離散數(shù)學(xué)第二版答案(1-5章).doc
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1、目錄第一章命題邏輯11.1第7頁11.2第15頁61.3第22頁131.4第27頁14第二章 謂詞邏輯222.2第43頁222.3第46頁31第三章 集合論343.1第50頁343.2 第59頁373.3第62頁433.4第66頁46第四章 二元關(guān)系494.1第69頁494.2第78頁534.3第86頁584.5第103頁67第五章 函數(shù)715.1第108頁715.2第111頁735.3第113頁74(1)任取xA,有76(c) 將A上的函數(shù)f滿足ff = IA,則任取xA,有775.4第116頁785.5第118頁795.6第121頁83第一章 命題邏輯1.1第7頁1. 給出下列命題的否定命
2、題: (1)大連的每條街道都臨海。否命題:不是大連的每條街道都臨海。(2)每一個素數(shù)都是奇數(shù)。否命題: 并非每一個素數(shù)都是奇數(shù)。2. 對下述命題用中文寫出語句:(1)如果非P與R,那么Q。(2)Q并且R。4. 給出命題,我們把、分別稱為命題的逆命題、反命題、逆反命題。(1)如果天不下雨,我將去公園。 解:逆命題:如果我去公園,則天不下雨; 反命題:如果天下雨,則我不去公園; 逆反命題:如果我不去公園,則天下雨了。(2)僅當(dāng)你去我才逗留。解:(此題注意:p僅當(dāng)q翻譯成) 逆命題:如果你去,那么我逗留。 反命題:如果我不逗留,那么你沒去。 逆反命題:如果你沒去,那么我不逗留。(3)如果n是大于2的
3、正整數(shù),那么方程無整數(shù)解。解:逆命題:如果方程無整數(shù)解,那么n是大于2的正整數(shù)。 反命題:如果n不是大于2的正整數(shù),那么方程有整數(shù)解。 逆反命題:如果方程有整數(shù)解,那么n不是大于2的正整數(shù)。7. 給P和Q指派真值T,給R和S指派真值F,求出下列命題的真值。(1)=(2)=(3)=(4)=8 構(gòu)成下列公式的真值表:(1)PQFFFTFTTFTFFTTTTT(2)PQRFFFTFFFFTTFFFTFTFFFTTFTFTFFFTFTFTFTFTTFFTFTTTFTF(3)PQRFFFTFFFFTTFFFTFFFTFTTFFTTFFFTTTFTFFTTTFTTTTTTTFF(4)PQRFFFTTFFT
4、FFFTFTTFTTFFTFFTTTFTFFTTFFTTTTFF9. 使用真值表證明:如果為,那么和都是,反之亦然。證明:PQFFTTTFTFTFTFFFTTTTTT由上表可知:當(dāng)為時,和都是;和為時,為。故命題得證。10. 使用真值表證明:對于和的所有值,與有同樣的真值。PQFFTTFTTTTFFFTTTT11. 一個有兩個運(yùn)算對象的邏輯運(yùn)算符,如果顛倒其運(yùn)算對象的次序,產(chǎn)生一邏輯等價命題,則稱此邏輯運(yùn)算符是可交換的。(1)確定所給出的邏輯運(yùn)算符哪些是可交換的:,。(2)用真值表證明你的判斷。解:(1),是可交換的。(2)真值表如下:PQFFFFFFTTTTFTFFTTTFFFTFFFTTF
5、TFFTTTTTTTTTT12.設(shè)是具有兩個運(yùn)算對象的邏輯運(yùn)算符,如果和邏輯等價,那么運(yùn)算符是可結(jié)合的。(1)確定邏輯運(yùn)算符,哪些是可結(jié)合的?(2)用真值表證明你的判斷。解:(1)是可結(jié)合的。 (2)真值表如下:PQRFFFFFFTFFTFTTTFTFFTFTFTTFTTFTFFFTTTTFTFTTFTTFFTFFTTTTTTTPQRFFFFFTTFFTFTTTFTFFTTTFTTFTTFTFFFTTTTFTFTTFTTFFTFFTTTTTTT13. 令表示命題“蘋果是添的”,表示命題“蘋果是紅的”,表示命題“我買蘋果”。試將下列命題符號化:(1)如果蘋果甜而紅,那么我買蘋果。(2)蘋果不是甜
