2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時作業(yè)42 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系 理

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1、課時作業(yè)42 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系 [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1.[2019·江西七校聯(lián)考]已知直線a和平面α,β,α∩β=l,a?α,a?β,且a在α,β內(nèi)的射影分別為直線b和c,則直線b和c的位置關(guān)系是(  ) A.相交或平行 B.相交或異面 C.平行或異面 D.相交、平行或異面 解析:依題意,直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面. 答案:D 2.若直線a⊥b,且直線a∥平面α,則直線b與平面α的位置關(guān)系是(  ) A.b?α B.b∥α C.b?α或b∥α D.b與α相交或b?α或b∥α 解析:b與α相交或b?α或b∥α都可以.

2、 答案:D 3. 如圖所示,ABCD-A1B1C1D1是正方體,O是B1D1的中點,直線A1C交平面AB1D1于點M,則下列結(jié)論正確的是(  ) A.A,M,O三點共線 B.A,M,O,A1不共面 C.A,M,C,O不共面 D.B,B1,O,M共面 解析:連接A1C1,AC(圖略),則A1C1∥AC, ∴A1,C1,A,C四點共面,∴A1C?平面ACC1A1. ∵M(jìn)∈A1C,∴M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1, ∴M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上, 同理A,O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上, ∴A,M,O三點共線. 答案:A 4

3、.[2019·河北張家口模擬]三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC為等邊三角形,AA1⊥平面ABC,AA1=AB,M,N分別是A1B1,A1C1的中點,則BM與AN所成角的余弦值為(  ) A. B. C. D. 解析: 取BC的中點O,連接NO,AO,MN,因為B1C1綊BC,OB=BC,所以O(shè)B∥B1C1,OB=B1C1,因為M,N分別為A1B1,A1C1的中點,所以MN∥B1C1,MN=B1C1,所以MN綊OB,所以四邊形MNOB是平行四邊形,所以NO∥MB,所以∠ANO或其補角即為BM與AN所成角,不妨設(shè)AB=2,則有AO=,ON=BM=,AN=,在△ANO中,由余弦

4、定理可得cos∠ANO===.故選C. 答案:C 5.[2019·安徽聯(lián)合檢測]若在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠A1AC=∠BAC=60°,平面A1ACC1⊥平面ABC,AA1=AC=AB,則異面直線AC1與A1B所成角的余弦值為(  ) A. B. C. D. 解析:解法一 如圖,在平面ABC,平面A1B1C1中分別取點D,D1,連接BD,CD,B1D1,C1D1,使得四邊形ABDC,A1B1D1C1為平行四邊形,連接DD1,BD1,則AB=C1D1且AB∥C1D1,所以AC1∥BD1,故∠A1BD1即異面直線AC1與A1B所成的角. 連接A1D1,過點A1作A1M⊥

5、AC于點M,連接BM,設(shè)AA1=2,由∠A1AM=∠BAC=60°,得AM=1,BM=,A1M=,因為平面A1ACC1⊥平面ABC,A1M?平面A1ACC1,所以A1M⊥平面ABC,所以A1M⊥BM,所以A1B=,在菱形A1ACC1中,易求得AC1=2=BD1,在菱形A1B1D1C1中,易求得A1D1=2,所以cos∠A1BD1===,所以異面直線AC1與A1B所成角的余弦值為. 解法二 令M為AC的中點,連接MB,MA1,易得MA,MB,MA1兩兩垂直.以M為原點,,,的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AA1=AC=AB=2,則A(1,0,0),B(0

6、,,0),A1(0,0,),C1(-2,0,),所以=(-3,0,),=(0,,-),所以cos〈,〉==-,故異面直線AC1與A1B所成角的余弦值為. 答案:B 二、填空題 6.設(shè)P表示一個點,a,b表示兩條直線,α,β表示兩個平面,給出下列四個命題,其中正確命題的序號是________. ①P∈a,P∈α?a?α; ②a∩b=P,b?β?a?β; ③a∥b,a?α,P∈b,P∈α?b?α; ④α∩β=b,P∈α,P∈β?P∈b. 解析:當(dāng)a∩α=P時,P∈a,P∈α, 但a?α,∴①錯; a∩β=P時,②錯; 如圖∵a∥b,P∈b, ∴P?a,∴由直線a與點P確

