走了一周半.因此,第二次相遇時(shí)兩人合起來(lái)所走的行程是第一次相遇時(shí)合起來(lái)所走的行程的3倍,那么從A到D的距離,應(yīng)該是從A到C距離的3倍,即A到D是803240(米).240-60=180(米).1802360(米).答:這個(gè)圓的周長(zhǎng)是360米.在一條路上往返行走,與環(huán)行路上行走,解題思考時(shí)極為類似,因此也歸入這一節(jié).例11 甲村、乙村相距6千米,小張與小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā),在兩村之間往返行走(到達(dá)另一村后就馬

30、上返回).在出發(fā)后40分鐘兩人第一次相遇.小王到達(dá)甲村后返回,在離甲村2千米的地方兩人第二次相遇.問(wèn)小張和小王的速度各是多少?解:畫(huà)示意圖如下:如圖,第一次相遇兩人共同走了甲、乙兩村間距離,第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村間距離的3倍,因此所需時(shí)間是403602(小時(shí)).從圖上可以看出從出發(fā)至第二次相遇,小張已走了62-210(千米).小王已走了 62=8(千米).因此,他們的速度分別是小張 1025(千米/小時(shí)),小王 82=4(千米/小時(shí)).答:小張和小王的速度分別是5千米/小時(shí)和4千米/小時(shí).例12 小張與小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā),在兩村之間往返行走(到達(dá)另一村后就馬上返回),他們

31、在離甲村3.5千米處第一次相遇,在離乙村2千米處第二次相遇.問(wèn)他們兩人第四次相遇的地點(diǎn)離乙村多遠(yuǎn)(相遇指迎面相遇)?解:畫(huà)示意圖如下.第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村距離的3倍,因此張走了3.5310.5(千米).從圖上可看出,第二次相遇處離乙村2千米.因此,甲、乙兩村距離是10.5-28.5(千米).每次要再相遇,兩人就要共同再走甲、乙兩村距離2倍的路程.第四次相遇時(shí),兩人已共同走了兩村距離(322)倍的行程.其中張走了3.5724.5(千米),24.5=8.58.57.5(千米).就知道第四次相遇處,離乙村8.5-7.5=1(千米).答:第四次相遇地點(diǎn)離乙村1千米.下面仍回到環(huán)行路上的問(wèn)

32、題.例13 繞湖一周是24千米,小張和小王從湖邊某一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行.小王以4千米/小時(shí)速度每走1小時(shí)后休息5分鐘;小張以6千米/小時(shí)速度每走50分鐘后休息10分鐘.問(wèn):兩人出發(fā)多少時(shí)間第一次相遇?解:小張的速度是6千米/小時(shí),50分鐘走5千米我們可以把他們出發(fā)后時(shí)間與行程列出下表:121527比24大,從表上可以看出,他們相遇在出發(fā)后2小時(shí)10分至3小時(shí)15分之間.出發(fā)后2小時(shí)10分小張已走了此時(shí)兩人相距24-(811)=5(千米).由于從此時(shí)到相遇已不會(huì)再休息,因此共同走完這5千米所需時(shí)間是5(46)0.5(小時(shí)).2小時(shí)10分再加上半小時(shí)是2小時(shí)40分.答:他們相遇時(shí)是出發(fā)后2小時(shí)4

33、0分.例14 一個(gè)圓周長(zhǎng)90厘米,3個(gè)點(diǎn)把這個(gè)圓周分成三等分,3只爬蟲(chóng)A,B,C分別在這3個(gè)點(diǎn)上.它們同時(shí)出發(fā),按順時(shí)針?lè)较蜓刂鴪A周爬行.A的速度是10厘米/秒,B的速度是5厘米/秒,C的速度是3厘米/秒,3只爬蟲(chóng)出發(fā)后多少時(shí)間第一次到達(dá)同一位置?解:先考慮B與C這兩只爬蟲(chóng),什么時(shí)候能到達(dá)同一位置.開(kāi)始時(shí),它們相差30厘米,每秒鐘B能追上C(5-3)厘米0.30(5-3)15(秒).因此15秒后B與C到達(dá)同一位置.以后再要到達(dá)同一位置,B要追上C一圈,也就是追上90厘米,需要90(5-3)45(秒).B與C到達(dá)同一位置,出發(fā)后的秒數(shù)是15,105,150,195,再看看A與B什么時(shí)候到達(dá)同一位

