2020高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 9 第9講 函數(shù)模型及其應(yīng)用練習(xí) 理(含解析)

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2020高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 9 第9講 函數(shù)模型及其應(yīng)用練習(xí) 理(含解析)_第1頁
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1、第9講 函數(shù)模型及其應(yīng)用 [基礎(chǔ)題組練] 1.在某種新型材料的研制中,實(shí)驗(yàn)人員獲得了下列一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律,其中最接近的一個是(  ) x 1.992 3 4 5.15 6.126 y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01 A.y=2x-2         B.y=(x2-1) C.y=log2x D.y=logx 解析:選B.由題中表可知函數(shù)在(0,+∞)上是增函數(shù),且y的變化隨x的增大而增大得越來越快,分析選項可知B符合,故選B. 2.某家具的標(biāo)價為132元,若降價以九折出售(即優(yōu)惠1

2、0%),仍可獲利10%(相對于進(jìn)價),則該家具的進(jìn)價是(  ) A.118元 B.105元 C.106元 D.108元 解析:選D.設(shè)進(jìn)價為a元,由題意知132×(1-10%)-a=10%·a,解得a=108.故選D. 3.小明在如圖1所示的跑道上勻速跑步,他從點(diǎn)A出發(fā),沿箭頭方向經(jīng)過點(diǎn)B跑到點(diǎn)C,共用時30 s,他的教練選擇了一個固定的位置觀察小明跑步的過程,設(shè)小明跑步的時間為t(s),他與教練間的距離為y(m),表示y與t的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖2所示,則這個固定位置可能是圖1中的(  ) A.點(diǎn)M B.點(diǎn)N C.點(diǎn)P D.點(diǎn)Q 解析:選D.A.假設(shè)這個位置在點(diǎn)M,則從A

3、至B這段時間,y不隨時間的變化改變,與函數(shù)圖象不符,故本選項錯誤;B.假設(shè)這個位置在點(diǎn)N,則從A至C這段時間,A點(diǎn)與C點(diǎn)對應(yīng)y的大小應(yīng)該相同,與函數(shù)圖象不符,故本選項錯誤;C.假設(shè)這個位置在點(diǎn)P,則由函數(shù)圖象可得,從A到C的過程中,會有一個時刻,教練到小明的距離等于經(jīng)過30 s時教練到小明的距離,而點(diǎn)P不符合這個條件,故本選項錯誤;D.經(jīng)判斷點(diǎn)Q符合函數(shù)圖象,故本選項正確,故選D. 4.一種放射性元素的質(zhì)量按每年10%衰減,這種放射性元素的半衰期(剩余質(zhì)量為最初質(zhì)量的一半所需的時間叫作半衰期)是(精確到0.1,已知lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1)(  ) A.5.2 B

4、.6.6 C.7.1 D.8.3 解析:選B.設(shè)這種放射性元素的半衰期是x年,則(1-10%)x=,化簡得0.9x=,即x=log0.9===≈6.6(年).故選B. 5.(2019·高考全國卷Ⅰ)古希臘時期,人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是(≈0.618,稱為黃金分割比例),著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外,最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是.若某人滿足上述兩個黃金分割比例,且腿長為105 cm,頭頂至脖子下端的長度為26 cm,則其身高可能是(  ) A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm

5、解析:選B.26+26÷0.618+(26+26÷0.618)÷0.618≈178(cm),故其身高可能是175 cm,故選B. 6.根據(jù)統(tǒng)計,一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時間(單位:分鐘)為f(x)=(A,c為常數(shù)).已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時30分鐘,組裝第A件產(chǎn)品用時15分鐘,那么c和A的值分別是(  ) A.75,25 B.75,16 C.60,25 D.60,16 解析:選D.由函數(shù)解析式可以看出,組裝第A件產(chǎn)品所需時間為=15,故組裝第4件產(chǎn)品所需時間為=30,解得c=60,將c=60代入=15,得A=16. 7.?dāng)M定甲、乙兩地通話m分鐘的電話費(fèi)(單位:元)由f(m)=

