《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時集訓(xùn)16 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合問題 理(含解析)新人教A版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時集訓(xùn)16 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合問題 理(含解析)新人教A版(7頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、課后限時集訓(xùn)(十六) 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合問題
(建議用時:60分鐘)
A組 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)
一、選擇題
1.若關(guān)于x的不等式x3-3x2-9x+2≥m對任意x∈[-2,2]恒成立,則m的取值范圍是( )
A.(-∞,7] B.(-∞,-20]
C.(-∞,0] D.[-12,7]
B [令f(x)=x3-3x2-9x+2,則f′(x)=3x2-6x-9,令f′(x)=0,得x=-1或3(舍去).
因為f(-1)=7,f(-2)=0,f(2)=-20.
所以f(x)的最小值為f(2)=-20,故m≤-20.]
2.設(shè)函數(shù)f(x)=x-ln x(x>0),則f(x)( )
2、
A.在區(qū)間,(1,e)上均有零點
B.在區(qū)間,(1,e)上均無零點
C.在區(qū)間上有零點,在區(qū)間(1,e)上無零點
D.在區(qū)間上無零點,在區(qū)間(1,e)上有零點
D [因為f′(x)=-,所以當(dāng)x∈(0,3)時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,而0<<1<e<3,又f=+1>0,f(1)=>0,f(e)=-1<0,所以f(x)在區(qū)間上無零點,在區(qū)間(1,e)上有零點.]
3.已知函數(shù)f(x)=xex,g(x)=-(x+1)2+a,若?x1,x2∈R,使得f(x2)≤g(x1)成立,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A. B.[-1,+∞)
C.[-e,+∞) D.
D [
3、f′(x)=ex+xex=(1+x)ex,當(dāng)x>-1時,f′(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)x<-1時,f′(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減.所以當(dāng)x=-1時,f(x)取得最小值,f(-1)=-.函數(shù)g(x)的最大值為a.若?x1,x2∈R,使得f(x2)≤g(x1)成立,則有g(shù)(x)的最大值大于或等于f(x)的最小值,即a≥-.故選D.]
4.若不等式2xln x≥-x2+ax-3對x∈(0,+∞)恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(-∞,0) B.(-∞,4]
C.(0,+∞) D.[4,+∞)
B [由題意知a≤2ln x+x+對x∈(0,+∞)恒成立,
令g(x)=2
4、ln x+x+,則g′(x)=+1-=,
由g′(x)=0得x=1或x=-3(舍),
且x∈(0,1)時,
g′(x)<0,x∈(1,+∞)時,g′(x)>0.
因此g(x)min=g(1)=4.
所以a≤4,故選B.]
5.(2018·衡陽一模)已知函數(shù)f(x)=aln x+x2,a∈R,若f(x)在[1,e2]上有且只有一個零點,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A. B.∪{-2e2}
C.∪{-2e} D.
C [當(dāng)x=1時,f(x)=1≠0,從而分離參數(shù)可將問題轉(zhuǎn)化為直線y=a與函數(shù)g(x)=-的圖象在(1,e2]上有且只有一個交點,令g′(x)==0,得x=,
5、易得g(x)在(1,)上單調(diào)遞增,在(,e2]上單調(diào)遞減,由于g()=-2e,g(e2)=-,當(dāng)x→1時,g(x)→-∞,所以直線y=-2e,或位于y=-下方的直線滿足題意,即a=-2e或a<-,故選C.]
二、填空題
6.(2019·鄭州調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=ax3-3x+1對x∈(0,1]總有f(x)≥0成立,則實數(shù)a的取值范圍是________.
[4,+∞) [當(dāng)x∈(0,1]時,不等式ax3-3x+1≥0可化為a≥,設(shè)g(x)=,x∈(0,1],
則g′(x)==-.
易知當(dāng)x=時,g(x)max=4,∴實數(shù)a的取值范圍是[4,+∞).]
7.已知函數(shù)f(x)=ax3-
6、3x2+1,若f(x)存在唯一的零點x0,且x0>0,則實數(shù)a的取值范圍是________.
(-∞,-2) [當(dāng)a=0時,f(x)=-3x2+1有兩個零點,不合題意,故a≠0,f′(x)=3ax2-6x=3x(ax-2),令f′(x)=0,得x1=0,x2=.