34、置.第一次是出發(fā)后30(10-5)=6(秒),以后再要到達(dá)同一位置是A追上B一圈.需要90(10-5)18(秒),A與B到達(dá)同一位置,出發(fā)后的秒數(shù)是6,24,42,78,96,對(duì)照兩行列出的秒數(shù),就知道出發(fā)后60秒3只爬蟲(chóng)到達(dá)同一位置.答:3只爬蟲(chóng)出發(fā)后60秒第一次爬到同一位置.請(qǐng)思考, 3只爬蟲(chóng)第二次到達(dá)同一位置是出發(fā)后多少秒?例15 圖上正方形ABCD是一條環(huán)形公路.已知汽車在AB上的速度是90千米/小時(shí),在BC上的速度是120千米/小時(shí),在CD上的速度是60千米/小時(shí),在DA上的速度是80千米/小時(shí).從CD上一點(diǎn)P,同時(shí)反向各發(fā)出一輛汽車,它們將在AB中點(diǎn)相遇.如果從PC中點(diǎn)M,同時(shí)反向

35、各發(fā)出一輛汽車,它們將在AB上一點(diǎn)N處相遇.求解:兩車同時(shí)出發(fā)至相遇,兩車行駛的時(shí)間一樣多.題中有兩個(gè)“相遇”,解題過(guò)程就是時(shí)間的計(jì)算.要計(jì)算方便,取什么作計(jì)算單位是很重要的.設(shè)汽車行駛CD所需時(shí)間是1.根據(jù)“走同樣距離,時(shí)間與速度成反比”,可得出分?jǐn)?shù)計(jì)算總不太方便,把這些所需時(shí)間都乘以24.這樣,汽車行駛CD,BC,AB,AD所需時(shí)間分別是24,12,16,18.從P點(diǎn)同時(shí)反向各發(fā)一輛車,它們?cè)贏B中點(diǎn)相遇.PDA與 PCB所用時(shí)間相等.PC上所需時(shí)間-PD上所需時(shí)間=DA所需時(shí)間-CB所需時(shí)間=18-12=6.而(PC上所需時(shí)間+PD上所需時(shí)間)是CD上所需時(shí)間24.根據(jù)“和差”計(jì)算得PC

36、上所需時(shí)間是(24+6)215,PD上所需時(shí)間是24-159.現(xiàn)在兩輛汽車從M點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行,MPDAN與MCBN所用時(shí)間相等.M是PC中點(diǎn).PDAN與CBN時(shí)間相等,就有BN上所需時(shí)間-AN上所需時(shí)間=PDA所需時(shí)間-CB所需時(shí)間=(918)-12= 15.BN上所需時(shí)間+AN上所需時(shí)間=AB上所需時(shí)間=16.立即可求BN上所需時(shí)間是15.5,AN所需時(shí)間是0.5.從這一例子可以看出,對(duì)要計(jì)算的數(shù)作一些準(zhǔn)備性處理,會(huì)使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單些.三、稍復(fù)雜的問(wèn)題在這一節(jié)希望讀者逐漸掌握以下兩個(gè)解題技巧:(1)在行程中能設(shè)置一個(gè)解題需要的點(diǎn);(2)靈活地運(yùn)用比例.例16 小王的步行速度是4.8千米/小