6、的。(3)我沒買蘋果,因?yàn)樘O果不紅也不甜。解:(1)(2)(3)14解:如何我問你是你是不是總說謊的,你會說是嗎? 回答不是的都是說實(shí)話的,回答是的都是說謊的。1.2第15頁1. 指出下面命題公式哪些是重言式、永假式或可滿足式。解:(1)重言式(2)永假式(3)重言式(4)重言式 (5)重言式(6)重言式 = (7)重言式 =(8)重言式=(9)重言式 =(10)可滿足式=,當(dāng)為真時公式為真,為假時公式為假。故為可滿足式。(11)重言式(12)重言式 (13)可滿足式 的真值表如下:PQFFTTTFTTFFTFFFTTTTTT(14)可滿足式= 當(dāng)或有一個為真時公式為真;當(dāng)和均為假時,若和真值
7、相同時,公式為真;真值不同時,公式為假。故公式是可滿足式。2. 寫出與下面給出的公式等價并且僅含有聯(lián)接詞與的最簡公式。(1)(2)(3)(4)(5)3. 寫出與下面的公式等價并且僅含聯(lián)結(jié)詞和的最簡公式。(1)(2)(3)4. 使用常用恒等式證明下列各式,并給出下列各式的對偶式。(1)證明: 對偶式:(2)證明:對偶式:(3)證明:對偶式:5. 試證明下列合式公式是永真式。(1)證明:(2)證明:(3)證明:(4)證明:6. 證明下列蘊(yùn)含式。(1)證明:(2)證明:(3)證明:(4)證明:(5)證明:(6)證明:7. 對一個重言式使用代入規(guī)則后仍為一個重言式,對一個可滿足式和一個矛盾式,使用代入
8、規(guī)則后,結(jié)果如何?對重言式、可滿足式和矛盾式,使用替換規(guī)則后,結(jié)果如何?解:對于代入規(guī)則:(1)如果是可滿足式,使用代入規(guī)則后可能是重言式、可滿足式或矛盾式。如:可滿足式,將分別替換為,分別得到重言式和可滿足式,對于可滿足式,將替換為得到矛盾式。(2)如果是矛盾式,使用代入規(guī)則后仍然是矛盾式。設(shè)是矛盾式,則是重言式。而對于重言式使用代入規(guī)則后仍為重言式,即是重言式,故是矛盾式。對于替換規(guī)則:由于替換規(guī)則是一種對子公式邏輯上等價的替換,故對于重言式、可滿足式和矛盾式使用替換規(guī)則后其真值不變。8. 求出下列各式的代入實(shí)例。(1);用代,用代。解:(2);用代,用代解:9證明下列等價式:(1)證明:
9、 因此,得證。1.3第22頁1.求下列各式的主合取范式。(1)解: (2)(3)2.求下列公式的主析取范式和主合取范式:(1)合取范式:析取范式:(2)合取范式:析取范式:(3)合取范式:析取范式:(4)析取范式:合取范式:1.4第27頁1.試用真值表法證明:不是,和的有效結(jié)論。解:構(gòu)造真值表如下:A B C D E0 0 0 0 0111000 0 0 0 1110100 0 0 1 0111000 0 0 1 1110100 0 1 0 0110000 0 1 0 1111100 0 1 1 0100000 0 1 1 1101100 1 0 0 0001000 1 0 0 1000100
10、 1 0 1 0001000 1 0 1 1000100 1 1 0 0000000 1 1 0 1001100 1 1 1 0010000 1 1 1 1011101 0 0 0 0010101 0 0 0 1010111 0 0 1 0010101 0 0 1 1010111 0 1 0 0011101 0 1 0 1011111 0 1 1 0001101 0 1 1 1001111 1 0 0 0100101 1 0 0 1100111 1 0 1 0100101 1 0 1 1100111 1 1 0 0101101 1 1 0 1101111 1 1 1 0111101 1 1 1
11、 111111第6,31行前提取值均為1時,結(jié)論為0。故命題得證。2.,和是前提。在下列情況下,試確定結(jié)論C是否有效(可以使用真值表法證明。)(1)證明:真值表如下:P Q0 0110 1111 0001 111第1,2,4行當(dāng)前提取值為1時,結(jié)論都為1。故結(jié)論C是有效的。(2)證明:1(1)P規(guī)則1(2)T規(guī)則,(1),3(3)P規(guī)則1,3(4)T規(guī)則,(2),(3),5(5)P規(guī)則1,3,5(6)T規(guī)則,(4),(5),結(jié)論C是有效結(jié)論。(3)(4)證明:1(1)P規(guī)則(附加前提)2(2)P規(guī)則1,2(3)T規(guī)則,(1),(2),4(4)P規(guī)則1,2,4(5)T規(guī)則,(3),(4),1,2
