《2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 每日一題 規(guī)范練(第四周)理》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 每日一題 規(guī)范練(第四周)理(8頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、每日一題 規(guī)范練(第四周)
[題目1] (2019·合肥質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=cos 2x+sin.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若α∈,f(α)=,求cos 2α.
解:(1)因為f(x)=cos 2x+sin 2x-cos 2x=sin 2x+cos 2x=sin.
所以函數(shù)f(x)的最小正周期T=π.
(2)由f(α)=可得sin=.
因為α∈,所以2α+∈.
又0<sin=<,所以2α+∈,
所以cos=-,
所以cos 2α=cos=cos+sin=×+×=.
[題目2] 若數(shù)列{an}的前n項和為Sn,首項a1>0且2Sn=a+an(n
2、∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若an>0,令bn=,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,若Tn<m恒成立,m∈Z,求m的最小值.
解:(1)當(dāng)n=1時,2S1=a+a1,則a1=1.
當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=-,
則(an+an-1)(an-an-1-1)=0?an=-an-1或an=an-1+1,
所以an=(-1)n-1或an=n.
(2)因為an>0,所以an=n.
所以bn===2.
則Tn=2[+++…+]=3-<3.
又m∈Z,所以mmin=3.
[題目3] 艾滋病是一種危害性極大的傳染病,由感染艾滋病病毒(HIV病毒)引起,它把
3、人體免疫系統(tǒng)中最重要的CD4T淋巴細(xì)胞作為主要攻擊目標(biāo),使人體喪失免疫功能.下表是近八年來我國艾滋病病毒感染人數(shù)統(tǒng)計表:
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
年份代碼x
1
2
3
4
5
6
7
8
感染者人數(shù)y/萬人
34.3
38.3
43.3
53.8
57.7
65.4
71.8
85
(1)請根據(jù)該統(tǒng)計表,畫出這八年我國艾滋病病毒感染人數(shù)的折線圖;
(2)請用相關(guān)系數(shù)說明:能用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系;
(3)建立y關(guān)于x的回歸方程(系數(shù)精確到0.01),預(yù)測202
4、0年我國艾滋病病毒感染人數(shù).
參考數(shù)據(jù):≈6.48;yi=449.6, x iyi=2319.5,
=46.2,
參考公式:相關(guān)系數(shù)r=.
回歸方程=x+中,=,=-
解:畫出的折線圖如圖所示.
(2)由統(tǒng)計表,=4.5, =56.2
所以≈296.3,
×46.2≈299.376,
所以r=≈0.99.
說明y與x的線性相關(guān)相當(dāng)高,從而可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.
(3)因為==≈7.05,
=-=56.2-7.05×4.5≈24.48,
所以=7.05x+24.48.
當(dāng)x=10時,=7.05×10+24.48=94.98.
所以預(yù)測2020年
5、我國艾滋病感染累積人數(shù)為94.98萬人.
[題目4] 已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P(x0,3)為拋物線C上一點(diǎn),且點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為4,過點(diǎn)A(a,0)作拋物線C的切線AN(斜率不為0),設(shè)切點(diǎn)為N.
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)證明:以FN為直徑的圓過點(diǎn)A.
(1)解:由題知,|PF|=y(tǒng)P+,
所以4=3+,解得p=2,
所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y.
(2)證明:設(shè)切線AN的方程為y=k(x-a),k≠0,
聯(lián)立消去y可得x2-4kx+4ka=0,
由題意得Δ=16k2-16ka=0,即a=k,
所以切點(diǎn)N(2a,a2).
6、
又F(0,1),A(a,0),
所以=(-a,1),=(a,a2).
因此·=(-a,1)·(a,a2)=0.
所以AF⊥AN,即∠FAN=90°,故以FN為直徑的圓過點(diǎn)A.
[題目5] 如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,D為AB的中點(diǎn),AB=2.AC=1,CC1=,∠ABC=30°.
(1)證明:AC1∥平面B1CD;
(2)求直線DC1與平面B1CD所成角的正弦值.
(1)證明:連接BC1交B1C于點(diǎn)E,連接DE,
因為四邊形BB1C1C是平行四邊形,
所以點(diǎn)E是BC1的中點(diǎn),
又點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),
所以DE是△ABC1的中位線,所以
7、DE∥AC1.