6、1.06(0.5[m]+1)給出,其中m>0,[m]是不超過m的最大整數(shù)(如[3]=3,[3.7]=3,[3.1]=3),則甲、乙兩地通話6.5分鐘的電話費(fèi)為________元. 解析:因?yàn)閙=6.5,所以[m]=6,則f(m)=1.06×(0.5×6+1)=4.24. 答案:4.24 8.某輛汽車每次加油都把油箱加滿,下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況. 加油時間 加油量(升) 加油時的累計里程(千米) 2016年5月1日 12 35 000 2016年5月15日 48 35 600 注:“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程. 在這段時間內(nèi),該車每100

7、千米平均耗油量為________升. 解析:因?yàn)槊看味及延拖浼訚M,第二次加了48升油,說明這段時間總耗油量為48升,而行駛的路程為35 600-35 000=600(千米),故每100千米平均耗油量為48÷6=8(升).  答案:8 9.(2019·河北唐山模擬)某人計劃購買一輛A型轎車,售價為14.4萬元,購買后轎車每年的保險費(fèi)、汽油費(fèi)、年檢費(fèi)、停車費(fèi)等約需2.4萬元,同時汽車年折舊率約為10%(即這輛車每年減少它的價值的10%),試問,大約使用________年后,用在該車上的費(fèi)用(含折舊費(fèi))達(dá)到14.4萬元. 解析:設(shè)使用x年后花費(fèi)在該車上的費(fèi)用達(dá)到14.4萬元,依題意可得,14

8、.4(1-0.9x)+2.4x=14.4,化簡得x-6×0.9x=0.令f(x)=x-6×0.9x, 易得f(x)為單調(diào)遞增函數(shù),又f(3)=-1.374<0,f(4)=0.063 4>0,所以函數(shù)f(x)在(3,4)上有一個零點(diǎn). 故大約使用4年后,用在該車上的費(fèi)用達(dá)到14.4萬元. 答案:4 10.如圖,已知邊長為8米的正方形鋼板有一個角被銹蝕,其中AE=4米,CD=6米.為了合理利用這塊鋼板,在五邊形ABCDE內(nèi)截取一個矩形BNPM,使點(diǎn)P在邊DE上. (1)設(shè)MP=x米,PN=y(tǒng)米,將y表示成x的函數(shù),并求該函數(shù)的解析式及定義域; (2)求矩形BNPM面積的最大值.

9、解:(1)如圖,作PQ⊥AF于Q,所以PQ=8-y,EQ=x-4, 在△EDF中,=,所以=, 所以y=-x+10,定義域?yàn)閧x|4≤x≤8}. (2)設(shè)矩形BNPM的面積為S, 則S(x)=xy=x=-(x-10)2+50, 所以S(x)是關(guān)于x的二次函數(shù),且其圖象開口向下,對稱軸為直線x=10, 所以當(dāng)x∈[4,8]時,S(x)單調(diào)遞增, 所以當(dāng)x=8時,矩形BNPM的面積取得最大值,最大值為48平方米. 11.“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟(jì)效益好的特點(diǎn).研究表明:“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時,某種魚在一定的條件下,每尾魚的平均生長速度v(單位:千克/年)是養(yǎng)殖密度x(

10、單位:尾/立方米)的函數(shù).當(dāng)x不超過4尾/立方米時,v的值為2千克/年;當(dāng)4

11、)為增函數(shù),故f(x)max=f(4)=4×2=8; 當(dāng)4

12、地月拉格朗日L2點(diǎn)的軌道運(yùn)行,L2點(diǎn)是平衡點(diǎn),位于地月連線的延長線上.設(shè)地球質(zhì)量為M1,月球質(zhì)量為M2,地月距離為R,L2點(diǎn)到月球的距離為r,根據(jù)牛頓運(yùn)動定律和萬有引力定律,r滿足方程:+=(R+r).設(shè)α=,由于α的值很小,因此在近似計算中≈3α3,則r的近似值為(  ) A.R  B.R  C.R  D.R 解析:選D.由+=(R+r),得+=M1.因?yàn)棣粒?,所以+?1+α)M1,得=.由≈3α3,得3α3≈,即3≈,所以r≈·R,故選D. 2.(2019·河北邯鄲聯(lián)考)某企業(yè)準(zhǔn)備投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)對甲產(chǎn)品進(jìn)行促銷宣傳,在一年內(nèi)預(yù)計銷售量y(萬件)與廣告費(fèi)x(萬元)之間的函數(shù)關(guān)系為y