12、,4(6)規(guī)則,(1),(5)3.不構(gòu)成真值表證明:不是、和的有效結(jié)論。證明:(1) P規(guī)則 (2) P規(guī)則 (3) T規(guī)則,(1)(2) (4) P規(guī)則 (5) T規(guī)則,(1)(4) (6) T規(guī)則(5) (7) T規(guī)則(3) (8) T規(guī)則(6)(7) (9) T規(guī)則(8)因此,是題目的有效結(jié)論,不是。4.使用推理的方法證明:是和的有效結(jié)論。證明:1(1)P規(guī)則1(2)T規(guī)則,(1),1(3)T規(guī)則,(2),1(4)T規(guī)則,(3),1(5)T規(guī)則,(1),1(6)T規(guī)則,(5),1(7)T規(guī)則,(6),1(8)T規(guī)則,(4),(7),9(9)P規(guī)則1,9(10)T規(guī)則,(8),(9),5.
13、不構(gòu)成真值表證明下列命題公式不能同時全為真。(1),證明:1(1)P規(guī)則2(2)P規(guī)則1,2(3)T規(guī)則,(1),(2),4(4)P規(guī)則1,2,4(5)T規(guī)則,(3),(4),6(6)P規(guī)則1,2,4,6(7)T規(guī)則,(5),(6),8(8)P規(guī)則(1,2,4,6,8)(9)T規(guī)則,(7),(8),推出結(jié)論與前提矛盾,因此命題公式不能同時為真。(2),證明:1(1)P規(guī)則2(2)P規(guī)則1,2(3)T規(guī)則,(1),(2),4(4)P規(guī)則1,2,4(5)T規(guī)則,(3),(4),推出的結(jié)論與命題公式矛盾,因此命題公式不能同時為真。6. ,和是前提,根據(jù)推理規(guī)則斷定,在下列情況下是否是有效結(jié)論。(1)
14、 證明:1(1)P規(guī)則(假設(shè)前提)2(2)P規(guī)則1,2(3)T規(guī)則,(1),(2),4(4)P規(guī)則1,2,4(5)T規(guī)則,(3),(4),6(6)P規(guī)則1,2,4,6(7)T規(guī)則,(5),(6),1,2,4,6(8)T規(guī)則,(1),(7),1,2,4,6(9)F規(guī)則,(1),(8)因此是有效結(jié)論。(2)證明:因?yàn)?,再由前提,得到、的值任意,即、的值任意。因此不是有效結(jié)論。7.證明下列結(jié)論的有效性。(1),證明:(1)P規(guī)則(2)P規(guī)則(3)T規(guī)則,(1),(2),(4)P規(guī)則(5)T規(guī)則,(4),(6)T規(guī)則,(3),(5),(2),證明:(1) P規(guī)則 (2) P規(guī)則 (3) T規(guī)則(1)(
15、2) (4) P規(guī)則 (5) T規(guī)則(3)(4) (6) T規(guī)則(5)8.導(dǎo)出下列結(jié)論(如果需要,就是用規(guī)則)(1)證明: (1) P P規(guī)則(假設(shè)前提) (2) P規(guī)則 (3) Q T規(guī)則(1)(2) (4) P規(guī)則 (5) R T規(guī)則(3)(4) (6) P規(guī)則 (7) S T規(guī)則(5)(6) (8) CP規(guī)則(1)(7)(2)證明: (1) P P規(guī)則(假設(shè)前提) (2) P規(guī)則 (3) Q T規(guī)則(1)(2) (4) T規(guī)則(1)(3) (5) CP規(guī)則(1)(4)(3)證明: (1) P規(guī)則(假設(shè)前提) (2) P T規(guī)則(1) (3) Q T規(guī)則(1) (4) T規(guī)則(2)(3)
