2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第6講 離散型隨機變量及其分布列練習(xí) 理 北師大版

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1、第6講 離散型隨機變量及其分布列 [基礎(chǔ)題組練] 1．(2020·河北保定模擬)若離散型隨機變量X的分布列如下表，則常數(shù)c的值為(　　) X 0 1 P 9c2－c 3－8c A.或　　　　　　 B． C. D．1 解析：選C.由隨機變量的分布列的性質(zhì)知，0≤9c2－c≤1，0≤3－8c≤1，9c2－c＋3－8c＝1，解得c＝.故選C. 2．(2020·陜西咸陽模擬)設(shè)隨機變量ξ的概率分布列為P(ξ＝k)＝a，其中k＝0，1，2，那么a的值為(　　) A. B． C. D． 解析：選D.因為隨機變量ξ的概率分布列為P(ξ＝k)＝a，其中k＝0，1，2，所以

2、P(ξ＝0)＝a＝a，P(ξ＝1)＝a＝，P(ξ＝2)＝a＝，所以a＋＋＝1，解得a＝.故選D. 3．在15個村莊中有7個村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個村莊，用X表示這10個村莊中交通不方便的村莊數(shù)，則下列概率中等于的是(　　) A．P(X＝2) B．P(X≤2) C．P(X＝4) D．P(X≤4) 解析：選C.X服從超幾何分布，P(X＝k)＝，故k＝4，故選C. 4．一袋中裝有5個球，編號為1，2，3，4，5，在袋中同時取出3個，以ξ表示取出的三個球中的最小號碼，則隨機變量ξ的分布列為(　　) A. ξ 1 2 3 P B. ξ 1 2

3、 3 4 P C. ξ 1 2 3 P D. ξ 1 2 3 P 解析：選C.隨機變量ξ的可能取值為1，2，3，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，故選C. 5．已知在10件產(chǎn)品中可能存在次品，從中抽取2件檢查，其中次品數(shù)為ξ，已知P(ξ＝1)＝，且該產(chǎn)品的次品率不超過40%，則這10件產(chǎn)品的次品率為(　　) A．10% B．20% C．30% D．40% 解析：選B.設(shè)10件產(chǎn)品中有x件次品，則P(ξ＝1)＝＝＝，所以x＝2或8.因為次品率不超過40%，所以x＝2，所以次品率為＝2

4、0%. 6．在含有3件次品的10件產(chǎn)品中，任取4件，X表示取到的次品數(shù)，則P(X＝2)＝________． 解析：由題意知，X服從超幾何分布， 其中N＝10，M＝3，n＝4， 故P(X＝2)＝＝. 答案： 7．從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，則所選3人中女生人數(shù)不超過1人的概率是________． 解析：設(shè)所選女生人數(shù)為X，則X服從超幾何分布， 則P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝. 答案： 8．隨機變量X的分布列如下： X －1 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范

5、圍是________． 解析：因為a，b，c成等差數(shù)列，所以2b＝a＋c. 又a＋b＋c＝1，所以b＝， 所以P(|X|＝1)＝a＋c＝. 又a＝－d，c＝＋d， 根據(jù)分布列的性質(zhì)，得0≤－d≤，0≤＋d≤， 所以－≤d≤. 答案：　[－，] 9．(2020·宿州模擬)某市某超市為了回饋新老顧客，決定在2020年元旦來臨之際舉行“慶元旦，迎新年”的抽獎派送禮品活動．為設(shè)計一套趣味性抽獎送禮品的活動方案，該超市面向該市某高中學(xué)生征集活動方案，該中學(xué)某班數(shù)學(xué)興趣小組提供的方案獲得了征用．方案如下：將一個4×4×4的正方體各面均涂上紅色，再把它分割成64個相同的小正方體．經(jīng)過攪拌后，

6、從中任取兩個小正方體，記它們的著色面數(shù)之和為ξ，記抽獎一次中獎的禮品價值為η. (1)求P(ξ＝3)． (2)凡是元旦當(dāng)天在該超市購買物品的顧客，均可參加抽獎．記抽取的兩個小正方體著色面數(shù)之和為6，設(shè)為一等獎，獲得價值50元的禮品；記抽取的兩個小正方體著色面數(shù)之和為5，設(shè)為二等獎，獲得價值30元的禮品；記抽取的兩個小正方體著色面數(shù)之和為4，設(shè)為三等獎，獲得價值10元的禮品，其他情況不獲獎．求某顧客抽獎一次獲得的禮品價值的分布列與數(shù)學(xué)期望． 解：(1)64個小正方體中，三面著色的有8個，兩面著色的有24個，一面著色的有24個，另外8個沒有著色， 所以P(ξ＝3)＝＝＝. (2)ξ的所有

7、可能取值為0，1，2，3，4，5，6，η的取值為50，30，10，0， P(η＝50)＝P(ξ＝6)＝＝＝， P(η＝30)＝P(ξ＝5)＝＝＝， P(η＝10)＝P(ξ＝4)＝＝＝， P(η＝0)＝1－－－＝. 所以η的分布列如下： η 50 30 10 0 P 所以Eη＝50×＋30×＋10×＋0×＝. 10．(2020·三明模擬)為了防止受到核污染的產(chǎn)品影響民眾的身體健康，某地要求這種產(chǎn)品在進入市場前必須進行兩輪苛刻的核輻射檢測，只有兩輪檢測都合格才能上市銷售，否則不能銷售．已知該產(chǎn)品第一輪檢測不合格的概率為，第二輪檢測不合格的概率為，每輪檢測結(jié)

