《2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 小題專項(xiàng)訓(xùn)練8 理》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 小題專項(xiàng)訓(xùn)練8 理(7頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、小題專項(xiàng)訓(xùn)練8 立體幾何
一、選擇題
1.若直線a∥平面α,直線b∥直線a,點(diǎn)A∈b且A∈α,則b與α的位置關(guān)系是( )
A.b∩α=A B.b?α
C.b∥α D.b∥α或b?α
【答案】B
【解析】由a∥α,b∥a?b∥α或b?α.又b過α內(nèi)一點(diǎn),故b?α.
2.(2019年陜西模擬)已知平面α內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)M(1,-1,2),平面α的一個(gè)法向量是m=(2,-1,2),則下列點(diǎn)P中,在平面α內(nèi)的是( )
A.P(2,3,3) B.P(-2,0,1)
C.P(-4,4,0) D.P(3,-3,4)
【答案】A
【解析】記P(x,y,z),則=(x-1,y+
2、1,z-2),當(dāng)⊥α,即·m=2(x-1)-(y+1)+2(z-2)=0,即2x-y+2z=7時(shí),點(diǎn)P(x,y,z)在平面α內(nèi),驗(yàn)證知只有A滿足.故選A.
3.設(shè)平面α與平面β相交于直線m,直線a在平面α內(nèi),直線b在平面β內(nèi),且b⊥m,則“a⊥b”是“α⊥β ”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】由α⊥β,b⊥m,得b⊥α.又直線a在平面α內(nèi),所以a⊥b;但直線a,m不一定相交,所以“a⊥b”是“α⊥β ”的必要不充分條件.故選B.
4.(2019年江蘇宿遷期末)如圖,一個(gè)底面水平放置的倒圓錐形容器,它
3、的軸截面是正三角形,容器內(nèi)有一定量的水,水深為h.若在容器內(nèi)放入一個(gè)半徑為1的鐵球后,水面所在的平面恰好經(jīng)過鐵球的球心O(水沒有溢出),則h的值為( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】作OD⊥AC,垂足為D,則球的半徑r=OD=1,此時(shí)OA=2r=2,倒圓錐的底面半徑OC=2tan 30°=.放入小球之前,水深為h.,則底面半徑為htan 30°=h.由題意得π2h=π2×2-×π×13,解得h=.故選D.
5.如圖,兩個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱分別有公共底面,且兩圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一球面上.若圓柱的側(cè)面積等于兩個(gè)圓錐的側(cè)面積之和,且該球的表面積為16
4、π,則圓柱的體積為( )
A.2π B.
C.6π D.8π
【答案】C
【解析】設(shè)球的半徑為R,則4πR2=16,解得R=2.設(shè)圓錐的高O1A=O2B=x,底面圓半徑O1C=O2D=y(tǒng),則圓錐的母線長AC=,圓柱的高為4-2x.由圓柱的側(cè)面積等于兩個(gè)圓錐的側(cè)面積之和,得2πy(4-2x)=2πy,則y2=3x2-16x+16.在Rt△OO1C中,可得(2-x)2+y2=4,解得(舍去)或所以圓柱的體積為V=πy2(4-2x)=6π.故選C.
6.(2018年廣東珠海一模)如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四邊形ABCD為梯形,AD∥BC,AA1=3,AB=
5、BC=CD=,∠BCD=120°,則直線A1B與B1C所成的角的余弦值為( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】以A為原點(diǎn),在平面ABCD中,過點(diǎn)A的AD的垂線為x軸,AD為y軸,AA1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A1(0,0,3),B,B1,C,=,=(0,,-3).設(shè)直線A1B與B1C所成的角為θ,則cos θ===.故選A.
7.已知ABCD為空間四邊形,AB=CD,AD=BC,AB≠AD,M,N分別是對角線AC與BD的中點(diǎn),則MN與( )
A.AC,BD之一垂直 B.AC,BD都垂直
C.AC,BD都不垂直 D.AC,BD不一定垂直
6、
【答案】B
【解析】∵AD=BC,AB=CD,BD=BD,∴△ABD≌△CDB.連接AN,CN,MN,則AN=CN.在等腰△ANC中,∵M(jìn)為AC的中點(diǎn),∴MN⊥AC.同理可得MN⊥BD.故選B.
8.(2018年福建福州模擬)已知直線a,b異面,給出以下命題:
①一定存在平行于a的平面α使b⊥α;
②一定存在平行于a的平面α使b∥α;
③一定存在平行于a的平面α使b?α;
④一定存在無數(shù)個(gè)平行于a的平面α與b交于一定點(diǎn).
則其中真命題的個(gè)數(shù)是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
【答案】C
【解析】對于①,若存在平面α,使得b⊥α,則有b⊥a,而直
7、線a,b未必垂直,∴①不正確;對于②,注意到過直線a,b外一點(diǎn)M分別引直線a,b的平行線a1,b1,顯然由直線a1,b1可確定平面α,此時(shí)平面α與直線a,b均平行,∴②正確;對于③,注意到過直線b上的一點(diǎn)B作直線a2與直線a平行,顯然由直線b與a2可確定平面α,此時(shí)平面α與直線a平行,且b?α,∴③正確;對于④,在直線b上取一定點(diǎn)N,過點(diǎn)N作直線c與直線a平行,經(jīng)過直線c的平面(除由直線a與c所確定的平面及直線c與b所確定的平面之外)均與直線a平行,且與直線b相交于一定點(diǎn)N,∴④正確.綜上,②③④正確.故選C.