16、(5) P規(guī)則 (6) R T規(guī)則(4)(5) (7) CP規(guī)則(1)(6)9.證明下列各式的有效性(如果需要,就使用間接證明法)。(1)證明: (1) P規(guī)則(假設(shè)前提) (2) P T規(guī)則(1) (3) P規(guī)則 (4) Q T規(guī)則(2)(3) (5) P規(guī)則 (6) T規(guī)則(4)(5) (7) P規(guī)則 (8) R T規(guī)則(6)(7) (9) P規(guī)則 (10) T規(guī)則(8)(9) (11) T規(guī)則(4)(10) (12) F規(guī)則(1)(11)(2)證明: (1) P規(guī)則(假設(shè)前提) (2) P T規(guī)則(1) (3) P規(guī)則 (4) Q T規(guī)則(2)(3) (5) P規(guī)則 (6) T規(guī)則(4)
17、(5) (7) P規(guī)則 (8) R T規(guī)則(6)(7) (9) P規(guī)則 (10) T規(guī)則(8)(9) (11) F規(guī)則(1)(10)(3)證明: (1) R P規(guī)則 (2) P規(guī)則 (3) T規(guī)則(1)(2) (4) T規(guī)則(1) (5) P規(guī)則 (6) T規(guī)則(4)(5) (7) T規(guī)則(6) (8) T規(guī)則(3)(7) (9) T規(guī)則(8)第二章 謂詞邏輯2.2第43頁2.證明下列各式。(1),證明:(1)P(2)US,(1)(3)P(4)US,(3)(5)T,(2),(4),(6)EG,(5)(2)證明: (1) P(假設(shè)前提) (2) T (3) T (4) T (5) T (6) T
18、 (7) P (8) T(5)(7) (9) ES(6) (10) US(8) (11) T(9)(10) (12) F(1)(11)(3),證明:(1)P(假設(shè)前提)(2)T,(1)(3)US,(2)(4)T,(3)(5)T,(3)(6)P(7)US,(6)(8)T,(5),(7)(9)P(10)US,(8)(11)T,(4),(10)(12)T,(8),(11)(4)證明: (1) P (2) US(1) (3) P (4) US(3) (5) T(2)(4) (6) P (7) US(6) (8) T(5)(7) (9) UG(8)3.用CP規(guī)則證明下列各式。(1)證明: (1) P(假
19、設(shè)前提) (2) US(1) (3) P (4) US(3) (5) T(2)(4) (6) UG(5) (7) CP(1)(6)(2)證明:由于 因此,原題等價于證明 (1) P(假設(shè)前提) (2) US(1) (3) P (4) US(3) (5) T(2)(4) (6) UG(5) (7) CP(1)(6)4.將下列命題符號化并推證其結(jié)論。(1)所有的有理數(shù)是實(shí)數(shù),某些有理數(shù)是整數(shù),因此某些實(shí)數(shù)是整數(shù)。解:首先定義如下謂詞:是有理數(shù)是實(shí)數(shù)是整數(shù)于是問題符號化為:推理如下: (1) P (2) ES(1) (3) P (4) US(3) (5) T(2) (6) T(2) (7) T(4)
20、(5) (8) T(6)(7) (9) EG(8)(2)任何人如果他喜歡步行,他就不喜歡乘汽車,每一個人或者喜歡乘汽車或者喜歡騎自行車,有的人不愛騎自行車,因而有的人不愛步行。解:首先定義如下謂詞:是人喜歡步行喜歡乘汽車x喜歡騎自行車于是問題符號化為:推理如下: (1) P (2) ES(1) (3) T(2) (4) T(2) (5) P (6) US(5) (7) T(3)(6) (8) T(4)(7) (9) P(10) US(9)(11) T(8)(10)(12) T(11)(13) T(3)(12)(14) T(3)(13)(15) EG(14)(3)每個科學(xué)工作者都是刻苦鉆研的,每
