2020版高考數學一輪復習 課后限時集訓12 函數模型及其應用 理（含解析）新人教A版

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1、課后限時集訓(十二)　函數模型及其應用 (建議用時：60分鐘) A組　基礎達標 一、選擇題 1．某新產品投放市場后第一個月銷售100臺，第二個月銷售200臺，第三個月銷售400臺，第四個月銷售790臺，則下列函數模型中能較好地反映銷量y與投放市場的月數x之間關系的是(　　) A．y＝100x　　 B．y＝50x2－50x＋100 C．y＝50×2x D．y＝100log2 x＋100 C　[根據函數模型的增長差異和題目中的數據可知，應為指數函數模型．故選C.] 2．某市生產總值連續(xù)兩年持續(xù)增加．第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，則該市這兩年生產總值的年平均增長率為(　

2、　) A. B. C. D.－1 D　[設年平均增長率為x，原生產總值為a，則a(1＋p)(1＋q)＝a(1＋x)2，解得x＝－1，故選D.] 3．(2017·北京高考)根據有關資料，圍棋狀態(tài)空間復雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中普通物質的原子總數N約為1080.則下列各數中與最接近的是(參考數據：lg 3≈0.48)(　　) A．1033 B．1053 C．1073 D．1093 D　[由題意，lg ＝lg ＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28. 又lg 1033＝33，lg 1053

3、＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93， 故與最接近的是1093. 故選D.] 4．血藥濃度(Plasma Concentration)是指藥物吸收后在血漿內的總濃度．藥物在人體內發(fā)揮治療作用時，該藥物的血藥濃度應介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間．已知成人單次服用1單位某藥物后，體內血藥濃度及相關信息如圖所示． 根據圖中提供的信息，下列關于成人使用該藥物的說法中不正確的是(　　) A．首次服用該藥物1單位約10分鐘后，藥物發(fā)揮治療作用 B．每次服用該藥物1單位，兩次服藥間隔小于2小時，一定會產生藥物中毒 C．每間隔5.5小時服用該藥物1單位，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療

4、作用 D．首次服用該藥物1單位3小時后，再次服用該藥物1單位，不會發(fā)生藥物中毒 D　[結合圖象易知A，B，C均正確，D選項中的描述會中毒，故選D.] 5．某市家庭煤氣的使用量x(m3)和煤氣費f(x)(元)滿足關系f(x)＝已知某家庭2018年前三個月的煤氣費如下表： 月份 用氣量 煤氣費 一月份 4 m3 4元 二月份 25 m3 14元 三月份 35 m3 19元 若四月份該家庭使用了20 m3的煤氣，則其煤氣費為(　　) A．11.5元 B．11元 C．10.5元 D．10元 A　[根據題意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)

5、＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝，C＝4，所以f(x)＝所以f(20)＝4＋(20－5)＝11.5，故選A.] 二、填空題 6．擬定甲、乙兩地通話m分鐘的電話費(單位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)給出，其中m＞0，[m]是不超過m的最大整數(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，則甲、乙兩地通話6.5分鐘的電話費為________元． 4．24　[∵m＝6.5， ∴[6.5]＝6， ∴f(6.5)＝1.06(0.5×6＋1)＝4.24.] 7.在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積最大的內接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x

6、為________m. 20　[設內接矩形另一邊長為y，則由相似三角形性質可得＝，解得y＝40－x，所以面積S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0＜x＜40)， 當x＝20時，Smax＝400.] 8．已知投資x萬元經銷甲商品所獲得的利潤為P＝；投資x萬元經銷乙商品所獲得的利潤為Q＝ (a＞0)． 若投資20萬元同時經銷這兩種商品或只經銷其中一種商品，使所獲得的利潤不少于5萬元，則a的最小值為________． 　[設投資乙商品x萬元(0≤x≤20)，則投資甲商品(20－x)萬元． 利潤分別為Q＝ (a＞0)，P＝， 因為P＋Q≥5,0≤x≤20時恒成立

7、， 則化簡得a≥，0≤x≤20時恒成立． (1)x＝0時，a為一切實數； (2)0＜x≤20時，分離參數a≥，0＜x≤20時恒成立， 所以a≥，a的最小值為.] 三、解答題 9．網店和實體店各有利弊，兩者的結合將在未來一段時期內，成為商業(yè)的一個主要發(fā)展方向．某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2018年1月起開展網絡銷售與實體店體驗安裝結合的銷售模式．根據幾個月運營發(fā)現，產品的月銷售x萬件與投入實體店體驗安裝的費用t萬元之間滿足x＝3－函數關系式．已知網店每月固定的各種費用支出為3萬元，產品每1萬件進貨價格為32萬元，若每件產品的售價定為“進貨價的150%”與“平均每件產品的實體店體驗安

8、裝費用的一半”之和，求該公司最大月利潤是多少萬元． [解]　由題知t＝－1，(1＜x＜3)， 所以月利潤：y＝x－32x－3－t＝16x－－3＝16x－＋－3＝45.5－≤45.5－2＝37.5， 當且僅當x＝時取等號，即月最大利潤為37.5萬元． 10．某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開發(fā)某種新能源產品，估計能獲得投資收益的范圍是[10,100](單位：萬元)．現準備制定一個對科研課題組的獎勵方案：資金y(單位：萬元)隨投資收益x(單位：萬元)的增加而增加且資金不超過5萬元，同時資金不超過投資收益的20%. (1)若建立函數模型y＝f(x)制定獎勵方案，請你根據題意，寫出獎勵函數模型應滿足的條

