2021版高考數(shù)學一輪復習 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第9講 函數(shù)模型及其應用練習 理 北師大版

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1、第9講 函數(shù)模型及其應用 [基礎題組練] 1．(2020·湖北荊、襄、宜聯(lián)考)某輛汽車每次加油都把油箱加滿，表中記錄了該車相鄰兩次加油時的情況． 加油時間 加油量(升) 加油時累計里程(千米) 2018年10月1日 12 35 000 2018年10月15日 60 35 600 (注：“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程) 在這段時間內，該車每100千米平均耗油量為(　　) A．6升　　　　　　　 B．8升 C．10升 D．12升 解析：選C.因為第二次加滿油箱時加油量為60升，所以從第一次加油到第二次加油共用油60升，行駛了600千米，所以在這段時間

2、內，該車每100千米平均耗油量為＝10(升)．故選C. 2．某家具的標價為132元，若降價以九折出售(即優(yōu)惠10%)，仍可獲利10%(相對于進價)，則該家具的進價是(　　) A．118元 B．105元 C．106元 D．108元 解析：選D.設進價為a元，由題意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.故選D. 3．素數(shù)也叫質數(shù)，法國數(shù)學家馬林·梅森是研究素數(shù)的數(shù)學家中成就很高的一位，因此后人將“2n－1”形式(n是素數(shù))的素數(shù)稱為梅森素數(shù)．已知第20個梅森素數(shù)為P＝24 423－1，第19個梅森素數(shù)為Q＝24 253－1，則下列各數(shù)中與最接近的數(shù)為(參考數(shù)據(jù)：l

3、g 2≈0.3)(　　) A．1045 B．1051 C．1056 D．1059 解析：選B.由題知＝≈2170.令2170＝k，則lg 2170＝lg k，所以170lg 2＝lg k．又lg 2≈0.3，所以51＝lg k，即k＝1051，所以與最接近的數(shù)為1051.故選B. 4．由國家公安部提出，國家質量監(jiān)督檢驗檢疫總局發(fā)布的《車輛駕駛人員血液、呼氣酒精含量閾值與檢驗標準》(GB/T19522－2010)于2011年7月1日正式實施．車輛駕駛人員飲酒后或者醉酒后駕車血液中的酒精含量閾值見表．經(jīng)過反復試驗，一般情況下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人體血液中的變化規(guī)律的“散點圖”如圖，

4、且該圖表示的函數(shù)模型為f(x)＝則該人喝一瓶啤酒后至少經(jīng)過多長時間才可以駕車(時間以整小時計算)？(參考數(shù)據(jù)：ln 15≈2.71，ln 30≈3.40)(　　) 車輛駕駛人員血液酒精含量閾值 駕駛行為類型 閾值(mg/100 mL) 飲酒后駕車 ≥20，<80 醉酒后駕車 ≥80 A．5 h B．6 h C．7 h D．8 h 解析：選B.由題意可知當酒精含量閾值低于20時才可以開車，結合分段函數(shù)建立不等式90e－0.5x＋14<20，解得x>5.42，取整數(shù)，故為6個小時．故選B. 5．加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”．在特定

5、條件下，可食用率p與加工時間t(單位：分鐘)滿足函數(shù)關系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常數(shù))，如圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù)．根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為(　　) A．3.50分鐘　　　　　　　 B．3.75分鐘 C．4.00分鐘 D．4.25分鐘 解析：選B.由題中圖象可知點(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)在函數(shù)圖象上， 因此有 解得故p＝－0.2t2＋1.5t－2，其對稱軸方程為t＝＝＝3.75. 所以當t＝3.75時，p取得最大值． 6．某公司為了業(yè)務發(fā)展制定了一個激勵銷售人員的獎勵方案，在銷售額x為8萬元時，獎勵1萬元．銷售額x為6

6、4萬元時，獎勵4萬元．若公司擬定的獎勵模型為y＝alog4x＋b.某業(yè)務員要得到8萬元獎勵，則他的銷售額應為________萬元． 解析：依題意得， 即解得a＝2，b＝－2. 所以y＝2log4x－2，當y＝8時，即2log4x－2＝8. 解得x＝1 024(萬元)． 答案：1 024 7．某城市對一種售價為每件160元的商品征收附加稅，稅率為R%(即每銷售100元征稅R元)，若年銷售量為萬件，要使附加稅不少于128萬元，則R的取值范圍是______． 解析：根據(jù)題意，要使附加稅不少于128萬元， 需×160×R%≥128， 整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，

