2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 每日一題 規(guī)范練（第一周）文（含解析）

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1、每日一題　規(guī)范練(第一周) [題目1] 在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若m＝，n＝，且m·n＝. (1)求角A的大?。? (2)若a＝2，三角形面積S＝，求b＋c的值． 解：(1)因?yàn)閙＝， n＝，且m·n＝， 所以－cos2＋sin2＝，則cos A＝－. 又A∈(0，π)， 所以A＝π. (2)S△ABC＝bcsin A＝，所以bc＝4， 又由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc·cos A＝b2＋c2＋bc， 所以(b＋c)2＝16，故b＋c＝4. [題目2] 已知等差數(shù)列{an}的公差d＞0，其前n項(xiàng)和為Sn，且a2＋a4＝8，a3，

2、a5，a8成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)令bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解：(1)因?yàn)閍2＋a4＝8， 則a3＝4，即a1＋2d＝4.① 因?yàn)閍3，a5，a8為等比數(shù)列，則a＝a3a8， 即(a1＋4d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)，化簡(jiǎn)得：a1＝2d，② 聯(lián)立①和②得：a1＝2，d＝1. 所以an＝n＋1，n∈N*. (2)因?yàn)閎n＝＝＝， 所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝[＋＋＋…＋]＝(1－)＝. [題目3] 隨著經(jīng)濟(jì)全球化、信息化的發(fā)展，企業(yè)之間的競(jìng)爭(zhēng)從資源的爭(zhēng)奪轉(zhuǎn)向人才的競(jìng)爭(zhēng)、吸引、留住培養(yǎng)和用好人才成為人力資源管

3、理的戰(zhàn)略目標(biāo)和緊迫任務(wù)．在此背景下，某信息網(wǎng)站在15個(gè)城市中對(duì)剛畢業(yè)的大學(xué)生的月平均收入薪資和月平均期望薪資做了調(diào)查，數(shù)據(jù)如下圖所示． (1)若某大學(xué)畢業(yè)生從這15座城市中隨機(jī)選擇一座城市就業(yè)，求該生選中月平均收入薪資高于8 500元的城市的概率； (2)若從月平均收入薪資與月平均期望薪資之差高于1 000元的城市中隨機(jī)選擇2座城市，求這2座城市的月平均期望薪資都低于8 500元的概率． 解：(1)設(shè)該生選中月平均收入薪資高于8 500元的城市為事件A，15座城市中月平均收入薪資高于8 500元的有6個(gè)， 所以P(A)＝＝. (2)月平均收入薪資和月平均期望薪資之差高于1 000

4、元的城市有6個(gè)，其中月平均期望薪資高于8 500元的有1個(gè)，記為A；月平均期望薪資低于8 500元的有5個(gè)，記為B1，B2，B3，B4，B5. 從中任取兩座城市所有可能結(jié)果為AB1，AB2，AB3，AB4，AB5，B1B2，B1B3，B1B4，B1B5，B2B3，B2B4，B2B5，B3B4，B3B5，B4B5共15種，其中后10種情況2座城市的月平均期望薪資都低于8 500元． 設(shè)2座城市的月平均期望薪資都低于8 500元為事件B， 所以P(B)＝＝. [題目4] 三棱柱ABC-A1B1C1被平面A1B1C截去一部分后得到如圖所示幾何體，BB1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，BC

5、＝BB1，E為棱B1C上的動(dòng)點(diǎn)(不包含端點(diǎn))，平面ABE交A1C于點(diǎn)F. (1)求證：AB⊥平面B1BC； (2)求證：EF∥AB； (3)試問(wèn)是否存在點(diǎn)E，使得平面ABE⊥平面A1B1C？并說(shuō)明理由． (1)證明：因?yàn)锽B1⊥平面ABC，AB?平面ABC， 所以BB1⊥AB， 由∠ABC＝90°，得BC⊥AB. 因?yàn)锽B1∩BC＝B，B1B?平面B1BC，BC?平面B1BC， 所以AB⊥平面B1BC. (2)證明：在三棱柱ABCA1B1C1中，AB∥A1B1. 因?yàn)锳B?平面A1B1C，A1B1?平面A1B1C， 所以AB∥平面A1B1C. 因?yàn)锳B?平面AB