37、時(shí),小張的步行速度是5.4千米/小時(shí),他們兩人從甲地到乙地去.小李騎自行車的速度是10.8千米/小時(shí),從乙地到甲地去.他們3人同時(shí)出發(fā),在小張與小李相遇后5分鐘,小王又與小李相遇.問(wèn):小李騎車從乙地到甲地需要多少時(shí)間?解:畫(huà)一張示意圖:圖中A點(diǎn)是小張與小李相遇的地點(diǎn),圖中再設(shè)置一個(gè)B點(diǎn),它是張、李兩人相遇時(shí)小王到達(dá)的地點(diǎn).5分鐘后小王與小李相遇,也就是5分鐘的時(shí)間,小王和小李共同走了B與A之間這段距離,它等于這段距離也是出發(fā)后小張比小王多走的距離,小王與小張的速度差是(5.4-4.8)千米/小時(shí).小張比小王多走這段距離,需要的時(shí)間是1.3(5.4-4.8)60=130(分鐘).這也是從出發(fā)到張

38、、李相遇時(shí)已花費(fèi)的時(shí)間.小李的速度10.8千米/小時(shí)是小張速度5.4千米/小時(shí)的2倍.因此小李從A到甲地需要1302=65(分鐘).從乙地到甲地需要的時(shí)間是13065=195(分鐘)3小時(shí)15分.答:小李從乙地到甲地需要3小時(shí)15分.上面的問(wèn)題有3個(gè)人,既有“相遇”,又有“追及”,思考時(shí)要分幾個(gè)層次,弄清相互間的關(guān)系,問(wèn)題也就迎刃而解了.在圖中設(shè)置一個(gè)B點(diǎn),使我們的思考直觀簡(jiǎn)明些.例17 小玲和小華姐弟倆正要從公園門(mén)口沿馬路向東去某地,而他們的家要從公園門(mén)口沿馬路往西.小華問(wèn)姐姐:“是先向西回家取了自行車,再騎車向東去,還是直接從公園門(mén)口步行向東去快”?姐姐算了一下說(shuō):“如果騎車與步行的速度比

39、是41,那么從公園門(mén)口到目的地的距離超過(guò)2千米時(shí),回家取車才合算.”請(qǐng)推算一下,從公園到他們家的距離是多少米?解:先畫(huà)一張示意圖設(shè)A是離公園2千米處,設(shè)置一個(gè)B點(diǎn),公園離B與公園離家一樣遠(yuǎn).如果從公園往西走到家,那么用同樣多的時(shí)間,就能往東走到B點(diǎn).現(xiàn)在問(wèn)題就轉(zhuǎn)變成:騎車從家開(kāi)始,步行從B點(diǎn)開(kāi)始,騎車追步行,能在A點(diǎn)或更遠(yuǎn)處追上步行.具體計(jì)算如下:不妨設(shè)B到A的距離為1個(gè)單位,因?yàn)轵T車速度是步行速度的4倍,所以從家到A的距離是4個(gè)單位,從家到B的距離是3個(gè)單位.公園到B是1.5個(gè)單位.從公園到A是11.52.5(單位).每個(gè)單位是 20002.5800(米).因此,從公園到家的距離是8001.

40、51200(米).答:從公園門(mén)口到他們家的距離是1200米.這一例子中,取計(jì)算單位給計(jì)算帶來(lái)方便,是值得讀者仿照采用的.請(qǐng)?jiān)倏匆焕?例18 快車和慢車分別從A,B兩地同時(shí)開(kāi)出,相向而行.經(jīng)過(guò)5小時(shí)兩車相遇.已知慢車從B到A用了12.5小時(shí),慢車到A停留半小時(shí)后返回.快車到B停留1小時(shí)后返回.問(wèn):兩車從第一次相遇到再相遇共需多少時(shí)間?解:畫(huà)一張示意圖:設(shè)C點(diǎn)是第一次相遇處.慢車從B到C用了5小時(shí),從C到A用了12.5-5=7.5(小時(shí)).我們把慢車半小時(shí)行程作為1個(gè)單位.B到C10個(gè)單位,C到A15個(gè)單位.慢車每小時(shí)走2個(gè)單位,快車每小時(shí)走3個(gè)單位.有了上面“取單位”準(zhǔn)備后,下面很易計(jì)算了.慢車

