《2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 專題五 解析幾何 第2講 橢圓、雙曲線、拋物線練習(xí) 文（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 專題五 解析幾何 第2講 橢圓、雙曲線、拋物線練習(xí) 文（含解析）（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第2講 橢圓、雙曲線、拋物線
A級 基礎(chǔ)通關(guān)
一、選擇題
1．(2019·北京卷)已知雙曲線－y2＝1(a＞0)的離心率是，則a＝( )
A. B．4 C．2 D.
解析：由雙曲線方程－y2＝1，得b2＝1，
所以c2＝a2＋1.
所以5＝e2＝＝＝1＋.
結(jié)合a＞0，解得a＝.
答案：D
2．拋物線y2＝2px(p＞0)經(jīng)過點M(x0，2)，若點M到焦點F的距離|MF|＝3，則拋物線的方程為( )
A．y2＝4x B．y2＝2x或y2＝4x
C．y2＝8x D．y2＝4x或y2＝8x
解析：因為點M(x0，2)在y2＝2px上，
所以8＝
2、2px0，得x0＝.
又|MF|＝3，得＋＝3，解得p＝2或p＝4.
所以拋物線方程為y2＝4x或y2＝8x.
答案：D
3．(2018·全國卷Ⅰ)已知橢圓C：＋＝1的一個焦點為(2，0)，則C的離心率為( )
A. B. C. D.
解析：不妨設(shè)a＞0，由焦點F(2，0)，知c＝2.
所以a2＝4＋c2＝8，則a＝2.
因此離心率e＝＝＝.
答案：C
4．(2019·長郡中學(xué)模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線與(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，則＝( )
A. B. C. D.
解析：易知雙曲線
3、C的一條漸近線方程為ax－by＝0.
又漸近線與圓(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，
所以＝1，則(2a－b)2＝a2＋b2.
所以3a＝4b，因此＝.
答案：B
5．(2019·全國卷Ⅱ)設(shè)F為雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點，O為坐標(biāo)原點，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點．若|PQ|＝|OF|，則C的離心率為( )
A. B. C．2 D.
解析：設(shè)雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點F的坐標(biāo)為(c，0)．由圓的對稱性及條件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以O(shè)F為直徑的圓的直徑，且PQ⊥OF.
設(shè)PQ與OF交于點M，連接O
4、P，如圖所示．
則|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝，
由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2，得2·＝a2，
故＝，離心率e＝.
答案：A
二、填空題
6．(2019·江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線x2－＝1(b＞0)經(jīng)過點(3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是________．
解析：因為雙曲線x2－＝1(b＞0)經(jīng)過點(3，4)，則9－＝1(b＞0)，解得b＝，即雙曲線方程為x2－＝1，
因此雙曲線的漸近線方程為y＝±x.
答案：y＝±x
7．(2019·珠海調(diào)研)已知直線l是拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線，半徑為3的圓過拋物線頂點O和焦點F，且與直線l相
5、切，則拋物線的方程為________．
解析：由已知圓心在OF的中垂線上，故圓心到準(zhǔn)線的距離為p，所以p＝3，所以p＝4，故拋物線的方程為y2＝8x.
答案：y2＝8x
8．(2019·全國卷Ⅲ)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：＋＝1的兩個焦點，M為C上一點且在第一象限．若△MF1F2為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為________．
解析：設(shè)F1為橢圓的左焦點，分析可知點M在以F1為圓心，焦距為半徑的圓上，即在圓(x＋4)2＋y2＝64上．
因為點M在橢圓＋＝1上，
所以聯(lián)立方程可得解得
又因為點M在第一象限，所以點M的坐標(biāo)為(3，)．
答案：(3，)
三、解答題
9．(2018·全國卷
6、Ⅱ)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求過點A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程．
解：(1)由題意得F(1，0)，l的方程為y＝k(x－1)(k>0)．
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由題設(shè)知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.
因此l的方程為y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中點坐標(biāo)為(3，2)，所以AB的垂直平分線方程
7、為y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.
設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0，y0)，則
解得或
因此所求圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
10．(2018·全國卷Ⅲ)已知斜率為k的直線l與橢圓C：＋＝1交于A，B兩點，線段AB的中點為M(1，m)(m>0)．
(1)證明：k<－；
(2)設(shè)F為C的右焦點，P為C上一點，且＋＋＝0.證明：2||＝||＋||.
證明：(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則＋＝1，＋＝1.
兩式相減，并由＝k得＋·k＝0.
由題設(shè)知＝1，＝m，于是k＝－.
由題設(shè)得0
8、
(2)由題意得F(1，0)．設(shè)P(x3，y3)，則
(x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0，0)．
由(1)及題設(shè)得x3＝3－(x1＋x2)＝1，
y3＝－(y1＋y2)＝－2m<0.
又點P在C上，所以m＝，
從而P(1，－)，||＝，
于是||＝＝＝2－.
同理||＝2－.
所以||＋||＝4－(x1＋x2)＝3.
故2||＝||＋||.
B級 能力提升
11．(2019·全國卷Ⅰ)已知橢圓C的焦點為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，過F2的直線與C交于A，B兩點．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為( )
A
9、.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a＞b＞0)．連接F1A，令|F2B|＝m，則|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.
由橢圓的定義知，4m＝2a，
得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，則點A為橢圓C的上頂點或下頂點．如圖．
不妨設(shè)A(0，－b)，由F2(1，0)，＝2，得B.
由點B在橢圓上，得＋＝1，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2，橢圓C的方程為＋＝1.
答案：B
12．(2019·天津卷)設(shè)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左焦點為F，左頂點為A，上頂點為B.已知|OA|＝2|OB|(O為原點)．
(1)求橢圓的離心
10、率；
(2)設(shè)經(jīng)過點F且斜率為的直線l與橢圓在x軸上方的交點為P，圓C同時與x軸和直線l相切，圓心C在直線x＝4上，且OC∥AP.求橢圓的方程．
解：(1)設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意a＝2b.
又a2＝b2＋c2，
消去b，得a2＝＋c2，解得＝.
所以，橢圓的離心率為.
(2)由(1)知，a＝2c，b＝c，故橢圓方程為＋＝1.
由題意，F(xiàn)(－c，0)，則直線l的方程為y＝(x＋c)．
點P的坐標(biāo)滿足
消去y并化簡，得到7x2＋6cx－13c2＝0，
解得x1＝c，x2＝－.
代入到l的方程，解得y1＝c，y2＝－c.
因為點P在x軸上方，所以P.
由圓心C在直線x＝4上，可設(shè)C(4，t)．
因為OC∥AP，且由(1)知A(－2c，0)，
故＝，解得t＝2.
因為圓C與x軸相切，所以圓C的半徑為2.
又由圓C與l相切，得＝2，可得c＝2.
所以，橢圓的方程為＋＝1.
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