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1、課后限時集訓35
等比數(shù)列及其前n項和
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一、選擇題
1．等比數(shù)列x,3x＋3,6x＋6，…的第四項等于( )
A．－24 B．0
C．12 D．24
A [由x,3x＋3,6x＋6成等比數(shù)列，知(3x＋3)2＝x·(6x＋6)，解得x＝－3或x＝－1(舍去)．所以此等比數(shù)列的前三項為－3，－6，－12.故第四項為－24，選A.]
2．(2019·日照一模)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＋a3＝，且a2＋a4＝，則＝( )
A．4n－1 B．4n－1
C．2n－1 D．2n－1
D [設等比數(shù)列{an}的公比為q，
2、則，
解得
∴＝＝＝2n－1.故選D.]
3．(2019·湖南湘東五校聯(lián)考)已知在等比數(shù)列{an}中，a3＝7，前三項之和S3＝21，則公比q的值是( )
A．1 B．－
C．1或－ D．－1或
C [當q＝1時，a3＝7，S3＝21，符合題意；當q≠1時，得q＝－.綜上，q的值是1或－，故選C.]
4．等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝32n－1＋r，則r的值為( )
A. B．－
C. D．－
B [當n＝1時，a1＝S1＝3＋r，
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝32n－1－32n－3
＝32n－3(32－1)＝8·32n－3＝8·32n－2·3－1＝·9n
3、－1，
所以3＋r＝，
即r＝－，故選B.]
5．(2019·鄂爾多斯模擬)中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)綜》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還”．其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地”．則該人第五天走的路程為( )
A．6里 B．12里
C．24里 D．48里
B [記每天走的路程里數(shù)為{an}，由題意知{an}是公比為的等比數(shù)列，由S6＝378，得S6＝＝378，解得a1＝192，∴a5＝192×＝12(里)．故選B.]
二、
4、填空題
6．已知1，a1，a2,4成等差數(shù)列，1，b1，b2，b3,4成等比數(shù)列，則的值________．
[由題意得a1＋a2＝5，b＝4，又b2與第一項的符號相同，所以b2＝2.所以＝.]
7．在14與之間插入n個數(shù)組成等比數(shù)列，若各項之和為，則此數(shù)列的項數(shù)為________．
5 [設此等比數(shù)列為{am}，公比為q，則該數(shù)列共有n＋2項．∵14≠，∴q≠1.由等比數(shù)列的前n項和公式，得＝，解得q＝－，
∴an＋2＝14×n＋2－1＝，即n＋1＝，解得n＝3，∴該數(shù)列共有5項．]
8．各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝2，S3n＝14，則S4n＝____
5、____.
30 [由題意知公比大于0，由等比數(shù)列性質知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…仍為等比數(shù)列．
設S2n＝x，則2，x－2,14－x成等比數(shù)列．
由(x－2)2＝2×(14－x)，
解得x＝6或x＝－4(舍去)．
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．
又∵S3n＝14，∴S4n＝14＋2×23＝30.]
三、解答題
9．(2019·全國卷Ⅱ)已知{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1＝2，a3＝2a2＋16.
(1)求{an}的通項公式；
(2)設bn＝log2an，求數(shù)列{bn}的前n項和．
6、
[解] (1)設{an}的公比為q，由題設得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0.
解得q＝－2(舍去)或q＝4.
因此{an}的通項公式為an＝2×4n－1＝22n－1.
(2)由(1)得bn＝(2n－1)log22＝2n－1，因此數(shù)列{bn}的前n項和為1＋3＋…＋2n－1＝n2.
10．(2018·全國卷Ⅰ)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.設bn＝.
(1)求b1，b2，b3；
(2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明理由；
(3)求{an}的通項公式．
[解] (1)由條件可得an＋1＝an.
將n＝1代入得，a2＝4a1，而a
7、1＝1，所以a2＝4.
將n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.
從而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
(2){bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．
由條件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．
(3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.
