2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時(shí)集訓(xùn)27 解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例 文 北師大版

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1、課后限時(shí)集訓(xùn)27 解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例 建議用時(shí)：45分鐘 一、選擇題 1．一名學(xué)生在河岸上緊靠河邊筆直行走，某時(shí)刻測得河對岸靠近河邊處的參照物與學(xué)生前進(jìn)方向成30°角．前進(jìn)200 m后，測得該參照物與前進(jìn)方向成75°角，則河的寬度為(　　) A．50(＋1)m　　　　 B．100(＋1)m C．50 m D．100 m A　[如圖所示，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，AB＝200 m，由正弦定理，得BC＝＝100(m)，所以河的寬度為BCsin 75°＝100×＝50(＋1)(m)．] 2．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，

2、b，c，且cos 2A＋cos 2B＝2cos 2C，則cos C的最小值為(　　) A. B. C. D．－ C　[因?yàn)閏os 2A＋cos 2B＝2cos 2C，所以1－2sin2A＋1－2sin2B＝2－4sin2C，得a2＋b2＝2c2，cos C＝＝≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號成立，故選C.] 3．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知(a＋b－c)(a＋b＋c)＝3ab，且c＝4，則△ABC面積的最大值為(　　) A．8 B．4 C．2 D. B　[由已知等式得a2＋b2－c2＝ab，則cos C＝＝＝.由C∈(0，π)，所以sin C＝.又16＝c

3、2＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab，則ab≤16，所以S△ABC＝absin C≤×16×＝4.故Smax＝4.故選B.] 4．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2c·cos B＝2a＋b，若△ABC的面積為S＝c，則ab的最小值為(　　) A．8 B．10 C．12 D．14 C　[在△ABC中，由已知及正弦定理可得2sin Ccos B＝2sin A＋sin B＝2sin(B＋C)＋sin B，即2sin Ccos B＝2sin Bcos C＋2sin Ccos B＋sin B，所以2sin Bcos C＋sin B＝0.因?yàn)閟in B≠0，所以cos C＝

4、－，C＝.由于△ABC的面積為S＝ab·sin C＝ab＝c，所以c＝ab.由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab·cos C，整理可得a2b2＝a2＋b2＋ab≥3ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，取等號，所以ab≥12.] 5．在△ABC中，sin B＝，BC邊上的高為AD，D為垂足，且BD＝2CD，則cos∠BAC＝(　　) A．－ B. C．－ D. A　[依題意設(shè)CD＝x，AD＝y(tǒng)，則BD＝2x，BC＝3x.因?yàn)閟in B＝，所以AB＝＝3y.因?yàn)锽C邊上的高為AD，如圖所示，所以AB2＝AD2＋BD2＝y(tǒng)2＋4x2＝9y2，即x＝y(tǒng).所以AC＝＝＝y(tǒng).根據(jù)余弦定理得cos∠BAC＝＝

5、＝＝－.故選A.] 二、填空題 6．一船向正北航行，看見正西方向相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見一燈塔在船的南偏西60°，另一燈塔在船的南偏西75°，則這艘船的速度是每小時(shí)________海里． 10　[如圖所示，依題意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°， 所以∠CAD＝∠CDA＝15°，從而CD＝CA＝10， 在Rt△ABC中，得AB＝5， 于是這艘船的速度是＝10(海里/時(shí))．] 7．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足asin B＝bcos A．若a＝4，則△ABC周長的最大值為________． 12　[由正

6、弦定理＝，可將asin B＝bcos A轉(zhuǎn)化為sin Asin B＝sin Bcos A. 又在△ABC中，sin B＞0，∴sin A＝cos A， 即tan A＝. ∵0＜A＜π，∴A＝.由于a＝4，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，得16＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，又bc≤，∴(b＋c)2≤64，即b＋c≤8，∴a＋b＋c≤12.] 8.如圖，在△ABC中，D是邊AC上的點(diǎn)，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，則sin C的值為________． 　[設(shè)AB＝a，∵AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，∴AD＝a，B

7、D＝，BC＝. 在△ABD中，cos∠ADB＝＝， ∴sin∠ADB＝，∴sin∠BDC＝. 在△BDC中，＝， ∴sin C＝＝.] 三、解答題 9.在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝，∠A＝120°，BD＝3. (1)求AD的長； (2)若∠BCD＝105°，求四邊形ABCD的面積． [解](1)∵在△ABD中，AB＝，∠A＝120°，BD＝3， ∴由余弦定理得cos 120°＝，解得AD＝(AD＝－2舍去)，∴AD的長為. (2)∵AD∥BC，∠A＝120°，BD＝3，AB＝AD＝，∠BCD＝105°， ∴∠DBC＝30°，∠BDC＝45°，∴由正弦定理得

