2020高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 課時作業(yè)42 理（含解析）新人教A版

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1、課時作業(yè)42　空間幾何體的表面積與體積 1．(2019·湖南五市十校聯(lián)考)如圖，小方格是邊長為1的正方形，一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　D　) A．4π＋96 B．(2＋6)π＋96 C．(4＋4)π＋64 D．(4＋4)π＋96 解析：由三視圖知，該幾何體為一個圓錐和一個正方體的組合體，正方體的棱長為4，圓錐的高為4，底面半徑為2，所以該幾何體的表面積S＝6×42＋π×22＋π×2×＝(4＋4)π＋96. 2．(2019·福建質(zhì)檢)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，俯視圖中的兩條曲線均為圓弧，則該幾何體的體積為(　

2、C　) A．64－ B．64－8π C．64－ D．64－ 解析：由三視圖可知該幾何體是由棱長為4的正方體截去個圓錐和個圓柱所得到的，且圓錐的底面半徑為2，高為4，圓柱的底面半徑為2，高為4，所以該幾何體的體積為43－＝64－.故選C. 3．(2015·全國卷Ⅱ)已知A，B是球O的球面上兩點，∠AOB＝90°，C為該球面上的動點．若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為(　C　) A．36π B．64π C．144π D．256π 解析：∵S△OAB是定值，且VO-ABC＝VC-OAB， ∴當(dāng)OC⊥平面OAB時，VC-OAB最大，即VO-ABC

3、最大． 設(shè)球O的半徑為R，則 (VO-ABC)max＝×R2×R＝R3＝36， ∴R＝6，∴球O的表面積S＝4πR2＝4π×62＝144π. 4．(2019·河南濮陽一模)已知三棱錐A-BCD中，△ABD與△BCD是邊長為2的等邊三角形且二面角A-BD-C為直二面角，則三棱 錐A-BCD的外接球的表面積為(　D　) A. B．5π C．6π D. 解析：如圖，取BD中點M，連接AM，CM，取△ABD，△CBD的中心即AM，CM的三等分點P，Q，過P作平面ABD的垂線，過Q作平面CBD的垂線，兩垂線相交于點O，則點O為外接球的球心，如圖，其中OQ＝，CQ＝， 連接OC，

4、則外接球的半徑R＝OC＝，表面積為4πR2＝，故選D. 　 5．一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，點M是AB上的動點，記四面體EFMC的體積為V1，多面體ADF-BCE的體積為V2，則＝(　B　) 　　 A. B. C. D. 解析：由三視圖可知多面體ADF-BCE是直三棱柱，其底面是等腰直角三角形(直角邊長為a)，且四邊形DFEC與四邊形ABCD都是正方形，它們的邊長均為a. ∵M是AB上的動點，且易知AB∥平面DFEC， ∴點M到平面DFEC的距離等于點B到平面DFEC的距離，距離為a， ∴V1＝VE-FMC＝VM-EFC＝·a·a·a＝， 又V2＝a·a·a

5、＝，故＝＝. 6．某工件的三視圖如圖所示，現(xiàn)將該工件通過切削，加工成一個體積盡可能大的長方體新工件，并使新工件的一個面落在原工件的一個面內(nèi)，則原工件材料的利用率為 (　A　) A. B. C. D. 解析：原工件是一個底面半徑為1，高為2的圓錐，依題意加工后的新工件是圓錐的內(nèi)接長方體，且落在圓錐底面上的面是正方形，設(shè)正方形的邊長為a，長方體的高為h，則0＜a＜，0＜h＜2. 于是＝，h＝2－a. 令f(a)＝V長方體＝a2h＝2a2－a3， ∴f′(a)＝4a－3a2， 當(dāng)f′(a)＝0時，a＝. 易知f(a)max＝f＝. ∴材料利用率＝＝，故選A. 7．

6、(2017·全國卷Ⅱ)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為(　B　) A．90π B．63π C．42π D．36π 解析：由三視圖可知兩個同樣的幾何體可以拼成一個底面直徑為6，高為14的圓柱，所以該幾何體的體積V＝×32×π×14＝63π，故選B. 8．已知三棱錐O-ABC的頂點A，B，C都在半徑為2的球面上，O是球心，∠AOB＝120°，當(dāng)△AOC與△BOC的面積之和最大時，三棱錐O-ABC的體積為(　B　) A. B. C. D. 解析：設(shè)球O的半徑為R， 因為S△A

7、OC＋S△BOC＝R2(sin∠AOC＋sin∠BOC)， 所以當(dāng)∠AOC＝∠BOC＝90°時， S△AOC＋S△BOC取得最大值，此時OA⊥OC， OB⊥OC，又OB∩OA＝O，OA，OB?平面AOB， 所以O(shè)C⊥平面AOB， 所以V三棱錐O-ABC＝V三棱錐C-OAB ＝OC·OA·OBsin∠AOB ＝R3sin∠AOB＝，故選B. 9．某組合體的三視圖如圖所示，則該組合體的體積為?。? 解析：如圖所示，該組合體由一個四棱錐和四分之一個球組成，球的半徑為1，四棱錐的高為球的半徑，四棱錐的底面為等腰梯形，上底為2，下底為1，高為，所以該組合體的體積V＝××(2＋1)

8、××1＋×π×13＝＋. 10．(2018·全國卷Ⅱ)已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB互相垂直，SA與圓錐底面所成角為30°.若△SAB的面積為8，則該圓錐的體積為 　8π　. 解析：設(shè)圓錐底面半徑為r，母線長為l，高為h， 因為母線SA與底面所成的角為30°，所以l＝r. 由△SAB的面積為8得l2＝8， 即×r2＝8，所以r2＝12，h＝r＝2. 所以圓錐的體積為πr2h＝π×12×2＝8π. 11．(2019·江西南昌二中模擬)在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為3的等邊三角形，SA＝，SB＝2，二面角S-AB-C的大小為120°，則此三棱錐的外接球的表面積為　2

