2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時作業(yè)49 直線的交點(diǎn)與距離公式 理（含解析）新人教版

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1、課時作業(yè)49　直線的交點(diǎn)與距離公式 一、選擇題 1．過點(diǎn)(1,0)且與直線x－2y－2＝0垂直的直線方程是(　C　) A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0 解析：因為直線x－2y－2＝0的斜率為，所以所求直線的斜率k＝－2.所以所求直線的方程為y－0＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0. 2．已知直線l1的方程為3x＋4y－7＝0，直線l2的方程為6x＋8y＋1＝0，則直線l1與l2的距離為(　B　) A. B. C．4 D．8 解析：因為直線l1的方程為3x＋4y－7＝0，直線l2的方程為6x＋8y＋1＝0，

2、即3x＋4y＋＝0，所以直線l1與l2的距離為＝. 3．當(dāng)00，故兩直線的交點(diǎn)在第二象限． 4．已知b>0，直線x－b2y－1＝0與直線(b2＋1)x＋ay＋2＝0互相垂直，則ab的最小值等于(　B　) A．1 B．2 C．2 D．2 解析：因為直線x－b2y－1＝0與直線(b2＋1)x＋ay＋2＝0互相垂直，所以(b2＋1)－b2a＝0，即a＝，所以ab＝b＝＝

3、b＋≥2(當(dāng)且僅當(dāng)b＝1時取等號)，即ab的最小值等于2. 5．若點(diǎn)P在直線3x＋y－5＝0上，且P到直線x－y－1＝0的距離為，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(　C　) A．(1,2) B．(2,1) C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2) 解析：設(shè)P(x,5－3x)， 則d＝＝，化簡得|4x－6|＝2， 即4x－6＝±2，解得x＝1或x＝2， 故P(1,2)或(2，－1)． 6．(2019·西安一中檢測)若直線l1：y＝k(x－4)與直線l2關(guān)于點(diǎn)(2,1)對稱，則直線l2過定點(diǎn)(　B　) A．(0,4) B．(0,2) C．(－2,4) D．(4，

4、－2) 解析：由題知直線l1過定點(diǎn)(4,0)，則由條件可知，直線l2所過定點(diǎn)關(guān)于(2,1)對稱的點(diǎn)為(4,0)，故可知直線l2所過定點(diǎn)為(0,2)，故選B. 7．已知點(diǎn)P(－2,0)和直線l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0(λ∈R)，則點(diǎn)P到直線l的距離d的最大值為(　B　) A．2 B. C. D．2 解析：由(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0，得(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0，此方程是過直線x＋y－2＝0和3x＋2y－5＝0交點(diǎn)的直線系方程．解方程組 可知兩直線的交點(diǎn)為Q(1,1)，故直線l恒過定點(diǎn)Q(1,1)，如圖所示，可知d

5、＝|PH|≤|PQ|＝， 即d的最大值為. 二、填空題 8．直線l1的斜率為2，l1∥l2，直線l2過點(diǎn)(－1，1)且與y軸交于點(diǎn)P，則P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3)． 解析：因為l1∥l2，且l1的斜率為2，則直線l2的斜率k＝2，又直線l2過點(diǎn)(－1,1)，所以直線l2的方程為y－1＝2(x＋1)，整理得y＝2x＋3，令x＝0，得y＝3，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3)． 9．與直線l1：3x＋2y－6＝0和直線l2：6x＋4y－3＝0等距離的直線方程是12x＋8y－15＝0. 解析：l2：6x＋4y－3＝0化為3x＋2y－＝0，所以l1與l2平行，設(shè)與l1，l2等距離的直線l的方程為3x＋

6、2y＋c＝0，則|c＋6|＝，解得c＝－，所以l的方程為12x＋8y－15＝0. 10．已知入射光線經(jīng)過點(diǎn)M(－3,4)，被直線l：x－y＋3＝0反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)N(2,6)，則反射光線所在直線的方程為6x－y－6＝0. 解析：設(shè)點(diǎn)M(－3,4)關(guān)于直線l：x－y＋3＝0的對稱點(diǎn)為M′(a，b)，則反射光線所在直線過點(diǎn)M′. 所以 解得a＝1，b＝0. 又反射光線經(jīng)過點(diǎn)N(2,6)， ∴NM′的斜率為＝6， ∴反射光線所在直線的方程是y＝6x－6. 三、解答題 11．已知兩條直線l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求滿足下列條件的a，b的值． (1