8、＝＝，解得BC＝3－3，DC＝. 如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BD，交BD于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥BD，交BD于點(diǎn)F， 則AE＝AB＝，CF＝BC＝， ∴四邊形ABCD的面積S＝S△ABD＋S△BDC＝BD·(AE＋CF) ＝×3×＝. 10．(2019·綿陽模擬)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，且2csin B＝3atan A. (1)求的值； (2)若a＝2，求△ABC面積的最大值． [解](1)∵2csin B＝3atan A， ∴2csin Bcos A＝3asin A， 由正弦定理得2cbcos A＝3a2， 由余弦定理得2cb·＝3a2，化簡得b2＋

9、c2＝4a2， ∴＝4. (2)∵a＝2，由(1)知b2＋c2＝4a2＝16， ∴由余弦定理得cos A＝＝， 根據(jù)基本不等式得b2＋c2≥2bc，即bc≤8，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)，等號成立，∴cos A≥＝. 由cos A＝，得bc＝，且A∈， ∴△ABC的面積S＝bcsin A＝××sin A＝3tan A. ∵1＋tan2A＝1＋＝＝， ∴tan A＝≤＝.∴S＝3tan A≤. ∴△ABC面積的最大值為. 1．△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知cos C＋cos A＝1，則cos B的取值范圍為(　　) A.　　　　　 B. C. D. D

10、　[∵cos C＋cos A＝1， ∴由余弦定理可得·＋·＝1，化簡可得b2＝ac， 則cos B＝＝≥＝， ∴≤cos B＜1，即cos B∈.故選D.] 2．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若sin B＋2sin Acos C＝0，則當(dāng)cos B取最小值時(shí)，＝(　　) A. B. C．2 D. B　[由sin B＋2sin Acos C＝0，根據(jù)正弦定理和余弦定理得b＋2a·＝0， ∴a2＋2b2－c2＝0，∴b2＝，∴cos B＝＝＝＋≥，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即＝時(shí)取等號，cos B取最小值.故選B.] 3.如圖所示，在△ABC中，C＝，BC＝4，點(diǎn)D在邊A

11、C上，AD＝DB，DE⊥AB，E為垂足，若DE＝2，則cos A＝________. 　[∵AD＝DB，∴∠A＝∠ABD， ∴∠BDC＝2∠A.設(shè)AD＝DB＝x， ∴在△BCD中，＝，可得＝. ① 在△AED中，＝， 可得＝. ② 聯(lián)立①②可得＝，解得cos A＝.] 4．(2019·石家莊模擬)已知△ABC的面積為3，且內(nèi)角A，B，C依次成等差數(shù)列． (1)若sin C＝3sin A，求邊AC的長； (2)設(shè)D為AC邊的中點(diǎn)，求線段BD長的最小值． [解](1)∵△ABC的內(nèi)角A，B，C依次成等差數(shù)列， ∴B＝60°. 設(shè)A，B，C所對的邊分別為a，b，c，

12、由△ABC的面積S＝3＝acsin B可得ac＝12. ∵sin C＝3sin A，∴由正弦定理知c＝3a，∴a＝2，c＝6. △ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝28，∴b＝2. 即邊AC的長為2. (2)∵BD是AC邊上的中線，∴＝(＋)， ∴2＝(2＋2＋2·)＝(a2＋c2＋2accos∠ABC) ＝(a2＋c2＋ac)≥(2ac＋ac)＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)取“＝”． ∴||≥3，即BD長的最小值為3. 1. (2019·福建寧德質(zhì)檢)海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被譽(yù)為“地球給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上已知最深的海洋

13、藍(lán)洞．若要測量如圖所示的海洋藍(lán)洞的口徑(即A，B兩點(diǎn)間的距離)，現(xiàn)取兩點(diǎn)C，D，測得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，則圖中海洋藍(lán)洞的口徑為________． 80　[由已知得，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°， 所以∠DAC＝15°， 由正弦定理得AC＝＝＝40(＋)． 在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°， 由正弦定理＝，得BC＝＝＝160sin 15°＝40(－)． 在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1 600×(8＋4)＋1 600×(8－4)＋2×1 600×(＋)×

14、(－)×＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20＝32 000， 解得AB＝80. 故題圖中海洋藍(lán)洞的口徑為80.] 2．(2019·福州質(zhì)檢)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，CD＝5，CE＝3，且△EDC的面積為3. (1)求邊DE的長； (2)若AD＝3，求sin A的值． [解](1)如圖，在△ECD中，S△ECD＝CE·CDsin∠DCE＝×3×5×sin∠DCE＝3，所以sin∠DCE＝， 因?yàn)?°＜∠DCE＜90°， 所以cos∠DCE＝＝. 所以DE2＝CE2＋CD2－2CD·CEcos∠DCE＝9＋25－2×3×5×＝28， 所以DE＝2. (2)因?yàn)椤螦CB＝90°，所以sin∠ACD＝sin(90°－∠DCE)＝cos∠DCE＝， 在△ADC中，由正弦定理得＝， 即＝，所以sin A＝. - 8 -