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1、專題限時集訓(四) 數(shù)列求和與綜合應用
[專題通關練]
(建議用時：30分鐘)
1．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝2an，Sn為{an}的前n項和，若Sn＝126，則n＝( )
A．9 B．8 C．7 D．6
D [因為a1＝2，an＋1＝2an，所以{an}是首項和公比均為2的等比數(shù)列，所以Sn＝＝126，解得n＝6.]
2．設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S6＞S7＞S5，則滿足SnSn＋1＜0的正整數(shù)n的值為( )
A．10 B．11 C．12 D．13
C [由S6＞S7＞S5，得S7＝S6＋a7＜S6，S7＝S5＋a6＋a7
2、＞S5，所以a7＜0，a6＋a7＞0，所以S13＝＝13a7＜0，S12＝＝6(a6＋a7)＞0，所以S12S13＜0，即滿足SnSn＋1＜0的正整數(shù)n的值為12，故選C.]
3．已知{an}是首項為1的等比數(shù)列，Sn是{an}的前n項和，且9S3＝S6，則數(shù)列的前5項和為( )
A.或5 B.或5
C. D.
C [依題意知{an}的公比q≠1，否則9S3＝27a1≠S6＝6a1,9S3＝S6?9×＝?q3＝8?q＝2，∴數(shù)列是首項為＝1，公比為的等比數(shù)列，∴數(shù)列的前5項和為S5＝＝.]
4．已知函數(shù)f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，則a1＋a2＋a3＋…＋a10
3、0＝( )
A．0 B．100 C．－100 D．10 200
B [由題意，a1＋a2＋a3＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－1＋101＝100，故選B.]
5．已知數(shù)列{an}滿足an＝，則a1＋＋＋…＋的值為( )
A. B.
C. D.
A [由題意，因為數(shù)列{an}滿足an＝，所以數(shù)列的通項公式為＝＝－，所以a1＋＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.]
4、
6．(2019·太原模擬)已知數(shù)列{an}滿足＝，且a2＝2，則a4＝________.
11 [因為數(shù)列{an}滿足＝，所以an＋1＋1＝2(an＋1)，即數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列，公比為2，則a4＋1＝22(a2＋1)＝12，解得a4＝11.]
7．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，過點P(n，Sn)和點Q(n＋1，Sn＋1)(n∈N*)的直線的斜率為3n－2，則a2＋a4＋a5＋a9＝________.
40 [因為過點P(n，Sn)和點Q(n＋1，Sn＋1)(n∈N*)的直線的斜率為3n－2，所以＝Sn＋1－Sn＝an＋1＝3n－2(n∈N*)，所以a2＝1，a4＝7，a5
5、＝10，a9＝22，所以a2＋a4＋a5＋a9＝40.]
8．若數(shù)列{an}滿足a1＝1，且對于任意的n∈N*都有an＋1＝an＋n＋1，則＋＋…＋＋＝________.
[由an＋1＝an＋n＋1，
得an＋1－an＝n＋1，
則a2－a1＝1＋1，
a3－a2＝2＋1，
a4－a3＝3＋1，
…，
an－an－1＝(n－1)＋1，n≥2.
以上等式相加，得an－a1＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n－1，n≥2，
把a1＝1代入上式得，an＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＝，
＝＝2，
則＋＋…＋＋＝21－＋－＋…＋－＋－＝21－＝.]
[能力提升練]
(建議用
6、時：15分鐘)
9．(2019·泰安模擬)數(shù)列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，那么a2 019＝( )
A．1 B．－2 C．3 D．－3
A [因為an＋1＝an－an－1(n≥2)，所以an＝an－1－an－2(n≥3)，所以an＋1＝an－an－1＝(an－1－an－2)－an－1＝－an－2(n≥3)．
所以an＋3＝－an(n∈N*)，
所以an＋6＝－an＋3＝an，
故{an}是以6為周期的周期數(shù)列．
因為2 019＝336×6＋3，
所以a2 019＝a3＝a2－a1＝3－2＝1.故選A.]
10．(201
7、9·洛陽模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2an－1.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)記bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
[解] (1)當n＝1時，a1＝S1＝2a1－1，得a1＝1.當n≥2時，有Sn－1＝2an－1－1，
所以an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1.
所以{an}是公比為2，首項為1的等比數(shù)列，故通項公式an＝2n－1(n∈N*)．
(2)bn＝＝＝2，
Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2×＋2×＋2×＋…＋2×＝.
11．已知{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3.
(1)
8、求數(shù)列{an}的通項公式；
(2){bn}為各項非零的等差數(shù)列，其前n項和為Sn.已知S2n＋1＝bnbn＋1，求數(shù)列的前n項和Tn.
[解] (1)設{an}的公比為q，
由題意知：a1(1＋q)＝6，aq＝a1q2，
又an＞0，解得a1＝2，q＝2，所以an＝2n.
(2)由題意知：S2n＋1＝＝(2n＋1)bb＋1，
又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0，所以bn＝2n＋1.
令cn＝，則cn＝.
因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋＋…＋＋，
又Tn＝＋＋＋…＋＋，
兩式相減得Tn＝＋－，
所以Tn＝5－.
題號
內(nèi)容
押題依據(jù)
1
由an
9、與Sn的關系求通項公式
由an與Sn的關系求通項公式常以小題形式出現(xiàn)，有時也出現(xiàn)在解答題的第(1)問，難度中等．本題考查邏輯推理和數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，綜合性強，符合全國卷的命題趨勢
2
等差數(shù)列、三個“二次”間的關系、分組求和
本題將等差數(shù)列的基本運算、三個“二次”的關系及數(shù)列分組求和有機組合且難度不大，符合全國卷的命題需求，主要考查通項公式的求解與分組求和，在運算過程中體現(xiàn)了數(shù)學運算及邏輯推理的核心素養(yǎng)
【押題1】 已知數(shù)列{an}的前n項和是Sn，且an＋Sn＝2n＋1，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________.
2－n [當n＝1時，由an＋Sn＝2n＋1知，a1＋S1
10、＝2×1＋1，
即a1＋a1＝3，解得a1＝.
由an＋Sn＝2n＋1，①
知當n≥2時，an－1＋Sn－1＝2(n－1)＋1＝2n－1，②
①－②得an－an－1＋(Sn－Sn－1)＝2，即2an－an－1＝2，
即2(an－2)＝an－1－2，即an－2＝(an－1－2)，
故數(shù)列{an－2}是以a1－2＝－為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以an－2＝－×n－1＝－n，即an＝2－n.]
【押題2】 已知等差數(shù)列{an}的公差為d，且關于x的不等式a1x2－dx－3＜0的解集為(－1,3)．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若bn＝2＋an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.
[解] (1)由題意知，方程a1x2－dx－3＝0的兩個根分別為－1和3.
則解得
故數(shù)列{an}的通項公式為an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
(2)由(1)知an＝2n－1，所以bn＝2＋an＝2n＋(2n－1)，
所以Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)＋(1＋3＋5＋…＋2n－1)＝2n＋1＋n2－2.
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