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1、第3講 解析幾何的綜合問題
專題復習檢測
A卷
1.(2018年北京海淀區(qū)校級三模)若雙曲線C1:-=1(a>0,b>0)與C2:-=1的離心率分別為e1和e2,則下列說法正確的是( )
A.e=e
B.+=1
C.C1與C2的漸近線相同
D.C1與C2的圖象有8個公共點
【答案】A
【解析】由題意,e1=>1,e2=>1,顯然e=e.故選A.
2.(2019年河南焦作模擬)設P是橢圓+=1上一點,M,N分別是兩圓(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上的點,則|PM|+|PN|的最小值、最大值分別為( )
A.9,12 B.8,11
C.8,12
2、 D.10,12
【答案】C
【解析】如圖,由橢圓及圓的方程可知兩圓圓心分別為橢圓的兩個焦點,由橢圓定義知|PA|+|PB|=2a=10.連接PA,PB分別與圓相交于M,N兩點,此時|PM|+|PN|最小,最小值為|PA|+|PB|-2R=8;連接PA,PB并延長,分別與圓相交于M,N兩點,此時|PM|+|PN|最大,最大值為|PA|+|PB|+2R=12.故選C.
3.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)右支上非頂點的一點A關于原點O的對稱點為B,F(xiàn)為其右焦點,若AF⊥FB,設∠ABF=θ且θ∈,則雙曲線離心率的取值范圍是( )
A.(,2] B.(1,]
C.(,+∞)
3、 D.(2,+∞)
【答案】C
【解析】如圖所示,設雙曲線的左焦點為F′,連接AF′,BF′.∵AF⊥FB,∴四邊形AFBF′為矩形.因此|AB|=|FF′|=2c.則|AF|=2csin θ,|BF|=2ccos θ.∵|AF′|-|AF|=2a.∴2ccos θ-2csin θ=2a,即c(cos θ-sin θ)=a,則e===.∵θ∈,∴θ+∈,則cos∈,cos∈,則>=,即e>,故雙曲線離心率的取值范圍是(,+∞).故選C.
4.已知點A(-2,3)在拋物線C:y2=2px的準線上,過點A的直線與C在第一象限相切于點B,記C的焦點為F,則直線BF的斜率為( )
A.
4、 B.
C. D.
【答案】D
【解析】根據(jù)已知條件,得-=-2,所以p=4.從而拋物線的方程為y2=8x,其焦點為F(2,0).設切點B(x0,y0),由題意,在第一象限內y2=8x?y=2.由導數(shù)的幾何意義可知切線的斜率為kAB=y(tǒng)′=,而切線的斜率也可以為kAB=.又因為切點B(x0,y0)在曲線上,所以y=8x0.由上述條件解得即B(8,8).從而直線BF的斜率為=.故選D.
5.(2018年黑龍江綏化檢測)已知圓C1:x2+y2+4ax+4a2-4=0和圓C2:x2+y2-2by+b2-1=0只有一條公切線,若a,b∈R且ab≠0,則+的最小值為( )
A.2
5、B.4
C.8 D.9
【答案】D
【解析】圓C1的標準方程為(x+2a)2+y2=4,其圓心為(-2a,0),半徑為2;圓C2的標準方程為x2+(y-b)2=1,其圓心為(0,b),半徑為1.∵圓C1和圓C2只有一條公切線,∴圓C1與圓C2相內切,∴=2-1,得4a2+b2=1.∴+=(4a2+b2)=5++≥5+2=9,當且僅當=,且4a2+b2=1,即a2=,b2=時等號成立.∴+的最小值為9.
6.(2018年浙江紹興檢測)雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩條漸近線將平面劃分為“上、下、左、右”四個區(qū)域(不含邊界),若點(2,1)在“右”區(qū)域內,則雙曲線離心
6、率e的取值范圍是________.
【答案】
【解析】雙曲線-=1的漸近線方程為y=±x,且“右”區(qū)域是由不等式組所確定.又點(2,1)在“右”區(qū)域內,∴1<,即>.∴雙曲線的離心率e=∈.
7.已知實數(shù)x,y滿足方程(x-a+1)2+(y-1)2=1,當0≤y≤b(b∈R)時,由此方程可以確定一個偶函數(shù)y=f(x),則拋物線y=-x2的焦點F到點(a,b)的軌跡上點的距離最大值為________.
【答案】
【解析】由題意可得圓的方程一定關于y軸對稱,故由-a+1=0,求得a=1.由圓的幾何性質知,只有當y≤1時,才能保證此圓的方程確定的函數(shù)是一個偶函數(shù),故0<b≤1.由此知點(a
7、,b)的軌跡是一線段,其橫坐標是1,縱坐標屬于(0,1],又拋物線y=-x2,故其焦點坐標為,由此可以判斷出焦點F到點(a,b)的軌跡上點的距離最大值是=.
8.(2018年湖北襄陽模擬)已知直線l:x+y+m=0與雙曲線C:-=1(a>0,b>0)右支交于M,N兩點,點M在第一象限,若點Q滿足+=0(其中O為坐標原點),且∠MNQ=30°,則雙曲線C的漸近線方程為________.
