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1、專題限時集訓(十四) 導數(shù)的綜合應用
(建議用時：40分鐘)
1．(2019·唐山模擬)設(shè)f(x)＝2xln x＋1.
(1)求f(x)的最小值；
(2)證明：f(x)≤x2－x＋＋2ln x.
[解] (1)f′(x)＝2(ln x＋1)．
所以當x∈時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；
當x∈時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．
所以當x＝時，f(x)取得最小值f＝1－.
(2)證明：x2－x＋＋2ln x－f(x)
＝x(x－1)－－2(x－1)ln x
＝(x－1)，
令g(x)＝x－－2ln x，則g′(x)＝1＋－＝≥0，
所以g(x)在(0，＋∞)上
2、單調(diào)遞增，
又g(1)＝0，
所以當01時，g(x)>0，
所以(x－1)≥0，
即f(x)≤x2－x＋＋2ln x.
2．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax－2ln x.
(1)當a＝－1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若f(x)≥0在定義域內(nèi)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
[解] (1)當a＝－1時，f(x)＝x3－x－2ln x(x>0)，f′(x)＝3x2－1－＝＝.
∵3x2＋3x＋2>0恒成立，∴當x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增；
當x∈(0,1)時，f′(x)<0，f(x)在(0,1)上單
3、調(diào)遞減．
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)．
(2)∵f(x)＝x3＋ax－2ln x≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴當x∈(0，＋∞)時，
g(x)＝x2＋a－≥0恒成立．
g′(x)＝2x－2×＝2×，
令h(x)＝x3＋ln x－1，則h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且h(1)＝0，
∴當x∈(0,1)時，h(x)<0，g′(x)<0，即g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，
當x∈(1，＋∞)時，h(x)>0，g′(x)>0，即g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增．
∴g(x)min＝g(1)＝1＋a≥0，a≥－1，故實數(shù)a的取值范圍為[－1，＋∞
4、)．
3．(2019·開封模擬)已知函數(shù)f(x)＝ln x－mx2，g(x)＝mx2＋x，m∈R，令F(x)＝f(x)＋g(x)．
(1)當m＝時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值；
(2)[一題多解]若關(guān)于x的不等式F(x)≤mx－1恒成立，求整數(shù)m的最小值．
[解] (1)由題意得，f(x)＝ln x－x2(x>0)，所以f′(x)＝－x(x>0)．
令f′(x)＝0，得x＝1.
由f′(x)>0，得01，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1，＋∞)．
所以f(x)極大值＝f(1)＝－，無極小值．
(2
5、)法一：令G(x)＝F(x)－(mx－1)＝ln x－mx2＋(1－m)x＋1，
所以G′(x)＝－mx＋(1－m)＝.
當m≤0時，因為x>0，所以G′(x)>0，所以G(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．
又G(1)＝－m＋2>0，所以關(guān)于x的不等式F(x)≤mx－1不能恒成立．
當m>0時，G′(x)＝＝－.
令G′(x)＝0，得x＝，
所以當x∈時，G′(x)>0；當x∈時，G′(x)<0.
因此函數(shù)G(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．
故函數(shù)G(x)的最大值為G＝－ln m.
令h(x)＝－ln x，因為h(1)＝>0，h(2)＝－ln 2<0，
h(x)在(0，＋∞
6、)上是減函數(shù)，所以當x≥2時，h(x)<0，
所以整數(shù)m的最小值為2.
法二：由F(x)≤mx－1恒成立，知m≥(x>0)恒成立．
令h(x)＝(x>0)，則h′(x)＝.
令φ(x)＝2ln x＋x，因為φ＝－ln 4<0，φ(1)＝1>0，且φ(x)為增函數(shù)，
所以存在x0∈，使φ(x0)＝0，即2ln x0＋x0＝0.
當00，h(x)為增函數(shù)，當x>x0時，h′(x)<0，h(x)為減函數(shù)，
所以h(x)max＝h(x0)＝＝.
而x0∈，所以∈(1,2)，所以整數(shù)m的最小值為2.
4．(2019·全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝(x－1)ln
7、x－x－1.證明：(1)f(x)存在唯一的極值點；
(2)f(x)＝0有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數(shù)．
[證明] (1)f(x)的定義域為(0，＋∞)．
f′(x)＝＋ln x－1＝ln x－.
因為y＝ln x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，y＝在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，
所以f′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．
又f′(1)＝－1＜0，f′(2)＝ln 2－＝＞0，
故存在唯一x0∈(1,2)，使得f′(x0)＝0.
又當xx0時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，
因此，f(x)存在唯一的極值點．
(2)由(1)知f(x0)0，
所以f(x)＝0在(x0，＋∞)內(nèi)存在唯一根x＝α.
由α>x0>1得＜1＜x0.
又f＝ln －－1＝＝0，
故是f(x)＝0在(0，x0)的唯一根．
綜上，f(x)＝0有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數(shù)．
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