7、即R∈[4，8]． 答案：[4，8] 8．(2020·河北唐山模擬)某人計劃購買一輛A型轎車，售價為14.4萬元，購買后轎車每年的保險費、汽油費、年檢費、停車費等約需2.4萬元，同時汽車年折舊率約為10%(即這輛車每年減少它的價值的10%)，試問，大約使用________年后，用在該車上的費用(含折舊費)達到14.4萬元． 解析：設使用x年后花費在該車上的費用達到14.4萬元，依題意可得，14.4(1－0.9x)＋2.4x＝14.4，化簡得x－6×0.9x＝0.令f(x)＝x－6×0.9x， 易得f(x)為增函數(shù)，又f(3)＝－1.374＜0，f(4)＝0.063 4＞0，所以函數(shù)f(

8、x)在(3，4)上有一個零點． 故大約使用4年后，用在該車上的費用達到14.4萬元． 答案：4 9．聲強級Y(單位：分貝)由公式Y＝10lg給出，其中I為聲強(單位：W/m2)． (1)平常人交談時的聲強約為10－6W/m2，求其聲強級； (2)一般常人能聽到的最低聲強級是0分貝，求能聽到最低聲強為多少？ (3)比較理想的睡眠環(huán)境要求聲強級Y≤50分貝，已知熄燈后兩位同學在宿舍說話的聲強為5×10－7W/m2，問這兩位同學是否會影響其他同學休息？ 解：(1)當聲強為10－6W/m2時， 由公式Y＝10lg 得Y＝10lg＝10lg 106＝60(分貝)． (2)當Y＝0時，

9、由公式Y＝10lg 得10lg＝0. 所以＝1，即I＝10－12W/m2， 則常人能聽到的最低聲強為10－12W/m2. (3)當聲強為5×10－7W/m2時， 聲強級Y＝10lg＝10lg(5×105) ＝50＋10lg 5， 因為50＋10lg 5>50， 所以這兩位同學會影響其他同學休息． 10.如圖，已知邊長為8米的正方形鋼板有一個角被銹蝕，其中AE＝4米，CD＝6米．為了合理利用這塊鋼板，在五邊形ABCDE內截取一個矩形BNPM，使點P在邊DE上． (1)設MP＝x米，PN＝y(tǒng)米，將y表示成x的函數(shù)，并求該函數(shù)的解析式及定義域； (2)求矩形BNPM面積的最

10、大值． 解：(1)如圖，作PQ⊥AF于Q，所以PQ＝8－y，EQ＝x－4， 在△EDF中，＝，所以＝， 所以y＝－x＋10，定義域為{x|4≤x≤8}． (2)設矩形BNPM的面積為S， 則S(x)＝xy＝x＝－(x－10)2＋50， 所以S(x)是關于x的二次函數(shù)，且其圖象開口向下，對稱軸為直線x＝10， 所以當x∈[4，8]時，S(x)是增加的， 所以當x＝8時，矩形BNPM的面積取得最大值，最大值為48平方米． [綜合題組練] 1．(2019·高考全國卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就，實現(xiàn)月球

11、背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系．為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點的軌道運行，L2點是平衡點，位于地月連線的延長線上．設地球質量為M1，月球質量為M2，地月距離為R，L2點到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：＋＝(R＋r)·.設α＝，由于α的值很小，因此在近似計算中≈3α3，則r的近似值為(　　) A.R　 B．R　　 C.R　 D．R 解析：選D.由＋＝(R＋r)，得＋＝M1.因為α＝，所以＋＝(1＋α)M1，得＝.由≈3α3，得3α3≈，即3≈，所以r ≈ ·R，故選D. 2.某種熱飲

12、需用開水沖泡，其基本操作流程如下：①先將水加熱到100 ℃，水溫y(℃)與時間t(min)近似滿足一次函數(shù)關系；②用開水將熱飲沖泡后在室溫下放置，溫度y(℃)與時間t(min)近似滿足的函數(shù)關系式為y＝80＋b(a，b為常數(shù))．通常這種熱飲在40 ℃時口感最佳．某天室溫為20 ℃時，沖泡熱飲的部分數(shù)據(jù)如圖所示，那么按上述流程沖泡一杯熱飲，并在口感最佳時飲用，最少需要的時間為(　　) A．35 min B．30 min C．25 min D．20 min 解析：選C.由題意知，當0≤t≤5時，函數(shù)圖象是一條線段；當t≥5時，函數(shù)的解析式為y＝80＋b.將點(5，100)和點(15，