6、EF，平面ABEF∩平面A1B1C＝EF， 所以EF∥AB. (3)解：存在點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)E為B1C的中點(diǎn)時(shí)，平面ABE⊥平面A1B1C. 因?yàn)锽C＝BB1， 所以BE⊥B1C. 因?yàn)锳B⊥平面B1BC，BE?平面B1BC， 所以AB⊥BE. 由于AB∥A1B1，所以BE⊥A1B1. 因?yàn)锳1B1∩B1C＝B1， 所以BE⊥平面A1B1C. 又BE?平面ABE，所以平面ABE⊥平面A1B1C. [題目5] 設(shè)橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)．若橢圓E的離心率為，△ABF2的周長(zhǎng)為4. (1)求橢圓E的方程；

7、(2)設(shè)不經(jīng)過(guò)橢圓的中心而平行于弦AB的直線交橢圓E于點(diǎn)C，D，設(shè)弦AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N，證明：O，M，N三點(diǎn)共線． (1)解：由題意知，4a＝4，a＝. 又e＝，所以c＝，b＝， 所以橢圓E的方程為＋＝1. (2)證明：當(dāng)直線AB，CD的斜率不存在時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性知，中點(diǎn)M，N在x軸上，O，M，N三點(diǎn)共線； 當(dāng)直線AB，CD的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k，且設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)． 則兩式相減，得＋－＝0. 所以＝－， ＝－， 所以·＝－，·＝－. 則k·kOM＝－，所以kOM＝－. 同理可得kON＝－. 所以kOM＝kON，從而

8、點(diǎn)O，M，N三點(diǎn)共線． [題目6] 設(shè)函數(shù)f(x)＝ln x－. (1)證明：當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)＞0； (2)若關(guān)于x的不等式＜a(x－1)對(duì)任意x∈(1，＋∞)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． (1)證明：因?yàn)閒(x)＝ln x－，x＞1， 所以f′(x)＝－＝. 當(dāng)x＞1時(shí)，f′(x)＞0， 所以f(x)在x∈(1，＋∞)為增函數(shù)， 所以f(x)＞f(1)＝ln 1－(1－1)＝0. (2)解：設(shè)h(x)＝－a(x－1)，x∈(1，＋∞)． 則h′(x)＝－a＝. 當(dāng)a≥1時(shí)，1－ax2＜0，ln x＞0， 所以h′(x)＜0，所以h(x)在x∈(1，＋∞)上是減

9、函數(shù)， 所以h(x)＜h(1)＝0恒成立，即不等式＜a(x－1)對(duì)任意x∈(1，＋∞)恒成立， 當(dāng)a≤0時(shí)，h(x)＝－a(x－1)＞0在x∈(1，＋∞)上恒成立，故不合題意． 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，因?yàn)閘n x＞1－對(duì)任意x∈(1，＋∞)恒成立； 所以h(x)＝－a(x－1)＞－a(x－1)＝－a(x－1)＝(1－ax2)， 所以當(dāng)x∈時(shí)，h(x)≥0，故不合題意． 綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，＋∞)． [題目7] 1.[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 已知曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求曲線C的極坐標(biāo)方

10、程； (2)若直線l的極坐標(biāo)方程為sin θ－2cos θ＝，求曲線C上的點(diǎn)到直線l的最大距離． 解：(1)由，消去α，得(x－3)2＋(y－1)2＝4， 將代入得(ρcos θ－3)2＋(ρsin θ－1)2＝4， 化簡(jiǎn)得ρ2－6ρcos θ－2ρsin θ＋6＝0. (2)由sin θ－2cos θ＝，得ρsin θ－2ρcos θ＝1， 即2x－y＋1＝0. 圓心C(3，1)到直線2x－y＋1＝0的距離d＝＝， 所以C上點(diǎn)到直線的最大距離為d＋r＝＋2. 2．[選修4－5：不等式選講] 已知函數(shù)f(x)＝|x＋m|＋|2x－n|，m，n∈(0，＋∞)． (1)若m＝2，n＝3，求不等式f(x)＞5的解集； (2)若f(x)≥1恒成立，求2m＋n的最小值． 解：(1)若m＝2，n＝3，則f(x)＝|x＋2|＋|2x－3|. ①當(dāng)x≤－2時(shí)，－x－2－2x＋3＞5，得x＜－， 所以x≤－2. ②當(dāng)－2＜x＜時(shí)，x＋2－2x＋3＞5，得x＜0， 所以－2＜x＜0. ③當(dāng)x≥時(shí)，x＋2＋2x－3＞5，得x＞2，所以x＞2. 綜上，不等式解集為(－∞，0)∪(2，＋∞)． (2)|x＋m|＋|2x－n|＝|x＋m|＋＋≥|x＋m|＋≥＝m＋. 依題意，有m＋≥1，即2m＋n≥2. 故2m＋n的最小值為2. - 6 -