21、個刻苦鉆研而且聰明的科學(xué)工作者在他的事業(yè)中都將獲得成功。華為是科學(xué)工作者并且他是聰明的,所以,華為在他的事業(yè)中將獲得成功。解:首先定義如下謂詞:是科學(xué)工作者是刻苦鉆研的是聰明的在他的事業(yè)中將獲得成功定義個體a:華為于是命題符號化為:推理如下: (1) P (2) US(1) (3) P (4) T(3) (5) T(3) (6) T(2)(4) (7) P (8) US(7) (9) T(3)(6)(10) T(8)(9)(4)每位資深名士或是中科院院士或是國務(wù)院參事,所有的資深名士都是政協(xié)委員。張偉是資深名士,但他不是中科院院士。因此,有的政協(xié)委員是國務(wù)院參事。解:首先定義如下謂詞:是資深名
22、士是中科院院士是國務(wù)院參事是政協(xié)委員定義個體a:張偉于是命題符號化為:推理如下: (1) P (2) T(1) (3) T(1) (4) P (5) US(4) (6) T(2)(5) (7) P (8) US(7) (9) T(2)(8)(10) T(3)(9)(11) T(6)(10)(12) EG(11)(5)每一個自然數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù),自然數(shù)是偶數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它能被2整除。并不是所有的自然數(shù)都能被2所整除。因此,有的自然數(shù)是奇數(shù)。解:首先定義如下謂詞:是自然數(shù)是奇數(shù)是偶數(shù)能被2整除于是命題符號化為:推理如下: (1) P (2) T(1) (3) ES(2) (4) T(3) (5) T
23、(3) (6) P (7) US(6) (8) T(4)(7) (9) T(5)(8)(10) P(11) US(10)(12) T(4)(11)(13) T(9)(12)(14) T(4)(13)(15) EG(14)(6)如果一個人怕困難,那么他就不會獲得成功。每個人或者獲得成功或者失敗過。有些人未曾失敗過,所以,有些人不怕困難。解:首先定義如下謂詞:是人怕困難曾獲得成功曾獲得失敗于是命題符號化為:推理如下: (1) P (2) ES(1) (3) T(2) (4) T(2) (5) P (6) US(5) (7) T(3)(6) (8) T(4)(7) (9) P (10) US(9)
24、(11) T(8)(10) (12) T(11) (13) T(3)(12) (14) T(3)(13) (15) EG(14)6.試找出下列推導(dǎo)過程中的錯誤,并問結(jié)論是否有效?如果有效,寫出正確的推導(dǎo)過程。 解:錯誤,第2行的y是泛指,第4行的y是特制更改如下: (1) P (2) ES(1) (3) P (4) US(3) (5) T(2)(4) (6) EG(5)7.用構(gòu)成推導(dǎo)過程的方法證明下列蘊(yùn)含式。(1) 證明:(2)證明: (1) P (2) T(1) (3) T(2) (4) T(3) (5) T(4)2.3第46頁1.將下列公式化為前束范式。(1)解: (2)解:(3)解:2.
25、求等價于下面公式的前束主析取范式與前束主合取范式。(1)解:前束主析取范式:前束主合取范式:(2)解:前束析取范式由于是基本和,因此前束合取范式與前束析取范式一樣:(3)前束主析取范式:前束主合取范式與前束主析取范式相同。(4)解:前束析取范式:前束合取范式:3.將下列公式化為斯柯林范式。(1)(2)第三章 集合論3.1第50頁1.解:(1) 集合可表示為(2) 集合可表示為(3) 集合可表示為(4) 集合可表示為(5) 集合可表示為2.解:設(shè)戲劇、音樂、廣告分配的時間分別為(1) 可表示為(2) 可表示為(3) 可表示為(4) 可表示為3.給出集合、和的例子,使得,而。解:4.(1) 該命題
26、為假命題(2) 該命題為假命題(3) 該命題為真命題證明:任取,由于,所以必有。又,所以必有。即對于任意的,都有,所以如果且,則。(4) 該命題為假命題(5) 該命題為假命題。5.解:可能。若,則且。8.(1) 解:設(shè) 則(2)解:設(shè)則(3) 解:設(shè)則(4) 解:設(shè) 則(5)解:設(shè)則9.解: (1) ,(2) ,(3) ,10.證明:充分性: , 充分性得證。必要性: 必要性得證。11.(1)解:子集個數(shù)(2)解:元素的奇數(shù)的子集個數(shù)為(3)解:不會有102個元素的子集。12.解:把17化為二進(jìn)制,是00010001,;把31化為二進(jìn)制,是00011111,編碼為01000110,為,編碼為1