若a>0,由三次函數(shù)圖象知f(x)有負(fù)數(shù)零點,不合題意,故a<0.
由三次函數(shù)圖象及f(0)=1>0知,f>0,
即a×3-3×2+1>0,化簡得a2-4>0,
又a<0,所以a<-2.]
8.已知x∈(0,2),若關(guān)于x的不等式<恒成立,則實數(shù)k的取值范圍為________.
[0,e-1) [由題意,知k+2x-x2
7、>0.
即k>x2-2x對任意x∈(0,2)恒成立,從而k≥0,
因此由原不等式,得k<+x2-2x恒成立.
令f(x)=+x2-2x,則f′(x)=(x-1).
令f′(x)=0,得x=1,當(dāng)x∈(1,2)時,f′(x)>0,函數(shù)f(x)在(1,2)上單調(diào)遞增,當(dāng)x∈(0,1)時,f′(x)<0,函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,所以k<f(x)min=f(1)=e-1,故實數(shù)k的取值范圍為[0,e-1).]
三、解答題
9.已知f(x)=ln x-x+a+1.
(1)若存在x∈(0,+∞),使得f(x)≥0成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)求證:當(dāng)x>1時,在(1)的條件
8、下,x2+ax-a>xln x+成立.
[解] f(x)=ln x-x+a+1(x>0).
(1)原題即為存在x∈(0,+∞),使得ln x-x+a+1≥0,
所以a≥-ln x+x-1,令g(x)=-ln x+x-1,
則g′(x)=-+1=.
令g′(x)=0,解得x=1.
因為當(dāng)0<x<1時,g′(x)<0,所以g(x)為減函數(shù),
當(dāng)x>1時,g′(x)>0,所以g(x)為增函數(shù),
所以g(x)min=g(1)=0.所以a≥g(1)=0.
所以a的取值范圍為[0,+∞).
(2)證明:原不等式可化為x2+ax-xln x-a->0(x>1,a≥0).
令G(x)=x
9、2+ax-xln x-a-,則G(1)=0.
由(1)可知x-ln x-1>0,則G′(x)=x+a-ln x-1≥x-ln x-1>0,
所以G(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x>1時,G(x)>G(1)=0.
所以當(dāng)x>1時,x2+ax-xln x-a->0成立,
即當(dāng)x>1時,x2+ax-a>xln x+成立.
10.已知函數(shù)f(x)=+ln x,其中a∈R.
(1)給出a的一個取值,使得曲線y=f(x)存在斜率為0的切線,并說明理由;
(2)若f(x)存在極小值和極大值,證明:f(x)的極小值大于極大值.
[解] (1)∵f(x)=+ln x,
∴函數(shù)f(x)的
10、定義域為D={x|x>0且x≠2},
∴f′(x)=-+.
當(dāng)a=1時,曲線y=f(x)存在斜率為0的切線.證明如下:
曲線y=f(x)存在斜率為0的切線?方程f′(x)=0存在D上的解.
令-+=0,整理得x2-5x+4=0,
解得x=1或x=4.
所以當(dāng)a=1時,曲線y=f(x)存在斜率為0的切線.
(2)證明:由(1)得f′(x)=-+.
①當(dāng)a≤0時,f′(x)>0恒成立,
函數(shù)f(x)在(0,2)和(2,+∞)上單調(diào)遞增,無極值,不合題意.
②當(dāng)a>0時,令f′(x)=0,整理得x2-(a+4)x+4=0.
由Δ=[-(a+4)]2-16>0,
所以上述方程必
11、有兩個不相等的實數(shù)解x1,x2,不妨設(shè)x1<x2.
由得0<x1<2<x2.
當(dāng)x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下表:
x
(0,x1)
x1
(x1,2)
(2,x2)
x2
(x2,+∞)
f′(x)
+
0
-
-
0
+
f(x)
極大值
極小值
所以f(x)存在極大值f(x1),極小值f(x2).
f(x2)-f(x1)=-
=+(ln x2-ln x1).
因為0<x1<2<x2,且a>0,
所以->0,ln x2-ln x1>0,
所以f(x2)>f(x1).
所以f(x)的極小值大于極大值.