7、)l1⊥l2，且l1過點(diǎn)(－3，－1)； (2)l1∥l2，且坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等． 解：(1)由已知可得l2的斜率存在， ∴k2＝1－a.若k2＝0，則1－a＝0，a＝1. ∵l1⊥l2，直線l1的斜率k1必不存在， ∴b＝0. 又∵l1過點(diǎn)(－3，－1)， ∴－3a＋4＝0，即a＝(矛盾)， ∴此種情況不存在，∴k2≠0， 即k1，k2都存在． ∵k2＝1－a，k1＝，l1⊥l2， ∴k1k2＝－1，即(1－a)＝－1.?、? 又∵l1過點(diǎn)(－3，－1)， ∴－3a＋b＋4＝0.　② 由①②聯(lián)立，解得a＝2，b＝2. (2)∵l2的斜率存在，l1∥l2

8、， ∴直線l1的斜率存在，k1＝k2， 即＝1－a.　③ 又∵坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等，且l1∥l2， ∴l(xiāng)1，l2在y軸上的截距互為相反數(shù)， 即＝b.?、? 聯(lián)立③④，解得或 ∴a＝2，b＝－2或a＝，b＝2. 12．已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0與點(diǎn)P(－2,2)． (1)證明：對任意的實(shí)數(shù)λ，該方程都表示直線，且這些直線都經(jīng)過同一定點(diǎn)，并求出這一定點(diǎn)的坐標(biāo)； (2)證明：該方程表示的直線與點(diǎn)P的距離d小于4. 解：(1)顯然2＋λ與－(1＋λ)不可能同時為零，故對任意的實(shí)數(shù)λ，該方程都表示直線． ∵方程可變形為2x－y－6＋λ(x－y－

9、4)＝0， ∴解得 故直線經(jīng)過的定點(diǎn)為M(2，－2)． (2)證明：過P作直線的垂線段PQ，由垂線段小于斜線段知|PQ|≤|PM|，當(dāng)且僅當(dāng)Q與M重合時， |PQ|＝|PM|， 此時對應(yīng)的直線方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0. 但直線系方程唯獨(dú)不能表示直線x－y－4＝0， ∴M與Q不可能重合，而|PM|＝4， ∴|PQ|<4，故所證成立． 13．已知直線y＝2x是△ABC中∠C的平分線所在的直線，若點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(－4,2)，(3,1)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(　C　) A．(－2,4) B．(－2，－4) C．(2,4) D．(2，－4) 解析：設(shè)A(

10、－4,2)關(guān)于直線y＝2x的對稱點(diǎn)為(x，y)，則 解得 ∴BC所在直線方程為y－1＝(x－3)， 即3x＋y－10＝0. 同理可得點(diǎn)B(3,1)關(guān)于直線y＝2x的對稱點(diǎn)為(－1,3)，∴AC所在直線方程為y－2＝(x＋4)， 即x－3y＋10＝0. 聯(lián)立解得 則C(2,4)．故選C. 14．設(shè)m∈R，過定點(diǎn)A的動直線x＋my＝0和過定點(diǎn)B的動直線mx－y－m＋3＝0交于點(diǎn)P(x，y)，則|PA|·|PB|的最大值是5. 解析：易知A(0,0)，B(1,3)且兩直線互相垂直，即△APB為直角三角形， ∴|PA|·|PB|≤ ＝＝＝5. 當(dāng)且僅當(dāng)|PA|＝|PB|時，等號

11、成立． 15．已知直線l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全為0)，兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，且|Ax1＋By1＋C|>|Ax2＋By2＋C|，則(　C　) A．直線l與直線P1P2不相交 B．直線l與線段P2P1的延長線相交 C．直線l與線段P1P2的延長線相交 D．直線l與線段P1P2相交 解析：由題可知，(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0表示兩點(diǎn)在直線的同側(cè)． 因為|Ax1＋By1＋C|>|Ax2＋By2＋C|， 所以>， 所以P1到直線的距離大于P2到直線的距離， 所以直線l與線段P1P2的延長線相交，故選C. 16．已知x，y為實(shí)數(shù)，則代數(shù)式＋＋的最小值是. 解析：如圖所示，由代數(shù)式的結(jié)構(gòu)可構(gòu)造點(diǎn)P(0，y)，A(1,2)，Q(x,0)，B(3,3)， 則＋＋ ＝|PA|＋|BQ|＋|PQ|. 分別作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A′(－1,2)， 點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B′(3，－3)， 則＋＋ ≥|A′B′|＝， 當(dāng)且僅當(dāng)P，Q為A′B′與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)時，等號成立，故最小值為. 6