9、1π　. 解析：根據(jù)題意得SA2＋AB2＝SB2， 即SA⊥AB. 取AB的中點為D，SB的中點為M， 連接CD、MD，得∠CDM為二面角S-AB-C的平面角， ∴∠MDC＝120°. 如圖，設(shè)三角形ABC的外心為O1， 則O1在CD上，連接BO1，則CO1＝＝BO1，DO1＝. 設(shè)外接球半徑為R， 易知球心為過M垂直面ABS的垂線與過O1垂直面ABC的垂線的交點O. 在四邊形MDO1O中， ∵二面角S-AB-C的平面角∠MDC＝120°， 且MO⊥MD，O1O⊥DO1，MD＝O1D＝， ∴∠ODO1＝60°，OO1＝O1Dtan60°＝， 連接OB，∴R2＝O

10、B2＝OO＋O1B2＝＋3＝， ∴球的表面積S＝4πR2＝21π. 12．如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°. (1)證明：直線BC∥平面PAD； (2)若△PCD的面積為2，求四棱錐P-ABCD的體積． 解：(1)證明：在平面ABCD內(nèi)， 因為∠BAD＝∠ABC＝90°， 所以BC∥AD. 又BC?平面PAD，AD?平面PAD， 故BC∥平面PAD. (2)取AD的中點M，連接PM，CM. 由AB＝BC＝AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四邊形ABCM為正方形， 則CM⊥AD.

11、 因為側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD. 因為CM?底面ABCD，所以PM⊥CM. 設(shè)BC＝x，則CM＝x，CD＝x，PM＝x，PC＝PD＝2x. 取CD的中點N，連接PN， 則PN⊥CD，所以PN＝x. 因為△PCD的面積為2， 所以×x×x＝2， 解得x＝－2(舍去)或x＝2. 于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2. 所以四棱錐P-ABCD的體積V＝××2＝4. 13．《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈；上袤二丈，無廣；高一丈，問

12、：積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊柱的楔體，下底面寬3丈，長4丈；上棱長2丈，高一丈，問它的體積是多少？”已知1丈為10尺，現(xiàn)將該楔體的三視圖給出，其中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1丈，則該楔體的體積為(　A　) A．5 000立方尺 B．5 500立方尺 C．6 000立方尺 D．6 500立方尺 解析：該楔體的直觀圖如圖中的幾何體ABCDEF. 取AB的中點G，CD的中點H， 連接FG，GH，HF，則該幾何體的體積為四棱錐F-GBCH與三棱柱ADE-GHF的體積之和． 又可以將三棱柱ADE-GHF割補成高為EF，底面積為S＝×3×1＝平方丈的一個直棱柱，故

13、該楔體的體積V＝×2＋×2×3×1＝5立方丈＝5 000立方尺． 14．(2019·深圳調(diào)研)如圖所示，在平面四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，將其沿對角線BD折成四面體ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面體ABCD的頂點在同一個球面上，則該球的體積為(　A　) A.　 　 　B．3π C.　 　 　D．2π 解析：如圖，取BD的中點為E，BC的中點為O， 連接AE，OD，EO，AO. 因為AB＝AD，所以AE⊥BD. 由于平面ABD⊥平面BCD， 所以AE⊥平面BCD. 因為AB＝AD＝CD＝1，BD＝， 所以AE＝，EO＝. 所

14、以O(shè)A＝. 在Rt△BDC中，OB＝OC＝OD＝BC＝， 所以四面體ABCD的外接球的球心為O，半徑為. 所以該球的體積V＝π×3＝. 15．(2017·全國卷Ⅰ)如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐．當(dāng)△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為　4　. 解析：解法一：由題意可知，折起后所得三棱錐為正三棱錐， 設(shè)△A

15、BC的邊長為a(a>0)cm， 則△ABC的面積為a2 cm2，點O到△ABC三邊的距離都為a cm，△DBC的高為cm， 則正三棱錐的高為 ＝ cm， ∴25－a>0，∴0

16、D＝＝ cm，AB＝2x cm. 則VD-ABC＝·＝x2·＝x2 cm3， 令f(x)＝x2， 則f′(x)＝ ＝， 則當(dāng)x∈(0,2)時，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(2,2.5)時，f(x)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝2時，體積取最大值，為×4＝4 cm3. 16．(2019·貴陽質(zhì)檢)如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，DC⊥平面ABC，AB＝2，EB＝. (1)求證：DE⊥平面ACD； (2)設(shè)AC＝x，V(x)表示三棱錐B-ACE的體積，求函數(shù)V(x)的解析式及最大值． 解：(1)證明：∵四邊形DCBE為平行四邊形， ∴CD∥BE，BC∥DE. ∵DC⊥平面ABC，BC?平面ABC， ∴DC⊥BC. ∵AB是圓O的直徑， ∴BC⊥AC，且DC∩AC＝C，DC，AC?平面ADC， ∴BC⊥平面ADC. ∵DE∥BC，∴DE⊥平面ADC. (2)∵DC⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC. 在Rt△ABE中，AB＝2，EB＝. 在Rt△ABC中， ∵AC＝x，∴BC＝(0＜x＜2)， ∴S△ABC＝AC·BC＝x·， ∴V(x)＝V三棱錐E-ABC＝x·(0＜x＜2)． ∵x2(4－x2)≤2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x2＝4－x2， 即x＝時取等號， ∴當(dāng)x＝時，體積有最大值. 12