又DE?平面B1CD,AC1?平面B1CD,
所以AC1∥平面B1CD.
(2)解:由AB=2,AC=1,∠ABC=30°,可得AC⊥BC,
以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn),CA,CB,CC1為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz.
則C(0,0,0),B1(0,,),D,C1(0,0,),
所以=,=(0,,),
=,
設(shè)平面B1CD的法向量為n=(x,y,z),
則n·=0,n·=0,
即令z=1,得n=(,-1,1),
所以cos〈n,〉==,
所以直線DC1與平面B1CD所成角的正弦值為.
[題目6] 已知曲線f(x)=axln x
8、-2ax(a≠0)在點(diǎn)P(1,f(1))處的切線與直線x-y-1=0垂直.
(1)求函數(shù)f(x)的最小值;
(2)若1<m<2,證明:f(x)<x2-mx-ln x.
(1)解:由f(x)=axln x-2ax,且定義域為(0,+∞),
得f′(x)=a(ln x+1)-2a=aln x-a.
所以f′(1)=-a.
又曲線f(x)在點(diǎn)P(1,f(1))處的切線與直線x-y-1=0垂直,
所以-a×1=-1,則a=1.
則f(x)=xln x-2x,f′(x)=ln x-1.
令f′(x)=0?x=e.
則當(dāng)x∈(0,e)時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(e
9、,+∞)時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,
所以函數(shù)f(x)的最小值為f(e)=-e.
(2)證明:要證f(x)<x2-mx-ln x,
即證xln x-2x<x2-mx-ln x.
又因為x>0,
所以即證ln x-x<2-m-.
記F(x)=ln x-x,則F′(x)=-1,
所以當(dāng)x∈(0,1)時,F(xiàn)′(x)>0,F(xiàn)(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(1,+∞)時,F(xiàn)′(x)<0,F(xiàn)(x)單調(diào)遞減,
所以當(dāng)x=1時,F(xiàn)(x)有最大值F(1)=-1.
又記G(x)=2-m-,則G′(x)=-.
所以當(dāng)x∈(0,e)時,G′(x)<0,G(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(e,+∞)
10、時,G′(x)>0,G(x)單調(diào)遞增,
所以G(x)的最小值為G(e)=2-m-.
因為1<m<2,所以2-m->->-1,
所以G(x)min>F(x)max.
所以f(x)<x2-mx-ln x成立.
[題目7] 1.[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1:(θ為參數(shù)),在以O(shè)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:ρ(cos θ-sin θ)=4.
(1)寫出曲線C1和C2的普通方程;
(2)若曲線C1上有一動點(diǎn)M,曲線C2上有一動點(diǎn)N,求使|MN|最小時M點(diǎn)的坐標(biāo).
解:(1)由C1:消去θ,
得普通方程為+y2=1.
將
11、x=ρcos θ,y=ρsin θ代入曲線C2,
得直角坐標(biāo)方程x-y-4=0.
(2)在曲線C1上取點(diǎn)M(2cos θ,sin θ),
結(jié)合圖形可知:|MN|最小值即為點(diǎn)M到直線C2的距離的最小值.
因為M到直線C2的距離d==
,
所以當(dāng)sin(θ+φ)=1時,d最小,即|MN|最?。?
此時,2cos θ-sin θ=,聯(lián)立sin2θ+cos2θ=1.
得cos θ=,sin θ=-.
故所求M的坐標(biāo)為.
2.[選修4-5:不等式選講]
已知函數(shù)f(x)=|2x-m|.
(1)若不等式f(x)≤6的解集為{x|-2≤x≤4},求實數(shù)m的值;
(2)在(1)的條件下,若不等式f(x)+f ≤+對一切滿足a+b=2的正實數(shù)a,b恒成立,求x的取值范圍.
解:(1)由|2x-m|≤6,得-6≤2x-m≤6,
所以m-6≤2x≤6+m.
又不等式f(x)≤6的解集為{x|-2≤x≤4},
所以解之得m=2.
(2)m=2時,f(x)+f=|2x-2|+|x+4|=
又a+b=2,a>0,b>0,
所以+=(a+b)=5++≥9.
故f(x)+f ≤9,則-3≤x≤.
所以實數(shù)x的取值范圍為.
- 8 -