1．已知{an}為等比數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝
an＋1，則數(shù)列{bn}的前n項和為( )
A．3n＋1 B．3n－1
C. D.
C [∵b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋1，
∴a1(b2－b1)＝a2
8、，即a2＝3a1，
又數(shù)列{an}為等比數(shù)列，
∴數(shù)列{an}的公比為q＝3，
∴bn＋1－bn＝＝3，
∴數(shù)列{bn}是首項為2，公差為3的等差數(shù)列，
∴數(shù)列{bn}的前n項和為Sn＝2n＋×3＝.故選C.]
2．設{an}是公比為q的等比數(shù)列，|q|＞1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若數(shù)列{bn}有連續(xù)四項在集合{－53，－23,19,37,82}中，則q等于( )
A．－ B.
C．－ D.
C [{bn}有連續(xù)四項在{－53，－23,19,37,82}中且bn＝an＋1，即an＝bn－1，則{an}有連續(xù)四項在{－54，－24,18,36,81}中．∵{an
9、}是等比數(shù)列，等比數(shù)列中有負數(shù)項，∴q＜0，且負數(shù)項為相隔兩項，又∵|q|＞1，∴等比數(shù)列各項的絕對值遞增．按絕對值由小到大的順序排列上述數(shù)值18，－24,36，－54,81，相鄰兩項相除＝－，＝－，－＝－，＝－，則可得－24,36，－54,81是{an}中連續(xù)的四項．∴q＝－.]
3．(2016·全國卷Ⅰ)設等比數(shù)列{an}滿足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，則a1a2…an的最大值為________．
64 [設等比數(shù)列{an}的公比為q，則由a1＋a3＝10，a2＋a4＝q(a1＋a3)＝5，知q＝.又a1＋a1q2＝10，∴a1＝8.
故a1a2…an＝aq1＋2＋…＋(n－1
10、)＝23n·
記t＝－＋＝－(n2－7n)，
結合n∈N*可知n＝3或4時，t有最大值6.
又y＝2t為增函數(shù)，從而a1a2…an的最大值為26＝64.]
4．已知數(shù)列{an}滿足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．
(1)求證：{an＋1＋2an}是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項公式．
[解] (1)證明：∵an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，
∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2)．
∵a1＝5，a2＝5，
∴a2＋2a1＝15，
∴an＋2an－1≠0(n≥2)，
∴＝3(n≥2)，
∴數(shù)列{
11、an＋1＋2an}是以15為首項，3為公比的等比數(shù)列．
(2)由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，
則an＋1＝－2an＋5×3n，
∴an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)．
又∵a1－3＝2，
∴an－3n≠0，
∴{an－3n}是以2為首項，
－2為公比的等比數(shù)列．
∴an－3n＝2×(－2)n－1，
即an＝2×(－2)n－1＋3n.
1.如圖所示，正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再連接正方形，…，如此繼續(xù)下去得到一個樹形圖形，稱為“勾股樹”．若某勾股樹含有1 023個正方形，且其最大的正方形的邊長為，則其最小正方形的邊長為__
12、______．
[由題意，得正方形的邊長構成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，現(xiàn)已知共得到1 023個正方形，則有1＋2＋…＋2n－1＝1 023，∴n＝10，∴最小正方形的邊長為×9＝.]
2．在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入此兩項的積，形成新的數(shù)列，這樣的操作叫做該數(shù)列的一次“擴展”．將數(shù)列1,2進行“擴展”，第一次得到數(shù)列1,2,2；第二次得到數(shù)列1,2,2,4,2；….設第n次“擴展”后得到的數(shù)列為1，x1，x2，…，xt,2，并記an＝log2(1·x1·x2·…·xt·2)，其中t＝2n－1，n∈N＋，求數(shù)列{an}的通項公式．
[解] an＝log2(1·x1·x2·…·xt·2)，
所以an＋1＝log2[1·(1·x1)·x1·(x1·x2)·…·xt·(xt·2)·2]
＝log2(12·x·x·x·…·x·22)＝3an－1，
所以an＋1－＝3，
所以數(shù)列是一個以為首項，以3為公比的等比數(shù)列，
所以an－＝×3n－1，所以an＝.
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