2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時集訓(xùn)32 數(shù)列的概念與簡單表示法 文 北師大版

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1、課后限時集訓(xùn)32 數(shù)列的概念與簡單表示法 建議用時：45分鐘 一、選擇題 1．已知數(shù)列，，，…，，，則3是這個數(shù)列的(　　) A．第20項　　　　　 B．第21項 C．第22項 D．第23項 C　[由題意知，數(shù)列的通項公式為an＝，令＝3得n＝22，故選C.] 2．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2，則a8的值為(　　) A．15　　　　B．16　　　　C．49　　　　D．64 A　[當(dāng)n＝8時，a8＝S8－S7＝82－72＝15.] 3．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2(an－1)，則an＝(　　) A．2n B．2n－1 C．2n D．2n－1 C

2、　[當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝2(a1－1)，可得a1＝2，當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，所以an＝2an－1，所以數(shù)列{an}為等比數(shù)列，公比為2，首項為2，所以an＝2n.] 4．(2019·石家莊模擬)若數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝，則a2 020的值為(　　) A．2 B．－3 C．－ D. D　[由題意知，a2＝＝－3，a3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝2，a6＝＝－3，…， 因此數(shù)列{an}是周期為4的周期數(shù)列， ∴a2 020＝a505×4＝a4＝.故選D.] 5．已知數(shù)列{an}滿足a1＝3,2an＋1＝an＋1，則an＝(　　)

3、A．2n－2＋1 B．21－n＋1 C．2n＋1 D．22－n＋1 D　[由2an＋1＝an＋1得2(an＋1－1)＝an－1， 即an＋1－1＝(an－1)，又a1＝3， ∴數(shù)列{an－1}是首項為a1－1＝2，公比為的等比數(shù)列， ∴an－1＝2×＝22－n， ∴an＝22－n＋1，故選D.] 二、填空題 6．若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－n，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________. n－1　[當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝. 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2－n－＝－1. 又a1＝適合上式，則an＝n－1.] 7．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝an

4、－1(n≥2)，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________. 　[由an＝an－1得＝， ∴an＝××…××a1 ＝××…××1＝. 當(dāng)n＝1時，a1＝1適合上式． 故an＝.] 8．已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，an＋1＝an＋2n－1，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________. (n－1)2　[由題意知an－an－1＝2n－3(n≥2)， 則an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝(2n－3)＋(2n－5)＋…＋3＋1 ＝＝(n－1)2.] 三、解答題 9．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn. (1)若Sn＝(－1)n

5、＋1·n，求a5＋a6及an； (2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an. [解](1)因為a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2， 當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝1，當(dāng)n≥2時， an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)＝(－1)n＋1·[n＋(n－1)]＝(－1)n＋1·(2n－1)， 又a1也適合此式，所以an＝(－1)n＋1·(2n－1)． (2)因為當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝6， 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2×3n－1＋2. 由于a1不適合此式，所以an＝ 10．已知Sn為正項數(shù)列{a

6、n} 的前n項和，且滿足Sn＝a＋an(n∈N*)． (1)求a1，a2，a3，a4的值； (2)求數(shù)列{an}的通項公式． [解](1)由Sn＝a＋an(n∈N*)， 可得a1＝a＋a1，解得a1＝1； S2＝a1＋a2＝a＋a2， 解得a2＝2； 同理a3＝3，a4＝4. (2)Sn＝a＋an， ① 當(dāng)n≥2時，Sn－1＝a＋an－1， ② ①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0. 由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1， 又由(1)知a1＝1， 故數(shù)列{an}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，故an＝n. 1．已知各項都為正數(shù)的數(shù)列

7、{an}滿足a－an＋1an－2a＝0，且a1＝2，則數(shù)列{an}的通項公式為(　　) A．a(chǎn)n＝2n－1　　　 B．a(chǎn)n＝3n－1 C．a(chǎn)n＝2n D．a(chǎn)n＝3n C　[∵a－an＋1an－2a＝0， ∴(an＋1＋an)(an＋1－2an)＝0. ∵數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)， ∴an＋1＋an＞0， ∴an＋1－2an＝0，即an＋1＝2an(n∈N*)， ∴數(shù)列{an}是以2為公比的等比數(shù)列． ∵a1＝2，∴an＝2n.] 2．已知正項數(shù)列{an}中，＋＋…＋＝，則數(shù)列{an}的通項公式為(　　) A．a(chǎn)n＝n B．a(chǎn)n＝n2 C．a(chǎn)n＝ D．a(chǎn)n＝ B　[∵

8、＋＋…＋＝， ∴＋＋…＋＝(n≥2)， 兩式相減得＝－＝n(n≥2)，∴an＝n2(n≥2)，① 又當(dāng)n＝1時，＝＝1，a1＝1，適合①式，∴an＝n2，n∈N*.故選B.] 3．(2015·全國卷Ⅱ)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝________. －　[∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1， ∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1. ∵Sn≠0，∴－＝1，即－＝－1. 又＝－1，∴是首項為－1，公差為－1的等差數(shù)列． ∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n， ∴Sn＝－.] 4．(2016·全國卷Ⅲ)已知各項都為正數(shù)

9、的數(shù)列{an}滿足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0. (1)求a2，a3； (2)求{an}的通項公式． [解](1)由題意可得a2＝，a3＝. (2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得 2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)． 因為{an}的各項都為正數(shù)，所以＝. 故{an}是首項為1，公比為的等比數(shù)列，因此an＝. 1．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a－9＝4(Sn－n)，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________. 2n＋3　[當(dāng)n＝1時，a－9＝4(a1－1)，得a1＝5或a1＝－1(舍去)．當(dāng)n≥2時，a

10、－9＝4(Sn－1－n＋1)，所以a－a＝4an－4，整理得(an－2)2＝a.因為數(shù)列{an}的 各項均為正數(shù)，所以an－2＝an－1，即an－an－1＝2(n≥2)，所以數(shù)列{an}是以5為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以an＝5＋(n－1)×2＝2n＋3.] 2．已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝n2＋kn＋4. (1)若k＝－5，則數(shù)列中有多少項是負數(shù)？n為何值時，an有最小值？并求出最小值； (2)對于n∈N*，都有an＋1>an，求實數(shù)k的取值范圍． [解](1)由n2－5n＋4<0，解得1an知該數(shù)列是一個遞增數(shù)列， 又因為通項公式an＝n2＋kn＋4可以看作是關(guān)于n的二次函數(shù)，考慮到n∈N*，所以－<，即得k>－3. 所以實數(shù)k的取值范圍為(－3，＋∞)． - 5 -