41、從C到A,再加停留半小時(shí),共8小時(shí).此時(shí)快車在何處呢?去掉它在B停留1小時(shí).快車行駛7小時(shí),共行駛37=21(單位).從B到C再往前一個(gè)單位到D點(diǎn).離A點(diǎn)15-114(單位).現(xiàn)在慢車從A,快車從D,同時(shí)出發(fā)共同行走14單位,相遇所需時(shí)間是14(23)2.8(小時(shí)).慢車從C到A返回行駛至與快車相遇共用了7.50.52.810.8(小時(shí)).答:從第一相遇到再相遇共需10小時(shí)48分.例19 一只小船從A地到B地往返一次共用2小時(shí).回來(lái)時(shí)順?biāo)?,比去時(shí)的速度每小時(shí)多行駛8千米,因此第二小時(shí)比第一小時(shí)多行駛6千米.求A至B兩地距離.解:1小時(shí)是行駛?cè)痰囊话霑r(shí)間,因?yàn)槿r(shí)逆水,小船到達(dá)不了B地.我們?cè)?/p>

42、B之前設(shè)置一個(gè)C點(diǎn),是小船逆水行駛1小時(shí)到達(dá)處.如下圖第二小時(shí)比第一小時(shí)多行駛的行程,恰好是C至B距離的2倍,它等于6千米,就知C至B是3千米.為了示意小船順?biāo)俣缺饶嫠俣让啃r(shí)多行駛8千米,在圖中再設(shè)置D點(diǎn),D至C是8千米.也就是D至A順?biāo)旭倳r(shí)間是1小時(shí).現(xiàn)在就一目了然了.D至B是5千米順?biāo)旭偅cC至B逆水行駛3千米時(shí)間一樣多.因此順?biāo)俣饶嫠俣?53.由于兩者速度差是8千米.立即可得出A至B距離是 123=15(千米).答:A至B兩地距離是15千米.例20 從甲市到乙市有一條公路,它分成三段.在第一段上,汽車速度是每小時(shí)40千米,在第二段上,汽車速度是每小時(shí)90千米,在第三段上,汽

43、車速度是每小時(shí)50千米.已知第一段公路的長(zhǎng)恰好是第三段的2倍.現(xiàn)有兩輛汽車分別從甲、乙兩市同時(shí)出發(fā),相向而行.1小時(shí)20分后,在第二段的1/3處(從甲方到乙方向的1/3處)相遇,那么,甲、乙兩市相距多少千米?解一:畫(huà)出如下示意圖:當(dāng)從乙城出發(fā)的汽車走完第三段到C時(shí),從甲城出發(fā)的汽車走完第一段的到達(dá)D處,這樣,D把第一段分成兩部分兩車在第二段的1/3處相遇,水明甲城汽車從D到E走完第一段,與乙城汽車走完第二段的1/3從C到F,所用時(shí)間相同,設(shè)這一時(shí)間為一份,一小時(shí)20分相當(dāng)于因此就知道,汽車在第一段需要第二段需要 30390(分鐘);甲、乙兩市距離是答:甲、乙兩市相距185千米.把每輛車從出發(fā)到