12、
B組 能力提升
1.已知f(x)=x3-3x,過A(1,m)(m≠-2)可作曲線y=f(x)的三條切線,則m的取值范圍是( )
A.(-1,1) B.(-2,3)
C.(-1,2) D.(-3,-2)
D [設(shè)切點(x0,x-3x0)(x0≠1),
則f′(x0)=3x-3=k切,
由題意得=3x-3,得m=-2x+3x-3,
設(shè)g(x)=-2x3+3x2-3,
則g′(x)=-6x2+6x=-6x(x-1),
顯然g(x)在x=0與x=1處取得極值,
又g(0)=-3,g(1)=-2+3-3=-2,
∴當(dāng)-3<m<-2時,可作三條切線.故選D.]
2.(2
13、018·太原二模)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx有兩個極值點x1、x2,且x1<x2,若x1+2x0=3x2,函數(shù)g(x)=f(x)-f(x0),則g(x)( )
A.恰有一個零點 B.恰有兩個零點
C.恰有三個零點 D.至多兩個零點
B [∵f(x)=x3+ax2+bx,∴f′(x)=3x2+2ax+b,由函數(shù)f(x)有兩個極值點x1、x2,則x1、x2是方程3x2+2ax+b=0的兩個根,則
x1+x2=-a,x1x2=,
∴a=-,①
由x1+2x0=3x2,則x0==x2+>x2,
由函數(shù)圖象可知:令f(x1)=f(x)的另一個解為m,則x3+ax2+bx
14、-f(x1)=(x-x1)2(x-m),
則則m=-a-2x1,②
將①代入②整理得:m=-2x1==x0,
∴f(x)=f(m)=f(x0),∴g(x)只有兩個零點,即x0和x1,故選B.]
3.已知函數(shù)f(x)=3ln x-x2+2x-3ln 3-,則方程f(x)=0的解的個數(shù)是________.
1 [因為f(x)=3ln x-x2+2x-3ln 3-(x>0),
所以f′(x)=-x+2==,
當(dāng)x∈(0,3)時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)x∈(3,+∞)時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)x→0時,f(x)→-∞,當(dāng)x→+∞時,f(x)→-∞,
15、所以f(x)max=f(3)=3ln 3-+6-3ln 3-=0,所以方程f(x)=0只有一個解.]
4.(2018·鄭州一模)已知函數(shù)f(x)=ax+ln x+1.
(1)討論函數(shù)f(x)零點的個數(shù);
(2)對任意的x>0,f(x)≤xe2x恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
[解] (1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),
由f(x)=ax+ln x+1=0,得a=-.
令g(x)=-(x>0),則g′(x)=.
因為當(dāng)0<x<1時,g′(x)<0,當(dāng)x>1時,g′(x)>0,
所以函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.
所以g(x)min=g(1)
16、=-1.
因為g=0,當(dāng)0<x<時,g(x)>0,當(dāng)x>時,g(x)<0,
所以當(dāng)a<-1時,函數(shù)f(x)沒有零點;
當(dāng)a=-1或a≥0時,函數(shù)f(x)有1個零點;
當(dāng)-1<a<0時,函數(shù)f(x)有2個零點.
(2)因為f(x)=ax+ln x+1,所以對任意的x>0,f(x)≤xe2x恒成立,等價于a≤e2x-在(0,+∞)上恒成立.
令m(x)=e2x-(x>0),
則m′(x)=.
再令n(x)=2x2e2x+ln x,則n′(x)=4(x2+x)e2x+>0,
所以n(x)=2x2e2x+ln x在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
因為n=-2ln 2<0,n(1)>0,
17、
所以n(x)=2x2e2x+ln x有唯一零點x0,且<x0<1,
所以當(dāng)0<x<x0時,m′(x)<0,當(dāng)x>x0時,m′(x)>0,
所以函數(shù)m(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增.
因為2xe2x0+ln x0=0,即e2x0=-,
所以2x0=ln(-ln x0)-ln(2x0)-ln x0,
即ln(2x0)+2x0=ln(-ln x0)+(-ln x0).
設(shè)s(x)=ln x+x,則s′(x)=+1>0,所以函數(shù)s(x)=ln x+x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
又s(2x0)=s(-ln x0),
所以2x0=-ln x0,于是有e2x0=.
所以m(x)≥m(x0)=e2x0-=2,則有a≤2.
所以a的取值范圍為(-∞,2].
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