13、60)代入解析式可得解得a＝5，b＝20，故函數(shù)的解析式為y＝80＋20，t≥5.令y＝40，解得t＝25，所以最少需要的時間為25 min.故選C. 3．新修的個人所得稅法在過渡期對納稅個人按照下表計算個人所得稅，值得注意的是起征點變?yōu)? 000元，即如表中“全月應納稅所得額”是納稅者的月薪收入減去5 000 元后的余額． 級數(shù) 全月應納稅所得額 稅率 1 不超過3 000元的部分 3% 2 超過3 000元至12 000元的部分 10% 3 超過12 000元至25 000元的部分 20% … … … 某企業(yè)員工今年10月份的月工資為15 000元，則應繳

14、納的個人所得稅為______元． 解析：由企業(yè)員工今年10月份的月工資為15 000元知，其個人所得稅屬于2級，則應繳納的個人所得稅為 (15 000－5 000－3 000)×10%＋3 000×3%＝700＋90＝790(元)． 答案：790 4．某企業(yè)準備投入適當?shù)膹V告費對甲產(chǎn)品進行促銷宣傳，在一年內預計銷售量y(萬件)與廣告費x(萬元)之間的函數(shù)關系為y＝1＋(x≥0)．已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為4萬元，每生產(chǎn)1萬件此產(chǎn)品仍需再投入30萬元，且能全部售完．若每件甲產(chǎn)品售價(元)定為“平均每件甲產(chǎn)品所占生產(chǎn)成本的150%”與“年平均每件甲產(chǎn)品所占廣告費的50%”之和，則當廣告費

15、為1萬元時，該企業(yè)甲產(chǎn)品的年利潤為______萬元． 解析：由題意，產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為(30y＋4)萬元，銷售單價為×150%＋×50%，故年銷售收入為z＝·y＝45y＋6＋x.所以年利潤W＝z－(30y＋4)－x＝15y＋2－＝17＋－(萬元)．所以當廣告費為1萬元時，即x＝1，該企業(yè)甲產(chǎn)品的年利潤為17＋－＝31.5(萬元)． 答案：31.5 5．已知美國某手機品牌公司生產(chǎn)某款手機的年固定成本為40萬美元，每生產(chǎn)1萬部還需另投入16萬美元．設該公司一年內共生產(chǎn)該款手機x萬部并全部銷售完，每萬部的銷售收入為R(x)萬美元，且R(x)＝ (1)寫出年利潤W(萬美元)關于年產(chǎn)量x(萬部)的

16、函數(shù)解析式； (2)當年產(chǎn)量為多少萬部時，公司在該款手機的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤． 解：(1)當040時，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－－16x＋7 360. 所以W＝ (2)①當040時，W＝－－16x＋7 360， 由于＋16x≥2＝1 600， 當且僅當＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)時，取等號， 所以此時W的最大值為5 760. 綜合①②知， 當x＝32時，W取

17、得最大值為6 104萬美元． 6．食品安全問題越來越引起人們的重視，農(nóng)藥、化肥的濫用對人民群眾的健康帶來一定的危害，為了給消費者帶來放心的蔬菜，某農(nóng)村合作社每年投入200萬元，搭建了甲、乙兩個無公害蔬菜大棚，每個大棚至少要投入20萬元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜，根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收入P、種黃瓜的年收入Q與投入a(單位：萬元)滿足P＝80＋4，Q＝a＋120，設甲大棚的投入為x(單位：萬元)，每年兩個大棚的總收益為f(x)(單位：萬元)． (1)求f(50)的值； (2)試問如何安排甲、乙兩個大棚的投入，才能使總收益f(x)最大？ 解：(1)由題意知甲大棚投入50萬元， 則乙大棚投入150萬元， 所以f(50)＝80＋4＋×150＋120＝277.5(萬元)． (2)f(x)＝80＋4＋(200－x)＋120＝－x＋4＋250，依題意得?20≤x≤180， 故f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180)． 令t＝，則t∈[2，6]，y＝－t2＋4t＋250＝－(t－8)2＋282，當t＝8，即x＝128時，f(x)取得最大值，f(x)max＝282. 所以甲大棚投入128萬元，乙大棚投入72萬元時，總收益最大，且最大總收益為282萬元． 9