44、相遇所走的行程都分成三段,而兩車逐段所用時(shí)間都相應(yīng)地一樣.這樣通過(guò)“所用時(shí)間”使各段之間建立了換算關(guān)系.這是一種典型的方法.例8、例13也是類似思路,僅僅是問(wèn)題簡(jiǎn)單些.還可以用“比例分配”方法求出各段所用時(shí)間.解二:走第一段的2/5,與走第三段時(shí)間一樣就得出第一段所用時(shí)間第三段所用時(shí)間=52.D至E與C至F所用時(shí)間一樣,就是走第一段的3/5與走第二段的1/3所用時(shí)間一樣。第一段所用時(shí)間第二段所用時(shí)間=59.因此,三段路程所用時(shí)間的比是:592.汽車走完全程所用時(shí)間是 802160(分種).例21 一輛車從甲地開(kāi)往乙地.如果車速提高20,可以比原定時(shí)間提前一小時(shí)到達(dá);如果以原速行駛120千米后,

45、再將速度提高25,則可提前40分鐘到達(dá).那么甲、乙兩地相距多少千米?解:設(shè)原速度是1.就得出,加速20后,所用時(shí)間縮短到原時(shí)間的這是具體地反映:距離固定,時(shí)間與速度成反比.用原速行駛需要同樣道理,車速提高25,所用時(shí)間縮短到原來(lái)的換一句話說(shuō),縮短了1/5,現(xiàn)在要充分利用這個(gè)1/5如果一開(kāi)始就加速25,可少時(shí)間現(xiàn)在只少了40分鐘, 72-4032(分鐘).說(shuō)明有一段路程未加速而沒(méi)有少這個(gè)32分鐘,它應(yīng)是這段路程所用時(shí)間的1/5,因此這段路所用時(shí)間是:真巧,320-160160(分鐘),原速的行程與加速的行程所用時(shí)間一樣.因此全程長(zhǎng)答:甲、乙兩地相距270千米.十分有意思,按原速行駛120千米,這

46、一條件只在最后用上.事實(shí)上,其他條件已完全確定了“原速”與“加速”兩段行程的時(shí)間的比例關(guān)系,當(dāng)然也確定了距離的比例關(guān)系.全程長(zhǎng)還可以用下面比例式求出,設(shè)全程長(zhǎng)為x,就有x1207232.行程問(wèn)題(一)(基礎(chǔ)篇)行程問(wèn)題的基礎(chǔ)知識(shí)以及重要知識(shí)點(diǎn)提到行程問(wèn)題就不得不說(shuō)3個(gè)行程問(wèn)題中一定會(huì)用到的數(shù)s,t,v s 路程 t 時(shí)間 v 速度這3個(gè)數(shù)之間的關(guān)系就是:路程=速度X時(shí)間 s= vt同時(shí)可以得出另外兩個(gè)關(guān)系:速度=路程時(shí)間 v= s/t時(shí)間=路程速度 t= s/v我們來(lái)看幾個(gè)例子:例1,一個(gè)人以5米/秒的速度跑了20秒,那么他跑了多遠(yuǎn)?5米/秒是這個(gè)人的速度 v, 20秒是他一共跑的時(shí)間 t,

47、求他跑的距離也就是路程 s, 我們就可以直接利用這3個(gè)數(shù)量的關(guān)系 s=vt來(lái)計(jì)算出路程:s=vt=5x20=100(米)。例2 ,從A地到B地的直線距離是100米,有一個(gè)人從A地到B地去,每秒走2米,那么他需要多久可以到達(dá)B地?首先100米是路程 s, 每秒走2米就是速度 v (2米/秒) , 要求的就是需要用的時(shí)間 t所以我們就可以利用 t=s/v來(lái)計(jì)算出時(shí)間:t=s/v=1002=50(秒)例3,小明從家上學(xué)的路程是500米,他只用了10分鐘就走到了學(xué)校,那么他走路的速度是多少?這道題目里給出的500米是上學(xué)的路程 s ,10分鐘是上學(xué)去需要的時(shí)間 t, 求的是走這段路的速度 v,我們就可

