2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題5 數(shù)列 第3講 數(shù)列的綜合問題練習(xí) 理

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1、第3講 數(shù)列的綜合問題 專題復(fù)習(xí)檢測 A卷 1.等比數(shù)列{an}中,若a1=1,a10=2,則log2a1+log2a2+…+log2a10=(  ) A.2  B.4   C.5  D.10 【答案】C 【解析】∵{an}為等比數(shù)列,∴a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=2.∴l(xiāng)og2a1+log2a2+…+log2a10=log2(a1a2…a10)=log225=5.故選C. 2.(2018年四川成都模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=9,-=-4,則Sn取最大值時的n的值為(  ) A.2  B.3    C.4  D.5 【答案】D

2、 【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.∵=a1+d,∴是首項為a1,公差為的等差數(shù)列.∵a1=9,-=-4,∴-4=4×,解得d=-2.∴Sn=9n-×2=-n2+10n=-(n-5)2+25.∴當(dāng)n=5時,Sn取得最大值. 3.已知f(x)是定義在R上不恒為零的函數(shù),對于任意的x,y∈R,都有f(xy)=xf(y)+yf(x)成立.?dāng)?shù)列{an}滿足an=f(2n)(n∈N*),且a1=2,則數(shù)列{an}的通項公式an=(  ) A.(n-1)2n  B.(n-1)3n C.n·2n  D.n·3n 【答案】C 【解析】由題意知a1=f(2)=2,an+1=f(2n+1)=2f

3、(2n)+2nf(2)=2an+2n+1,則=+1,所以是首項為1,公差為1的等差數(shù)列.所以=n,則an=n·2n. 4.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n(λ-n)-6,若數(shù)列{an}單調(diào)遞減,則λ的取值范圍是(  ) A.(-∞,2)  B.(-∞,3) C.(-∞,4)  D.(-∞,5) 【答案】A 【解析】∵Sn=3n(λ-n)-6,∴Sn-1=3n-1(λ-n+1)-6,n>1.兩式相減,得an=3n-1(2λ-2n-1)(n>1,n∈N*)為單調(diào)遞減數(shù)列,∴an>an+1,且a1>a2.∴3n-1(2λ-2n-1)>3n(2λ-2n-3)且λ<2,化為λ<n+2(n>

4、1)且λ<2,∴λ<2,∴λ的取值范圍是(-∞,2).故選A. 5.某房地產(chǎn)開發(fā)公司用800萬元購得一塊土地,該土地可以建造每層1 000平方米的樓房,已知第一層每平方米的建筑費用為600元,樓房每升高一層,每平方米的建筑費用增加40元.若把樓房建成n層后,每平方米的平均綜合費用最低(綜合費用是建筑費用與購地費用之和),則n的值為(  ) A.19  B.20    C.21  D.22 【答案】B 【解析】易知每層的建筑費用構(gòu)成等差數(shù)列,設(shè)為{an},則n層的建筑總費用為Sn=600×103+(600+40)×103+…+[600+40(n-1)]×103=(2n2+58n)×10

5、4,所以每平方米的平均綜合費用為=10≥10=1 380元,當(dāng)且僅當(dāng)2n=,即n=20時等號成立. 6.在等比數(shù)列{an}中,an∈R,a3,a11是方程3x2-25x+27=0的兩根,則a7=________. 【答案】3  【解析】由題意,得∴a3>0,a11>0,且a=a3a11=9,∴a7=3. 7.(2018年江西南昌模擬)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.若a1a6a11=3,b1+b6+b11=7π,則tan的值是________. 【答案】- 【解析】由a1a6a11=3,得a=()3.由b1+b6+b11=7π,得3b6=7π.∴a6=,b6=