27、0000001,為3.2 第59頁1.解: 2. 解: 4.解: (1) (2) (3) (4) 5.證明:充分性:由于 所以,即 充分性得證。 必要性:由于 所以 所以 必要性得證。6.(1)證明: 上面是一種簡單的方法,還可以利用文字?jǐn)⑹?,任取x屬于,。證明。還有一種方法,就是利用第五章的特征函數(shù)證明,下面給出過程所以,從而可得,。(2)證明: (3)證明:因此,7.解: 8.(1) 證明: 證明BA。充分性:若,則若,那么必有。因此,若,則必有,即若xB,則有xA,即BA;必要性:若BA,則若xB,則有xA,即若,則必有。那么,若,那么必有,即;由以上兩點(diǎn)可知:BA。 證明:AB=B 充
28、分性:若,那么有或。 若,則由可知,必有,所以若,必有,即; 若,那么必有,即,所以AB=B,充分性得證; 必要性:因?yàn)锳B=B,所以,對于任意的,必有,所以,必要性得證; 由以上兩點(diǎn)可知:AB=B 證明:AB=A 充分性:若,那么必有,即;若,那么由可知,必有,所以,即,所以,AB=A; 必要性:因?yàn)锳B=A,所以對于任意的,必有,所以;由以上兩點(diǎn)可知,AB=A。由以上三點(diǎn)可知,BA AB=BAB=A。(2) 證明:AB 充分性:因?yàn)?,所以對于任意的,若,則必有,即xB,所以AB; 必要性:因?yàn)锳B,所以對于任意的,若,則必有xB,即,所以;由以上兩點(diǎn)可知:AB 證明:BA 充分性:因?yàn)?,?/p>
29、以對于任意的,若,則必有,即xA,所以BA; 必要性:因?yàn)锽A,所以對于任意的,若,則必有xA,即,所以;由以上兩點(diǎn)可知:BA.由上可知:ABBA.(3) 證明:AB=EAB充分性:因?yàn)?AB=E,所以若,則必有,即若xA,則必有,所以AB;必要性:因?yàn)锳A=E,又AB,必有AB=E;由以上兩點(diǎn)可知:AB=EAB 證明:AB=EBA充分性:因?yàn)?AB=E,所以若,則必有,即若xB,則必有,所以BA;必要性:因?yàn)锽B=E,又BA,必有AB=E;由以上兩點(diǎn)可知:AB=EBA.由上可知:AB=EABBA.。(4) 證明:A=BAB=充分性:由于A=B,所以AB=,BA= 所以AB=ABBA=必要性:
30、因?yàn)锳B=ABBA= 所以AB=且BA= 因?yàn)锳B=,所以AB 又BA=,所以BA 所以A=B。由上可知:A=BAB=。9.(1) 解:不一定。 若,此時有,但。(2) 解:不一定。 若,此時有,但。(3) 解:一定有。10.(1)解:由于,因此必有且。也就是并且。(2)解:由于,因此必有且。也就是并且。(3)解: 因此,意味著(4)解: 兩種可能,第一種,即B=C;第二種,或者因此,此題答案為。12.證明: 因此,。3.3第62頁1.解: 設(shè)A,B,C分別表示參加足球隊、籃球隊和棒球隊的隊員的集合即同時參加兩個對的隊員共有18個。2. 解:設(shè)A,B,C分別表示讀甲種、乙種、丙種雜志的學(xué)生的集
31、合。(1) 所以確定讀兩種雜志的學(xué)生的百分比為60%。(2) 所以不讀任何雜志的學(xué)生的百分比為30%。3. 解:設(shè)A,B,C分別表示騎木馬、坐滑行軌道和乘宇宙飛船的兒童集合。由公園的總收入知,因此,沒有坐過任何一種的兒童總數(shù)為答:一共10個兒童沒有坐過其中任何一種游樂設(shè)備。4.解:用A,B分別表示在第一次考試和第二次考試中得A的學(xué)生的集合。(1) 又 ,則所以有14個學(xué)生兩次考試都取得A。(2) 又,則所以有34個學(xué)生在兩次考試中都取得A。所以有6個學(xué)生僅在第一次考試中取得A。所以有6個學(xué)生僅在第二次考試中取得A。5.解:設(shè)A,B,C分別是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理、生物的大一學(xué)生集合。由題意可知,解方程