48、以利用這3個(gè)數(shù)量的關(guān)系v=s/t得出:v=s/t=50010=50(米/分) 以上是學(xué)習(xí)行程問(wèn)題必須要懂的基本知識(shí)。在上面的內(nèi)容中所提到的行程問(wèn)題都是速度不變的情況,那么如果在走的過(guò)程中速度發(fā)生了改變,那么我們就不能再用 s=vt來(lái)解決了。變速的過(guò)程中一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)就是 平均速度 平均速度=總路程總時(shí)間平均速度的計(jì)算方法和平均數(shù)不同,我們不可以將各個(gè)不同的速度加在一起取平均值。 例4,某貨車往返于相距60千米的AB兩地之間,從A地到B地時(shí)速度是6千米/小時(shí),從B地返回時(shí),速度是12千米/小時(shí),那么貨車往返的平均速度是多少?首先我們先算出往返的總路程就是60X2=120(千米)然后算出往返的總

49、時(shí)間,去時(shí)的是是606=10(小時(shí)),回來(lái)的時(shí)間是6012=5(小時(shí)),那么總共用時(shí)是10+5=15(小時(shí))這時(shí)再計(jì)算平均速度=總路程總時(shí)間=12015=8(千米/小時(shí)) 【將兩個(gè)速度加起來(lái)求平均(6+12)2=9(千米/小時(shí))是錯(cuò)誤的。】在上一道題目中,如果將AB兩地之間的距離改成120千米,那么平均速度變成了多少呢?我們來(lái)實(shí)際操作一下:總路程=120X2=240(千米)總時(shí)間=1206+12012=20+10=30(小時(shí))所以平均速度=總路程總時(shí)間=24030=8(千米/小時(shí))我們發(fā)現(xiàn),在這個(gè)過(guò)程中路程變成了2倍,但是平均速度沒(méi)有變化,同學(xué)們?cè)囅聦⒖偮烦谈某善渌麛?shù)字,再計(jì)算一次平均速度。結(jié)

50、論:往返運(yùn)動(dòng)中,平均速度不受總路程影響,之跟往返的速度有關(guān)。于是這道題目可以改成: 例5,某貨車往返于AB兩地之間,從A地到B地時(shí)速度是6千米/小時(shí),從B地返回時(shí),速度是12千米/小時(shí),那么貨車往返的平均速度是多少? 題目中并沒(méi)有給我們AB之間的路程,并且我們又知道AB之間的距離不影響往返的平均速度的計(jì)算,所以我們可以選擇自己設(shè)一個(gè)距離。比如我們?cè)O(shè)AB之間的距離是60千米,那么計(jì)算的時(shí)候就跟例4一樣,得到平均速度是8千米/小時(shí)。我們還可以不設(shè)一個(gè)具體的數(shù),設(shè)AB之間的路程是“1”。 解:設(shè)AB之間的路程是“1”。 則貨車往返的總路程就是1X2=2 往返的總時(shí)間是16+112=1/4 于是往返的

51、平均速度就是21/4=8(千米/小時(shí)) 答:火車往返于AB之間的平均速度是8千米/小時(shí)。 小結(jié):行程問(wèn)題的基礎(chǔ),重點(diǎn)是懂得行程問(wèn)題中三個(gè)量的關(guān)系、以及理解平均速度的概念。行程問(wèn)題(二)(知識(shí)篇)本貼主要針對(duì)行程問(wèn)題中最常用的相遇與追及問(wèn)題進(jìn)行講解相遇問(wèn)題 學(xué)了一個(gè)人的行程問(wèn)題之后我們就可以開(kāi)始說(shuō)一下兩個(gè)人的相遇問(wèn)題.(當(dāng)然也包括兩輛車,飛機(jī)之類),第一種形式就是相遇問(wèn)題,相遇問(wèn)題的主要公式就是: 路程=時(shí)間X速度和 - s= t (v1+v2)例1,甲乙二人分別從AB兩地相向而行,甲的速度是5米/秒,乙的速度是4米/秒,經(jīng)過(guò)20秒后兩人相遇,那么AB兩地的距離是多少? 解:這是相遇問(wèn)題中最簡(jiǎn)單

