《2020屆高考數(shù)學一輪總復習 課時跟蹤練（五十五）直線與圓、圓與圓的位置關系 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020屆高考數(shù)學一輪總復習 課時跟蹤練（五十五）直線與圓、圓與圓的位置關系 理（含解析）新人教A版（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、課時跟蹤練(五十五)
A組 基礎鞏固
1．已知點M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關系是( )
A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定
解析：由題意知點M在圓外，則a2＋b2>1，圓心到直線的距離d＝<1，故直線與圓相交．
答案：B
2．已知圓x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直線x＋y＋2＝0所得弦的長度為4，則實數(shù)a的值是( )
A．－2 B．－4 C．－6 D．－8
解析：由x2＋y2＋2x－2y＋a＝0，
得(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，
所以圓心坐標為(－1，1)，半徑r＝，
圓心到直線x＋y
2、＋2＝0的距離為＝，
所以22＋()2＝2－a，解得a＝－4.
答案：B
3．(2019·深圳調(diào)研)在平面直角坐標系中，直線y＝x與圓O：x2＋y2＝1交于A，B兩點，α，β的始邊是x軸的非負半軸，終邊分別在射線OA和OB上，則tan(α＋β)的值為( )
A．－2 B．－ C．0 D．2
解析：由題可知tan α＝tan β＝，那么tan(α＋β)＝＝－2，故選A.
答案：A
4．(2019·湖北四地七校聯(lián)考)若圓O1：x2＋y2＝5與圓O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B兩點，且兩圓在點A處的切線互相垂直，則線段AB的長度是( )
A．3 B．4
3、 C．2 D．8
解析：連接O1A，O2A，由于⊙O1與⊙O2在點A處的切線互相垂直，因此O1A⊥O2A，所以|O1O2|2＝|O1A|2＋|O2A|2，即m2＝5＋20＝25，設AB交x軸于點C.
在Rt△O1AO2中，sin ∠AO2O1＝，所以在Rt△ACO2中，
AC＝AO2·sin ∠AO2O1＝2×＝2，
所以AB＝2AC＝4.故選B.
答案：B
5．(2018·全國卷Ⅲ)直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是( )
A．[2，6] B．[4，8]
C．[，3] D．[2，3
4、]
解析：設圓(x－2)2＋y2＝2的圓心為C，半徑為r，點P到直線x＋y＋2＝0的距離為d，則圓心C(2，0)，r＝，所以圓心C到直線x＋y＋2＝0的距離為2，可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝.由已知條件可得AB＝2，所以△ABP面積的最大值為AB·dmax＝6，△ABP面積的最小值為AB·dmin＝2.
綜上，△ABP面積的取值范圍是[2，6]．
故選A.
答案：A
6．已知圓C1：x2＋y2－6x－7＝0與圓C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B兩點，則線段AB的中垂線方程為____________________
____________．
解析：因為圓
5、C1的圓心C1(3，0)，圓C2的圓心C2(0，3)，
所以直線C1C2的方程為x＋y－3＝0，
AB的中垂線即直線C1C2，故其方程為x＋y－3＝0.
答案：x＋y－3＝0
7．從圓x2－2x＋y2－2y＋1＝0外一點P(3，2)向這個圓作兩條切線，則兩切線夾角的余弦值為________．
解析：由x2－2x＋y2－2y＋1＝0，得(x－1)2＋(y－1)2＝1，則圓心為C(1，1)，|PC|＝＝.
設兩切點分別為B，D，則|CD|＝1，所以sin ∠CPD＝，
則cos ∠DPB＝1－2 sin2∠CPD＝1－＝，即兩條切線夾角的余弦值為.
答案：
8．[一題多解](20
6、16·全國卷Ⅲ)已知直線l：x－y＋6＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點．則|CD|＝________．
解析：法一 由圓x2＋y2＝12知圓心O(0，0)，半徑r＝2.所以圓心(0，0)到直線x－y＋6＝0的距離d＝＝3，|AB|＝2 ＝2.過C作CE⊥BD于E.
如圖所示，則|CE|＝|AB|＝2.
因為直線l的方程為x－y＋6＝0，
所以kAB＝，則∠BPD＝30°，從而∠BDP＝60°.
所以|CD|＝＝＝＝4.
法二 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
得y2－3y＋6＝0，解得y1＝，y2＝2，
所以A(－3
7、，)，B(0，2)．
過A，B作l的垂線方程分別為
y－＝－(x＋3)，y－2＝－x，
令y＝0，得xC＝－2，xD＝2，
所以|CD|＝2－(－2)＝4.
答案：4
9．已知兩圓C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.