9.已知三棱錐S-ABC中,底面ABC為邊長等于2的等邊三角形,SA垂直于底面A
8、BC,SA=3,那么直線AB與平面SBC所成角的正弦值為( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】如圖,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,易知S(0,0,3),B(2,0,0),C(1,,0).設(shè)平面SBC的法向量為n=(x,y,z),
則
可取n=(3,,2).又=(2,0,0),所以當(dāng)θ為AB與平面SBC所成的角時(shí),sin θ=|cos〈,n〉|===.
10.(2019年江西模擬)如圖所示,在棱長為6的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是棱C1D1,B1C1的中點(diǎn),過A,E,F(xiàn)三點(diǎn)作該正方體的截面,則截面的周長為( )
A.18+
9、3
B.6+3
C.6+9
D.10+3+4
【答案】B
【解析】在平面A1B1C1D1中,雙向延長EF,分別與A1D1,A1B1的延長線交于點(diǎn)P,Q,連接AP交DD1于點(diǎn)M,連接AQ交BB1于點(diǎn)N,則過A,E,F(xiàn)三點(diǎn)該正方體的截面為五邊形AMEFN.易得D1P=B1Q=AD=2,則DM=BN=4,D1M=B1N=2,所以AM=AN==2,ME=NF==,EF==3.所以截面的周長為6+3.故選B.
11.已知球O1和球O2的半徑分別為1和2,且球心距為.若兩球體的表面相交得到一個(gè)圓,則該圓的面積為( )
A.2π B.π
C. D.
【答案】C
【解析】作出
10、兩球面相交的一個(gè)截面圖如圖所示,AB為相交圓的直徑.由條件知O1A=1,O2A=2,O1O2=,∴△AO1O2為直角三角形.由三角形面積公式,得AC==,∴所求圓的面積為π·2=.
12.(2018年河北唐山模擬)設(shè)點(diǎn)A,B,C為球O的球面上三點(diǎn),O為球心,球O的表面積為100π,且△ABC是邊長為4的正三角形,則三棱錐O-ABC的體積為( )
A.12 B.24
C.24 D.12
【答案】D
【解析】∵球O的表面積為100π=4πr2,∴球O的半徑為5.如圖,取△ABC的中心H,連接OH,連接AH并延長交BC于點(diǎn)M,則AM==6,AH=AM=4,∴OH===3,∴三
11、棱錐O-ABC的體積為V=××(4)2×3=12.
二、填空題
13.設(shè)一正方體外接球的體積為V1,內(nèi)切球的體積為V2,則=________.
【答案】3
【解析】設(shè)正方體的邊長為1,則外接球半徑r1=,內(nèi)切球半徑r2=,所以==3.
14.已知平面α,β和直線m,給出條件:①m∥α;②m⊥α;③m?α;④α⊥β;⑤α∥β.當(dāng)滿足條件________時(shí),有
m∥β.(填所選條件的序號)
【答案】③⑤
【解析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理得,當(dāng)m?α,α∥β時(shí),m∥β,故滿足條件③⑤時(shí),有m∥β.
15.(2018年遼寧沈陽三模)如圖,將一塊邊長為10 cm的正方形鐵片裁下四
12、個(gè)全等的等腰三角形(陰影部分)把余下的部分沿虛線折疊后圍成一個(gè)正四棱錐,若被裁下陰影部分的總面積為20 cm2,則正四棱錐的體積為________cm3.
【答案】
【解析】如圖,設(shè)所截等腰三角形的底邊邊長為x cm,由4××5×x=20,解得x=2.所得四棱錐的底面邊長為4,四棱錐的斜高EF==3,四棱錐的高為OE==,所以該容器的體積V=×(4)2×=.
16.(2018年甘肅天水一模)四棱錐P-ABCD的三視圖如圖,且四棱錐P-ABCD的五個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,E,F(xiàn)分別是棱AB,CD的中點(diǎn),直線EF被球面所截得的線段長為2,則該球的表面積為________.
【答案】12π
【解析】將三視圖還原為直觀圖如圖中四棱錐P-ABCD,可得四棱錐P-ABCD的五個(gè)頂點(diǎn)位于同一個(gè)正方體的頂點(diǎn)處,且與該正方體內(nèi)接于同一個(gè)球.設(shè)外接球的球心為O,則O也是正方體的中心,設(shè)EF的中點(diǎn)為G,連接OG,OA,AG.∵直線EF被球面所截得的線段長為2,即正方體面對角線長也是2,∴AG==a,得a=2.在Rt△OGA中,OG=a=1,AG=,則AO=,即外接球半徑R=,∴所求外接球的表面積為4πR2=12π.
- 7 -