52、的例子,首先我們先分別考慮甲乙二人,甲的速度是5米/秒,他走了20秒,所以他走的距離是5X20=100米.乙的速度是4米/秒,他走了20秒所以一共走了4X20=80米. 兩人從AB兩地相遇,所以他們一共走的路程就是AB,所以AB之間的路程就是100+80=180米. 我們還可以使用相遇問(wèn)題的公式直接來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題: s=t (v1+v2)=20X(5+4)=180 (米) 這個(gè)公式的意義就是,將相遇過(guò)程中的兩人速度看做一個(gè)整體,因?yàn)樗麄兯叩臅r(shí)間是相同的,所以總的相遇過(guò)程里可以把兩個(gè)人的速度和當(dāng)成一個(gè)速度來(lái)利用s=vt計(jì)算. 這個(gè)公式還有幾個(gè)變形: t=s/(v1+v2) v1+v2=s/t

53、(在這個(gè)公式中,當(dāng)我們知道其中一人的速度就可以算出另一人的速度)例2,甲乙二人分別從相距180米的AB兩地相向而行,甲的速度是5米/秒,乙的速度是4米/秒,過(guò)了多久兩人相遇? 這道題目中給了兩人的速度,還有路程,要求時(shí)間,我們可以利用第2條公式計(jì)算出時(shí)間: t=s/(v1+v2)=180(4+5)=20(秒)例3,甲乙二人分別從相距180米的AB兩地相向而行,經(jīng)過(guò)20秒后兩人相遇,甲的速度是5米/秒,那么乙的速度是多少? 題目中給了路程和時(shí)間,因此我們可以計(jì)算出速度和: v1+v2=s/t=18020=9米/秒 然后利用速度和減去其中一個(gè)人的速度求出另一人的速度: 9-5=4米/秒注意:相遇問(wèn)

54、題不單是兩個(gè)人相向行走最后相遇的問(wèn)題,只要兩人的前進(jìn)方向是相反的,都叫做相遇問(wèn)題.例4,甲乙兩人同時(shí)從某地出發(fā),甲以每秒5米的速度向東走,乙用每秒4米的速度向西走,那么20秒之后兩人相距多遠(yuǎn)?這道題目中兩人并沒(méi)有相遇的過(guò)程,但是他們的行進(jìn)方向是相反的,因此這個(gè)問(wèn)題也屬于相遇問(wèn)題,依然適用公式: s=t (v1+v2)=20X(5+4)=180 (米)例5,甲乙二人在距離200米的AB兩地,向?qū)Ψ剿诘牡胤阶呷?,甲的速度?米/秒,乙的速度是4米/秒,那么10秒后兩人的距離是多遠(yuǎn)? 下載 (5.62 KB)2009-10-20 11:57題目中給了我們時(shí)間和兩個(gè)人的速度,因此我們可以求出兩人在1

55、0秒內(nèi)一共走了多遠(yuǎn): s=t (v1+v2)=10X(5+4)=90 (米) 兩人原本距離是200米,經(jīng)過(guò)10秒后縮短了90米,所以這時(shí)兩人的距離是200-90=110(米)-追及問(wèn)題 追及問(wèn)題就是兩人同向而行,一個(gè)人從后面追上另一人的過(guò)程,它的公式是: 路程=時(shí)間X速度差-s=t(v1-v2) 變形公式: t=s/(v1-v2); v1-v2=s/t (在這個(gè)公式中,當(dāng)我們知道其中一人的速度就可以算出另一人的速度) 實(shí)際上在相遇問(wèn)題與追及問(wèn)題中,唯一的區(qū)別就是兩人的速度不再是求和而是求差,兩人的行進(jìn)方向不再是相向,而是同向。例6,甲乙二人沿著一條公路跑步,甲以5米/秒的速度追趕前方30米處以