6、. ∴tan =tan =tan = tan=tan=-tan =-. 8.(2019年湖南長沙模擬)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和是Sn,若點An在函數(shù)f(x)=-x+c的圖象上運動,其中c是與x無關(guān)的常數(shù),且a1=3. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)記bn=aan,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn的最小值. 【解析】(1)由題意得=-n+c,即Sn=-n2+cn. 因為a1=3,所以c=4,故Sn=-n2+4n. 所以an=Sn-Sn-1=-2n+5(n≥2). 又a1=3滿足上式,所以an=-2n+5. (2)由(1)知bn=aan=-2an+5=-2(-2n+5)+

7、5=4n-5, 所以Tn==2n2-3n. 所以Tn的最小值是T1=-1. B卷 9.(2019年安徽合肥模擬)如圖所示是畢達(dá)哥拉斯樹(Pythagoras Tree)的生長程序:正方形上連接著等腰直角三角形,等腰直角三角形邊上再連接正方形,…,如此繼續(xù),若共得到1 023個正方形,設(shè)初始正方形的邊長為,則最小正方形的邊長為(  ) A.  B.   C.  D. 【答案】A 【解析】設(shè)1+2+4+…+2n-1=1 023,即=1 023,解得n=10.正方形邊長構(gòu)成數(shù)列,2,3,…,其中第10項為10=.故選A. 10.(2019年浙江湖州模擬)設(shè){an}是各項為正數(shù)的

8、無窮數(shù)列,Ai是邊長為ai,ai+1的矩形的面積(i=1,2,…),則{An}為等比數(shù)列的充要條件是(  ) A.{an}是等比數(shù)列 B.a(chǎn)1,a3,…,a2n-1,…或a2,a4,…,a2n,…是等比數(shù)列 C.a(chǎn)1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比數(shù)列 D.a(chǎn)1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比數(shù)列,且公比相同 【答案】D 【解析】∵Ai=aiai+1,若{An}為等比數(shù)列,則==為常數(shù),即=,=,…,∴a1,a3,a5,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…成等比數(shù)列,且公比相等.反之,若奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成等比數(shù)

9、列,且公比相等,設(shè)為q,則==q,從而{An}為等比數(shù)列. 11.設(shè)數(shù)列{an}滿足a2+a4=10,點Pn(n,an)對任意的n∈N*,都有向量PnPn+1=(1,2),則數(shù)列{an}的前n項和Sn=________. 【答案】n2 【解析】由題意,可知Pn+1(n+1,an+1),所以PnPn+1=(1,an+1-an)=(1,2).所以an+1-an=2.所以數(shù)列{an}是以2為公差的等差數(shù)列.又a2+a4=10,所以a1=1,an=2n-1,Sn=1+3+…+(2n-1)=n2. 12.(2019年天津模擬)設(shè)函數(shù)fn(x)=x-(3n-1)x2(其中n∈N*),區(qū)間In={x

10、|fn(x)>0}. (1)定義區(qū)間(α,β)的長度為β-α,求區(qū)間In的長度; (2)把區(qū)間In的長度記作數(shù)列{an},令bn=an·an+1, ①求數(shù)列{bn}的前n項和Tn; ②是否存在正整數(shù)m,n(1<m<n),使得T1,Tm,Tn成等比數(shù)列?若存在,求出所有的m,n的值;若不存在,請說明理由. 【解析】(1)由fn(x)>0,得x-(3n-1)x2>0, 解得0<x<,即In=. 所以區(qū)間的長度為-0=. (2)由(1)知an=. ①∵bn=an·an+1=, ∴Tn=b1+b2+…+bn = =. ②由①知T1=,Tm=,Tn=. 假設(shè)存在正整數(shù)m,n(1<m<n),使得T1,Tm,Tn成等比數(shù)列,則T=T1Tn,化簡得=. ∴(-3m2+6m+2)n=5m2.(*) 當(dāng)m=2時,(*)式可化為2n=20,∴n=10. 當(dāng)m≥3時,-3m2+6m+2=-3(m-1)2+5≤-7<0. 又∵5m2>0,∴(*)式可化為n=<0,此時n無正整數(shù)解. 綜上,存在正整數(shù)m=2,n=10滿足條件. - 5 -

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