(1)求證：圓C1和圓C2相交；
(2)求圓C1和圓C2的公共弦所在直線的方程和公共弦長．
(1)證明：圓C1的圓心為C1(1，3)，半徑r1＝，圓C2的圓心為C2(5，6)，半徑r2＝4，兩圓圓心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝＋4，|r1－r2|＝4－，所以|r1－r2|＜d＜r1＋r2，所以圓C1和圓C2相
8、交．
(2)解：圓C1和圓C2的方程左、右兩邊分別相減，得4x＋3y－23＝0，
所以兩圓的公共弦所在直線的方程為4x＋3y－23＝0.
圓心C2(5，6)到直線4x＋3y－23＝0的距離為＝3，故公共弦長為2＝2.
10．已知點P(＋1，2－)，M(3，1)，圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求過點P的圓C的切線方程；
(2)求過點M的圓C的切線方程，并求出切線長．
解：由題意得圓心為C(1，2)，半徑r＝2.
(1)因為(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，
所以點P在圓C上．
又kPC＝＝－1，
所以切線的斜率k＝－＝1.
所以過點P的圓C的切線方程是y
9、－(2－)＝x－(＋1)，
即x－y＋1－2＝0.
(2)因為(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，
所以點M在圓C外部．
當過點M的直線的斜率不存在時，直線方程為x＝3，
即x－3＝0.
又點C(1，2)到直線x－3＝0的距離d＝3－1＝2＝r，
所以直線x－3＝0是圓的切線．
當切線的斜率存在時，設切線方程為y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0，
則圓心C到切線的距離d＝＝r＝2，
解得k＝.
所以切線方程為y－1＝(x－3)，
即3x－4y－5＝0.
綜上可得，過點M的圓C的切線方程為x－3＝0或3x－4y－5＝0.
因為|MC|＝＝，
所以過點
10、M的圓C的切線長為＝＝1.
B組 素養(yǎng)提升
11．(2019·廣州綜合測試〈二〉)已知k∈R，點P(a，b)是直線x＋y＝2k與圓x2＋y2＝k2－2k＋3的公共點，則ab的最大值為( )
A．15 B．9
C．1 D．－
解析：由題意得解得－3≤k≤1.
因為點P是直線與圓的公共點，
所以
即ab＝k2＋k－＝－，
所以當k＝－3時，ab取得最大值9，故選B.
答案：B
12．(2019·茂名模擬)若圓x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三個不同點到直線l：ax＋by＝0的距離為2，則直線l的斜率的取值范圍是( )
A．[2－，1] B．[2－，2
11、＋]
C. D．[0，＋∞)
解析：圓x2＋y2－4x－4y－10＝0可化為
(x－2)2＋(y－2)2＝18，
則圓心坐標為(2，2)，半徑為3.
由圓x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三個不同點的直線l：ax＋by＝0的距離為2可得，圓心到直線l：ax＋by＝0的距離d≤3－2＝，
即≤，
則a2＋b2＋4ab≤0.①
若a＝0，則b＝0，不符合題意，
故a≠0且b≠0，則①可化為
1＋＋≤0，
由于直線l的斜率k＝－，
所以1＋＋≤0可化為1＋－≤0，
解得k∈[2－，2＋]，故選B.
答案：B
13．[一題多解](2018·江蘇卷)在平面直角坐標
12、系xOy中，A為直線l：y＝2x上在第一象限內(nèi)的點，B(5，0)，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D.若·＝0，則點A的橫坐標為________．
解析：法一 設A(a，2a)，a>0，則C，
所以圓C的方程為＋(y－a)2＝＋a2，
由得
所以·＝(5－a，－2a)·＝＋2a2－4a＝0，所以a＝3或a＝－1，
又a>0，所以a＝3，所以點A的橫坐標為3.
法二 由題意易得∠BAD＝45°.
設直線DB的傾斜角為θ，
則tan θ＝－，
所以tan ∠ABO＝－tan(θ－45°)＝3，
所以kAB＝tan ∠ABO＝－3.
所以AB的方程為y＝－3(x－5)，
13、
由得xA＝3.
答案：3
14．已知直線l：4x＋3y＋10＝0，半徑為2的圓C與l相切，圓心C在x軸上且在直線l的右上方．
(1)求圓C的方程；
(2)過點M(1，0)的直線與圓C交于A，B兩點(A在x軸上方)，問在x軸正半軸上是否存在定點N，使得x軸平分∠ANB？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．
解：(1)設圓心C(a，0)，
則＝2，解得a＝0或a＝－5(舍)．
所以圓C的方程為x2＋y2＝4.
(2)當直線AB⊥x軸時，x軸平分∠ANB.
當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y＝k(x－1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
消去y得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
若x軸平分∠ANB，
則kAN＝－kBN，即＋＝0，
則＋＝0，
即2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0，
即－＋2t＝0，解得t＝4，
所以當點N坐標為(4，0)時，能使得x軸平分∠ANB.
7
2020屆高考數(shù)學一輪總復習 課時跟蹤練（五十五）直線與圓、圓與圓的位置關系 理（含解析）新人教A版