56、2米/秒的速度跑步的乙,他需要多少時(shí)間可以追上乙? 解:這道題給了我們兩人的距離,和速度,這樣我們可以求出總路程和速度差,所以時(shí)間就是 t=s/(v1-v2)= 30(5-2)=10(秒)注意:只要兩個(gè)人的行進(jìn)方向是相同的,都是追及問(wèn)題。例7,甲乙兩人同時(shí)同向從同地出發(fā),甲的速度是5米/秒,乙的速度是2米/秒,那么過(guò)了10秒后,兩人的距離是多少?這道題中并沒(méi)有一個(gè)人追上另一個(gè)人的過(guò)程,但是兩人的前進(jìn)方向相同,因此也屬于追及問(wèn)題,依然可以使用公式: s=t(v1-v2)=10X(5-2)=30(米) 小結(jié):行程問(wèn)題中的相遇與追及,重點(diǎn)是理解“反向=相遇”“同向=追及”這2個(gè)概念,以及相遇、追及問(wèn)

57、題的公式。更多的拓展知識(shí)將在下一講里繼續(xù)討論。行程問(wèn)題(三)(提高篇1)本貼主要針對(duì)行程問(wèn)題中錯(cuò)車問(wèn)題(火車過(guò)橋)問(wèn)題進(jìn)行講解錯(cuò)車問(wèn)題例1,兩列火車在兩條平行的鐵軌上相向行駛,它們的長(zhǎng)度分別是40米和50米,速度分別是3米/秒和6米/秒,那么兩車從車頭相遇到車尾離開(kāi)一共用了多久?看這道例題之前我們先要弄明白一件事,兩車從車頭相遇到車尾離(錯(cuò)車)到底是一個(gè)什么樣的過(guò)程。下載 (8.68 KB)2009-10-28 13:44如圖我們看到兩車長(zhǎng)度分別是l1 和 l2 他們車頭相遇的時(shí)候車頭之間的距離是0,當(dāng)他們車尾離開(kāi)的瞬間,他們的車頭之間的距離剛好是兩車的總長(zhǎng)度,因此在錯(cuò)車的過(guò)程中,兩車的車頭一

58、共拉開(kāi)了l1+l2的距離,根據(jù)上一講的知識(shí),這是一個(gè)相遇問(wèn)題,所以兩車走的路程和是l1 +l2。我們知道兩車一共走的路程,又知道分別的速度,那么時(shí)間就是(40+50)(3+6)=10(秒)從這里我們可以得出一個(gè)結(jié)論,兩車相向行駛時(shí)的錯(cuò)車問(wèn)題公式:兩車長(zhǎng)度和兩車速度和=錯(cuò)車時(shí)間- (l1+l2)(v1+v2)=t我們來(lái)解讀一下這個(gè)公式,它跟我們上一講的相遇問(wèn)題公式:路程速度和=時(shí)間(s(v1+vsub2/sub)=t),是完全一樣的,只不過(guò)這里的路程就是兩車的長(zhǎng)度和,因此求其他的量的過(guò)程也跟上一講一樣,這里不再重復(fù),只給出相應(yīng)公式:兩車長(zhǎng)度和=兩車速度和錯(cuò)車時(shí)間- (l1+l2)=(v1+v2)t兩車速度和=兩車長(zhǎng)度和錯(cuò)車時(shí)間- (v1+v2)=(l1+l2)t 例2、甲乙兩車在兩條平行鐵軌上相向行駛,他們的長(zhǎng)度分別是40米和50米,甲車的速度是3米/秒,兩車從車頭相遇到車尾離開(kāi)一共用了10秒,那么乙車的速度是多少?解:我們知道了兩車的長(zhǎng)度和是90米,時(shí)間是10秒,那么速度和就可以用公式:(v1+v2)=(l1+l2)t =(40+50)10=9(米/秒) 有了速度和,我們要求其中一個(gè)速度: 9-3=6(米/秒)

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