【答案】y=±x
【解析】由題意可知M,Q關于原點對稱,設M(m,n),N(u,v),則Q(-m,-n),代入雙曲線方程,得-=1,-=1,兩式相減,得=,∴kMN·kQN=·==.∵kMN=-,kQN=t
8、an 150°=-,∴=1,即a=b.∴雙曲線C的漸近線方程為y=±x.
9.(2019年重慶期末)如圖,焦距為2的橢圓E的兩個頂點分別為A,B,且與n=(,-1)共線.
(1)求橢圓E的標準方程;
(2)若直線y=kx+m與橢圓E有兩個不同的交點P和Q,當k變化時,原點O總在以PQ為直徑的圓的內部,求實數(shù)m的取值范圍.
【解析】(1)因為2c=2,所以c=1.
又=(-a,b),且∥n,
所以b=a,所以2b2=b2+1,所以b2=1,a2=2.
所以橢圓E的標準方程為+y2=1.
(2)設P(x1,y1),Q(x2,y2),把y=kx+m代入+y2=1,
消去y,得(
9、2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0.
所以x1+x2=-,x1x2=,
Δ=16k2-8m2+8>0,即m2<2k2+1.(*)
因為原點O總在以PQ為直徑的圓的內部,
所以·<0,即x1x2+y1y2<0.
又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=,
由+<0,得m2
10、同的交點A,B,已知點Q(-2,0),QA,QB與y軸分別交于M(0,m),N(0,n)兩點,求證:m+n為定值.
【解析】(1)由題意知圓心M的軌跡是以(1,0)為焦點,x=-1為準線的拋物線,
∴圓心M的軌跡方程為y2=4x.
(2)證明:設A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB:x=ty+2,
與曲線C:y2=4x聯(lián)立,化簡得y2-4ty-8=0.
∴y1+y2=4t,y1y2=-8.
直線QA:y=(x+2),令x=0,得m=.
同理可得n=.
∴m+n=+==0.
∴m+n為定值.
B卷
11.(2019年浙江杭州模擬)F為橢圓+y2=1的右焦點,第一象限
11、內的點M在橢圓上,若MF⊥x軸,直線MN與圓x2+y2=1相切于第四象限內的點N,則|NF|等于( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵MF⊥x軸,F(xiàn)為橢圓+y2=1的右焦點,∴F(2,0),M.設lMN:y-=k(x-2),N(x,y),則O到lMN的距離d==1,解得k=或k=-(舍去).聯(lián)立解得即N,∴|NF|==.
12.(2018年云南昆明模擬)已知拋物線y2=8x,過點M(1,0)的直線交拋物線于A,B兩點,F(xiàn)為拋物線的焦點,若|AF|=6,O為坐標原點,則△OAB的面積是( )
A. B.3
C. D.5
【答案】C
【解析
12、】拋物線y2=8x的準線方程為x=-2,設A(x1,y1),B(x2,y2),過點A作準線的垂線AH,如圖.由拋物線的定義可知|AF|=|AH|=6,∴x1+2=6.∴x1=4,y1=4.設直線AB的方程為y=k(x-1)(k≠0),由得k2x2-(2k2+8)x+k2=0,∴x1x2=1,x2==.∴y2=-.∴△OAB的面積S△OAB=S△AOM+S△BOM=|y1|×1+|y2|×1=×(4+)=.
13.若F1,F(xiàn)2分別為雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點,以線段F1F2為直徑的圓交雙曲線的右支于點P,若∠PF1F2=α,則雙曲線離心率為__________.(結果用α表
13、示)
【答案】
【解析】依題意,知PF1⊥PF2,∴|PF1|=2c·cos α,|PF2|=2c·sin α.∴e===.
14.(2019年山東威海模擬)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,上頂點為B,Q為拋物線y2=12x的焦點,且·=0,2+=0.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)過定點P(0,2)的直線l與橢圓C交于M,N兩點(M在P,N之間),設直線l的斜率為k(k>0),在x軸上是否存在點A(m,0),使得以AM,AN為鄰邊的平行四邊形為菱形?若存在,求出實數(shù)m的取值范圍;若不存在,請說明理由.
【解析】(1)由已知Q(3,0),F(xiàn)1B
14、⊥QB,|QF1|=4c=3+c,所以c=1.
在Rt△F1BQ中,F(xiàn)2為線段F1Q的中點,故|BF2|=2c=2,所以a=2.
所以橢圓C的標準方程為+=1.
(2)設直線l的方程為y=kx+2(k>0),M(x1,y1),N(x2,y2),取MN的中點為E(x0,y0).
假設存在點A(m,0)使得以AM,AN為鄰邊的平行四邊形為菱形,則AE⊥MN.
由化簡,得(4k2+3)x2+16kx+4=0,Δ>0?k2>.
又k>0,所以k>.
因為x1+x2=-,
所以x0=-,y0=kx0+2=.
因為AE⊥MN,所以kAE=-,即=
-,整理得m=-=-.
因為k>時,4k+≥4,∈,
所以m∈.
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