9、件； (2)現有兩個獎勵函數模型：(ⅰ)y＝x＋1； (ⅱ)y＝log2x－2.試分析這兩個函數模型是否符合公司要求． [解]　(1)設獎勵函數模型為y＝f(x)， 則該函數模型滿足的條件是： ①當x∈[10,100]時，f(x)是增函數； ②當x∈[10,100]時，f(x)≤5恒成立． ③當x∈[10,100]時，f(x)≤恒成立． (2)(a)對于函數模型(ⅰ)y＝x＋1， 它在[10,100]上是增函數，滿足條件①； 但當x＝80時，y＝5，因此，當x＞80時，y＞5，不滿足條件②； 故該函數模型不符合公司要求． (b)對于函數模型(ⅱ)y＝log2x－2，它在

10、[10,100]上是增函數，滿足條件①， x＝100時，ymax＝log2 100－2＝2log2 5＜5，即f(x)≤5恒成立．滿足條件②， 設h(x)＝log2x－2－x，則h′(x)＝－， 又x∈[10,100]，所以≤≤， 所以h′(x)＜－＜－＝0， 所以h(x)在[10,100]上是遞減的， 因此h(x)＜h(10)＝log210－4＜0， 即f(x)≤恒成立，滿足條件③， 故該函數模型符合公司要求． 綜上所述，函數模型(ⅱ)y＝log2x－2符合公司要求． B組　能力提升 1．(2019·武漢檢測)某汽車銷售公司在A，B兩地銷售同一種品牌的汽車，在A地的銷售

11、利潤(單位：萬元)為y1＝4.1x－0.1x2，在B地的銷售利潤(單位：萬元)為y2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)，若該公司在兩地共銷售16輛該種品牌的汽車，則能獲得的最大利潤是(　　) A．10.5萬元 B．11萬元 C．43萬元 D．43.025萬元 C　[設公司在A地銷售該品牌的汽車x輛，則在B地銷售該品牌的汽車(16－x)輛，所以可得利潤y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－2＋×＋32.因為x∈[0,16]且x∈N，所以當x＝10或11時，總利潤取得最大值43萬元．] 2．(2018·山西一模)如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，

12、|AB|＝，|BC|＝.若其頂點A在x軸上運動，頂點B在y軸的非負半軸上運動．設頂點C的橫坐標非負，縱坐標為y，且直線AB的傾斜角為θ，則函數y＝f(θ)的圖象大致是(　　) A　　 B C　　　　 D A　[當θ＝π時，y＝，排除B和C；當θ＝0時，y取得最小值－，排除D，故選A.] 3．某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年增加研發(fā)資金投入，若該公司2018年全年投入的研發(fā)資金為300萬元，在此基礎上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長10%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過600萬元的年份是________．(參考數據：lg 1.1＝0.041，lg 2＝0.

13、301) 2026　[設從2018年后，第x年該公司全年投入的研發(fā)資金為y萬元，則y＝300×(1＋10%)x，依題意得，300×(1＋10%)x＞600，即1.1x＞2，兩邊取對數可得x＞＝≈7.3，則x≥8，即該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過600萬元的年份是2026年．] 4．(2019·湖北八校聯(lián)考)已知某工廠每天固定成本是4萬元，每生產一件產品成本增加100元，工廠每件產品的出廠價定為a元時，生產x(x＞0)件產品的銷售收入是R(x)＝－x2＋500x(元)，P(x)為每天生產x件產品的平均利潤(平均利潤＝)．銷售商從工廠以每件a元進貨后，又以每件b元銷售，且b＝a＋λ(c－a)

14、，其中c為最高限價(a＜b＜c)，λ為銷售樂觀系數，據市場調查，λ由當b－a是c－b，c－a的比例中項時來確定． (1)每天生產量x為多少時，平均利潤P(x)取得最大值？并求P(x)的最大值； (2)求樂觀系數λ的值； (3)若c＝600，當廠家平均利潤最大時，求a與b的值． [解]　(1)依題意設總利潤為L(x)，則L(x)＝－x2＋500x－100x－40 000＝－x2＋400x－40 000(x＞0)， ∴P(x)＝＝－x－＋400≤－200＋400＝200，當且僅當x＝，即x＝400時等號成立． 故當每天生產量為400件時，平均利潤最大，最大值為200元． (2)由b＝a＋λ(c－a)，得λ＝. ∵b－a是c－b，c－a的比例中項， ∴(b－a)2＝(c－b)(c－a)， 兩邊同時除以(b－a)2，得1＝·＝， ∴1＝·，解得λ＝或λ＝(舍去)．故樂觀系數λ的值為. (3)∵廠家平均利潤最大，∴a＝＋100＋P(x)＝＋100＋200＝400. 由b＝a＋λ(c－a)，結合(2)可得b－a＝λ(c－a)＝100(－1)， ∴b＝100(＋3)． 故a與b的值分別為400,100(＋3)． - 6 -