8、果只有“合格”、“不合格”兩種，且兩輪檢測是否合格相互之間沒有影響． (1)求該產(chǎn)品不能上市銷售的概率； (2)如果這種產(chǎn)品可以上市銷售，則每件產(chǎn)品可獲利50元；如果這種產(chǎn)品不能上市銷售，則每件產(chǎn)品虧損80元(即獲利為－80元)．現(xiàn)有這種產(chǎn)品4件，記這4件產(chǎn)品獲利的金額為X元，求X的分布列． 解：(1)記“該產(chǎn)品不能上市銷售”為事件A， 則P(A)＝1－＝， 所以該產(chǎn)品不能上市銷售的概率為. (2)由已知可知X的取值為－320，－190，－60，70，200. P(X＝－320)＝C＝， P(X＝－190)＝C＝， P(X＝－60)＝C＝＝， P(X＝70)＝C＝， P(

9、X＝200)＝C＝. 所以X的分布列為 X －320 －190 －60 70 200 P [綜合題組練] 1．(2020·唐山模擬)我國城市空氣污染指數(shù)范圍及相應(yīng)的空氣質(zhì)量類別如下表： 空氣污染指數(shù) 0～50 51～100 101～150 151～200 201～250 251～300 >300 空氣質(zhì)量 優(yōu) 良 輕微污染 輕度污染 中度污染 中度重污染 重污染 我們把空氣污染指數(shù)在0～100內(nèi)的稱為A類天，在101～200內(nèi)的稱為B類天，大于200的稱為C類天．某市從2014年全年空氣污染指數(shù)的監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機抽取了

10、18天的數(shù)據(jù)制成如下莖葉圖(百位為莖)： (1)從這18天中任取3天，求至少含2個A類天的概率； (2)從這18天中任取3天，記X是達到A類天或B類天的天數(shù)，求X的分布列． 解：(1)從這18天中任取3天，取法種數(shù)為C＝816，3天中至少有2個A類天的取法種數(shù)為CC＋C＝46，所以這3天至少有2個A類天的概率為. (2)X的所有可能取值是3，2，1，0. 當(dāng)X＝3時，P(X＝3)＝＝， 當(dāng)X＝2時，P(X＝2)＝＝， 當(dāng)X＝1時，P(X＝1)＝＝＝， 當(dāng)X＝0時，P(X＝0)＝＝＝. 所以X的分布列為 X 3 2 1 0 P 2.(2020·

11、湖南邵陽聯(lián)考)為了讓貧困地區(qū)的孩子們過一個溫暖的冬天，某校陽光志愿者社團組織了“這個冬天不再冷”冬衣募捐活動，共有50名志愿者參與．志愿者的工作內(nèi)容有兩項：①到各班宣傳，倡議同學(xué)們積極捐獻冬衣；②整理、打包募捐上來的衣物．每位志愿者根據(jù)自身實際情況，只參與其中的某一項工作，相關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示： 到班級宣傳 整理、打包衣物 總計 20人 30人 50人 (1)如果用分層抽樣的方法從這50名志愿者中抽取5人，再從這5人中隨機選2人，求至少有1人是參與班級宣傳的志愿者的概率； (2)若參與班級宣傳的志愿者中有12名男生，8名女生，從中選出2名志愿者，用X表示女生人數(shù)，寫出隨機變量

12、X的分布列及數(shù)學(xué)期望． 解：(1)用分層抽樣的方法，抽樣比是＝， 所以5人中參與班級宣傳的志愿者有20×＝2(人)， 參與整理、打包衣物的志愿者有30×＝3(人)， 故所求概率P＝1－＝. (2)X的所有可能取值為0，1，2， 則P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， 所以X的分布列為 X 0 1 2 P 所以X的數(shù)學(xué)期望EX＝0×＋1×＋2×＝. 3．(2020·安徽宿州三調(diào))為了適當(dāng)疏導(dǎo)電價矛盾，保障電力供應(yīng)，支持可再生能源發(fā)展，促進節(jié)能減排，安徽省推出了省內(nèi)居民階梯電價的計算標(biāo)準(zhǔn)：以一個年度為計費周期、月度滾動使用．第一階梯

13、：年用電量在2 160度以下(含2 160度)，執(zhí)行第一檔電價0.565 3元/度；第二階梯：年用電量在2 161度到4 200度內(nèi)(含4 200度)，超出2 160度的電量執(zhí)行第二檔電價0.615 3元/度；第三階梯：年用電量在4 200度以上，超出4 200度的電量執(zhí)行第三檔電價0.865 3元/度． 某市的電力部門從本市的用戶中隨機抽取10戶，統(tǒng)計其同一年度的用電情況，列表如下： 用戶編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年用電量/度 1 000 1 260 1 400 1 824 2 180 2 423 2 815 3 325 4

14、411 4 600 (1)計算表中編號10的用戶該年應(yīng)交的電費； (2)現(xiàn)要在這10戶中任意選取4戶，對其用電情況進行進一步分析，求取到第二階梯的戶數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望． 解：(1)因為第二檔電價比第一檔電價每度多0.05元， 第三檔電價比第一檔電價每度多0.3元， 編號為10的用戶一年的用電量是4 600度， 所以該戶該年應(yīng)交電費 4 600×0.565 3＋(4 200－2 160)×0.05＋(4 600－4 200)×0.3＝2 822.38(元)． (2)設(shè)取到第二階梯的戶數(shù)為X， 易知第二階梯的有4戶，則X的所有可能取值為0，1，2，3，4. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝， 故X的分布列是 X 0 1 2 3 4 P 所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝. 8