13、=1+(x≥0).已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為4萬元,每生產(chǎn)1萬件此產(chǎn)品仍需再投入30萬元,且能全部售完.若每件甲產(chǎn)品售價(元)定為“平均每件甲產(chǎn)品所占生產(chǎn)成本的150%”與“年平均每件甲產(chǎn)品所占廣告費(fèi)的50%”之和,則當(dāng)廣告費(fèi)為1萬元時,該企業(yè)甲產(chǎn)品的年利潤為(  ) A.30.5萬元 B.31.5萬元 C.32.5萬元 D.33.5萬元 解析:選B.由題意,產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為(30y+4)萬元,銷售單價為×150%+×50%,故年銷售收入為z=·y=45y+6+x.所以年利潤W=z-(30y+4)-x=15y+2-=17+-(萬元).所以當(dāng)廣告費(fèi)為1萬元時,即x=1,該企業(yè)甲產(chǎn)品的年利

14、潤為17+-=31.5(萬元).故選B. 3.食品安全問題越來越引起人們的重視,農(nóng)藥、化肥的濫用對人民群眾的健康帶來一定的危害,為了給消費(fèi)者帶來放心的蔬菜,某農(nóng)村合作社每年投入200萬元,搭建了甲、乙兩個無公害蔬菜大棚,每個大棚至少要投入20萬元,其中甲大棚種西紅柿,乙大棚種黃瓜,根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗(yàn),發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收入P、種黃瓜的年收入Q與投入a(單位:萬元)滿足P=80+4,Q=a+120,設(shè)甲大棚的投入為x(單元:萬元),每年兩個大棚的總收益為f(x)(單位:萬元). (1)求f(50)的值; (2)試問如何安排甲、乙兩個大棚的投入,才能使總收益f(x)最大? 解:(1)由題意知

15、甲大棚投入50萬元, 則乙大棚投入150萬元, 所以f(50)=80+4+×150+120=277.5(萬元). (2)f(x)=80+4+(200-x)+120=-x+4+250,依題意得?20≤x≤180, 故f(x)=-x+4+250(20≤x≤180). 令t=,則t∈[2,6],y=-t2+4t+250=-(t-8)2+282,當(dāng)t=8,即x=128時,f(x)取得最大值,f(x)max=282. 所以甲大棚投入128萬元,乙大棚投入72萬元時,總收益最大,且最大總收益為282萬元. 4.某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開發(fā)某種新能源產(chǎn)品,估計能獲得投資收益的范圍是[10,100]

16、(單位:萬元).現(xiàn)準(zhǔn)備制定一個對科研課題組的獎勵方案:資金y(單位:萬元)隨投資收益x(單位:萬元)的增加而增加且資金不超過5萬元,同時資金不超過投資收益的20%. (1)若建立函數(shù)模型y=f(x)制定獎勵方案,請你根據(jù)題意,寫出獎勵函數(shù)模型應(yīng)滿足的條件; (2)現(xiàn)有兩個獎勵函數(shù)模型:(ⅰ)y=x+1; (ⅱ)y=log2x-2.試分析這兩個函數(shù)模型是否符合公司要求. 解:(1)設(shè)獎勵函數(shù)模型為y=f(x), 則該函數(shù)模型滿足的條件是: ①當(dāng)x∈[10,100]時,f(x)是增函數(shù); ②當(dāng)x∈[10,100]時,f(x)≤5恒成立; ③當(dāng)x∈[10,100]時,f(x)≤恒成立

17、. (2)(a)對于函數(shù)模型(ⅰ)y=x+1, 它在[10,100]上是增函數(shù),滿足條件①; 但當(dāng)x=80時,y=5,因此,當(dāng)x>80時,y>5,不滿足條件②;故該函數(shù)模型不符合公司要求. (b)對于函數(shù)模型(ⅱ)y=log2x-2,它在[10,100]上是增函數(shù),滿足條件①, x=100時,ymax=log2100-2=2log25<5,即f(x)≤5恒成立.滿足條件②, 設(shè)h(x)=log2x-2-x,則h′(x)=-, 又x∈[10,100],所以≤≤, 所以h′(x)≤-<-=0, 所以h(x)在[10,100]上是遞減的,因此h(x)≤h(10)=log210-4<0,即f(x)≤恒成立,滿足條件③, 故該函數(shù)模型符合公司要求. 綜上所述,函數(shù)模型(ⅱ)y=log2x-2符合公司要求. - 8 -

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