7、定唯一平面α, 又a∥b,由a與b確定唯一平面γ, 但γ經(jīng)過直線a與點P, ∴γ與α重合,∴b?α,故③正確; 兩個平面的公共點必在其交線上,故④正確. 答案:③④ 7.如圖所示,G,H,M,N分別是三棱柱的頂點或所在棱的中點,則表示直線GH,MN是異面直線的圖形有________(填上所有正確答案的序號). 解析:圖(1)中,直線GH∥MN; 圖(2)中,G,H,N三點共面,但M?平面GHN,因此直線GH與MN異面; 圖(3)中,連接MG,HN,GM∥HN,因此GH與MN共面; 圖(4)中,G,M,N共面, 但H?平面GMN,因此GH與MN異面. 所以圖(2),(

8、4)中GH與MN異面. 答案:(2)(4) 8.[2019·福建四地六校聯(lián)考]已知三棱錐A-BCD中,AB=CD,且直線AB與CD成60°角,點M、N分別是BC、AD的中點,則異面直線AB與MN所成角的大小為________. 解析:如圖,取AC的中點P,連接PM,PN,則PM∥AB,且PM=AB,PN∥CD,且PN=CD. ∴∠MPN或其補角為AB與CD所成的角,則∠MPN=60°或∠MPN=120°, ∵PM∥AB, ∴∠PMN或其補角是AB與MN所成的角, ∵AB=CD,∴PM=PN, 若∠PMN=60°, 則△PMN是等邊三角形,∴∠PMN=60°, ∴AB與M

9、N所成的角為60°.若∠MPN=120°, 則∠PMN=30°,∴AB與MN所成的角為30°, 綜上,異面直線AB與MN所成的角為30°或60°. 答案:30°或60° 三、解答題 9. 如圖,在四邊形ABCD中,已知AB∥CD,直線AB,BC,AD,DC分別與平面α相交于點E,G,H,F(xiàn),求證:E,F(xiàn),G,H四點必定共線. 證明:因為AB∥CD, 所以AB,CD確定一個平面β. 又因為AB∩α=E,AB?β,所以E∈α,E∈β, 即E為平面α與β的一個公共點. 同理可證F,G,H均為平面α與β的公共點, 因為若兩個平面有公共點,那么它們有且只有一條通過公共點的公共

10、直線,所以E,F(xiàn),G,H四點必定共線. 10.如圖,已知不共面的三條直線a,b,c相交于點P,A∈a,B∈a,C∈b,D∈c,求證:AD與BC是異面直線. 證明:假設(shè)AD和BC共面,所確定的平面為α,那么點P,A,B,C,D都在平面α內(nèi), ∴直線a,b,c都在平面α內(nèi),與已知條件a,b,c不共面矛盾,假設(shè)不成立. ∴AD和BC是異面直線. [能力挑戰(zhàn)] 11.[2019·武漢調(diào)研]在棱長為3的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別在棱AB,CD上,且AE=CF=1. (1)求異面直線A1E與C1F所成角的余弦值; (2)求四面體EFC1A1的體積. 解析:(1

11、)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中, 延長DC至M,使CM=1,則AE綊CM. 連接AC,EM,∴ME綊AC綊A1C1,連接MC1, ∴A1E綊C1M, ∴∠FC1M為異面直線A1E與C1F所成的角. 在△FC1M中,C1F=C1M=,F(xiàn)M=2, ∴cos∠FC1M==. 故異面直線A1E與C1F所成角的余弦值為. (2)在D1C1上取一點N,使ND1=1. 連接EN,F(xiàn)N,A1N, ∴A1E綊FN,∴A1N綊EF, ∵EF?平面EFC1,A1N?平面EFC1,∴A1N∥平面EFC1, ∴VA1-EFC1=VN-EFC1=VE-NFC1=×S△NFC1×3=××2×3×3=3. 故四面體EFC1A1的體積為3. 7

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