32、,得因此,一共有22人三門功課都學(xué)。3.4第66頁1.(1)解:(2)解(3)解:2.解:表示在在笛卡爾坐標(biāo)系中,且的矩形區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)集。3(1)證明:任取,有 由取值的任意性知,。(2)證明: 當(dāng)時,于是。當(dāng)時,任取,可知,由知,于是得到。所以,。5.證明: 必要性:若,; 同理,若,; 若,則顯然有; 必要性得證。 充分性性:由于 所以對于任意的,必有 即若則必有;若,則必有,所以當(dāng)時,; 充分性得證。6,(1)解:任取,有選擇A=1,B=2,C=a,D=b則因此該等式不成立。(2)解:任取,有選擇A=1,2,B=1,C=a,b,D=a因此,該等式不成立。(3)解:設(shè)A=1,2,B=2,C=
33、3,4,D=4則因此,該等式不成立。(4)解:取,有因此,該等式成立。(5)解:任取取,有因此,該等式成立。第四章 二元關(guān)系4.1第69頁1 給出下列關(guān)系R的所有序偶。(1)解:(2)解:2 設(shè)和都是從到的二元關(guān)系,并且求、。解:3 用L表示“小于或等于”,D表示“整除”,這里表示“x整除y”。L和D都定義于集合1,2,3,4,5,6上。試把L和D表示成集合,并求出。解:7,如果關(guān)系R和S都是自反的。證明:,也是自反的。證明:設(shè)R是集合A上的二元關(guān)系,S是集合B上的二元關(guān)系。因?yàn)镽和S都是自反的,所以對于都有,對于都有。(1)設(shè),那么或。若,有,那么必有。若,有,那么必有。因此,當(dāng)時,必有,所
34、以也是自反的。(2)設(shè),那么因此且,即。所以也是自反的。8,如果關(guān)系R和S都是自反的、對稱的、可傳遞的,證明:也是自反的、對稱的和可傳遞的。證明:設(shè)R是集合A上的二元關(guān)系,S是集合B上的二元關(guān)系。自反性的證明如題4。 對于任意的,若,那么且因?yàn)镽和S都是對稱的,所以且,所以。即對于任意的,若,則必有,所以是對稱的。 對于任意,若且,那么有。因?yàn)镽和S都是可傳遞的,所以有且,即。即對于任意,若且,都有。所以是可傳遞的。10,給定 集合和S中的關(guān)系,關(guān)系R有哪幾種性質(zhì)。解:R是不自反的,對稱的,不可傳遞的。不自反性:當(dāng)x=5時,;當(dāng)x是集合S中的其他數(shù)時, 因此,R不是自反的,也是反自反的。對稱性
35、:對于任意的,若有,那么,則必有即。即對于任意的,若有,則必有。所以R是對稱的。不可傳遞性:舉反例即可。由此可知,且,但是。所以R是不可傳遞的。11,給出滿足下列要求的二元關(guān)系的實(shí)例。(1) 既是自反的又是反自反的。(2) 既不是自反的又不是反自反的。(3) 既是對稱的又是反對稱的。(4) 既不是對稱的又不是反對稱的。解:(1)空集上的二元關(guān)系。 (2), ,R是集合A上的二元關(guān)系。(3)空集上的二元關(guān)系。(4),R是集合A上的二元關(guān)系。4.2第78頁1 給定集合,R是X中的關(guān)系,并可表示成試畫出R的關(guān)系圖,并寫出對應(yīng)的關(guān)系矩陣。解: 關(guān)系圖如下:2. 設(shè)集合,則集合X中有多少個二元關(guān)系。解:有個二元關(guān)系。3.設(shè)X是具有n個元素的有窮集合,證明:X中有個二元關(guān)系。證明:集合X中的每個二元關(guān)系都是的子集,有個元素,有個元素,有 個元素,每一個元素都是的一個子集,也是一種二元關(guān)系,因而,在中有個不同的二元關(guān)系。4給定集合。圖4-6給出了X中的關(guān)系R的12個關(guān)系圖。對于每個關(guān)系圖,寫出相應(yīng)的關(guān)系矩陣,并證明被表達(dá)的關(guān)系是否是自反的或反自反的;是否是對稱的或反對稱
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