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1、第 7 頁(yè) 共 7 頁(yè)二級(jí)倒立擺的建模與MATLAB仿真 二級(jí)倒立擺的建模與MATLAB仿真 摘要：本文根據(jù)牛頓力學(xué)原理，使用機(jī)理建模法對(duì)二級(jí)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行了建模與仿真研究。利用最優(yōu)化控制理論，研究了線性二次型最優(yōu)控制器對(duì)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行了有效控制。基于MATLAB程序的設(shè)計(jì)、仿真的運(yùn)行，結(jié)果表明，二級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)建模法是切實(shí)可行的，而且十分可靠，同時(shí)利用LQR控制器實(shí)現(xiàn)了對(duì)系統(tǒng)的控制，可以達(dá)到系統(tǒng)所需要的穩(wěn)定性，魯棒性。 關(guān)鍵詞：二次型最優(yōu)控制；二級(jí)倒立擺；MATLAB1 引言 倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)常用的、簡(jiǎn)單的、典型的可進(jìn)行控制理論研究的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，很多難以用常規(guī)實(shí)驗(yàn)研究的控制理論問(wèn)題，都可以通過(guò)
2、倒立擺系統(tǒng)來(lái)進(jìn)行研究從而使這些抽象的控制理論問(wèn)題，通過(guò)該系統(tǒng)可以直觀的鮮明的顯示出來(lái)。所以倒立擺系統(tǒng)一直是控制領(lǐng)域的熱點(diǎn)，并且在這些年來(lái)在不斷的發(fā)展進(jìn)步對(duì)控制理論的研究起到了重要作用。 倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)典型的不穩(wěn)定系統(tǒng)，具有多變量、強(qiáng)耦合、非線性等特點(diǎn)。同時(shí)也是仿人類(lèi)行走機(jī)器人和火箭發(fā)射飛行的過(guò)程調(diào)整和直升機(jī)飛行等實(shí)際運(yùn)用控制對(duì)象的最簡(jiǎn)模型。本文建立在牛頓力學(xué)定律的基礎(chǔ)上，研究對(duì)象設(shè)置為二級(jí)倒立擺，對(duì)其進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，再使用二次型最優(yōu)控制器（linear quadratic regulator，LQR）可以得到一個(gè)最優(yōu)狀態(tài)反饋的矩陣K，然后在通過(guò)對(duì)Q和R兩個(gè)加權(quán)矩陣的嚴(yán)謹(jǐn)選取從而實(shí)現(xiàn)對(duì)二級(jí)倒立擺
3、系統(tǒng)良好的自動(dòng)控制。2 二級(jí)倒立擺模型建立 一個(gè)典型的二級(jí)倒立擺系統(tǒng)主要由機(jī)械部分和電氣裝置兩部分組成。機(jī)械裝置的結(jié)構(gòu)主要由小車(chē)、擺桿1、擺桿2及連接軸等組成，電氣裝置的主要結(jié)構(gòu)是功率放大器、電動(dòng)機(jī)、驅(qū)動(dòng)電路、保護(hù)電路等。其系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖1所示。 實(shí)驗(yàn)假設(shè)如下：(1) 小車(chē)、擺桿1、擺桿2的材料性質(zhì)都是剛體的。(2) 小車(chē)的驅(qū)動(dòng)力和放大器的輸出直接的，無(wú)滯后的作用于小車(chē)上。(3) 忽略實(shí)驗(yàn)中過(guò)程中出現(xiàn)的不可避免的各種摩擦力如庫(kù)倫摩擦力等。圖1 二級(jí)倒立擺控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)二級(jí)倒立擺的參數(shù)設(shè)定如表1。表1 二級(jí)倒立擺的參數(shù)設(shè)定M 小車(chē)質(zhì)量1.328 kg 擺桿2中心到桿心距離0.222 m 擺桿1質(zhì)
4、量0.21 kgF 作用在系統(tǒng)上的外力22.916 擺桿2質(zhì)量0.186 kgg 重力加速度9.8 m/s2 質(zhì)量塊質(zhì)量0.206 kg 擺桿1中心到桿心距離0.312 m通過(guò)拉格朗日定律的利用，建立相應(yīng)的系統(tǒng)模型： 可設(shè)小車(chē)的總動(dòng)能為，擺桿1的動(dòng)能為 ，擺桿二的動(dòng)能為 ，質(zhì)量塊的動(dòng)能為 ，可得出系統(tǒng)的總動(dòng)能為： (1) 由（1）可得系統(tǒng)的總動(dòng)能為： +2+ (2)系統(tǒng)的勢(shì)能為： = (3) 由（2）可得系統(tǒng)的勢(shì)能為： (4)拉格朗日算子： (5)因?yàn)樵趶V義坐標(biāo)上可忽略外力的作用，那么即可建立以下的模型方程： , (6)因?yàn)?(7) (8) (9) (10) 根據(jù)泰勒公式，在平衡處展開(kāi)，并利用
5、線性化對(duì)方程進(jìn)行計(jì)算可得到以下方程組： (11) 將公式（6）代入（11）可得： (12)將公式（7）(8) (9) (10)代入（12）可解出： (13)設(shè)變量，加速度為，代入,可得輸出方程：=+ (14) + (15) 3 LQR算法 我們運(yùn)用線性二次型最優(yōu)控制器(linear quadratic regulator-LQR)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制。LQR是能以控制和狀態(tài)變量為指標(biāo)的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)控制方法,在現(xiàn)代控制理論中有非常重要的意義。 （1）若給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,。 (16) （2）用表示系統(tǒng)的期望輸出。 （3）定義為系統(tǒng)的向量誤差。則指標(biāo)函數(shù)為： (17)在倒立擺系統(tǒng)中,，所以，而且倒立擺
6、的控制是趨向于無(wú)窮大時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)問(wèn)題，所以指標(biāo)函數(shù)為： (18) 其中是系統(tǒng)的反饋控制，其中是系統(tǒng)方程的唯一正定解。 因?yàn)樵诙?jí)倒立擺的系統(tǒng)中，小車(chē)的主要被控量是小車(chē)的位移和它上下擺的角度，是狀態(tài)變量的影響力，是對(duì)的加權(quán)在試驗(yàn)中我們可選取,運(yùn)用MATLAB結(jié)果分析可證明二級(jí)單擺系統(tǒng)是能控，能觀的，將表一帶入公式（13）可得出系統(tǒng)的狀態(tài)反饋矩陣為：（31.6228 136.1926 193.4166 44.8083 -127.8892 -17.8342）4 仿真分析根據(jù)上述分析的二級(jí)倒立擺控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型和LQR算法，運(yùn)用MATLAB仿真軟件，該系統(tǒng)的控制仿真程序如下： K =31.6228 1
7、36.1926 193.4166 44.8083 -127.8892 -17.8342; A=0 1 0 0 0 0; 0 -16.6601 -1.2973 0 0.0857 0; 0 0 0 1 0 0; 0 39.0555 18.0514 0 -7.8603 0; 0 0 0 0 0 1; 0 -68.5120 -14.4458 0 25.9635 0; B=0; 0.7270; 0; -1.7044; 0; 0.2069; C=1 0 0 0 0 0; 0 1 0 0 0 0; 0 0 1 0 0 0; 0 0 0 1 0 0; 0 0 0 0 1 0; 0 0 0 0 0 1; D=0
8、; 0; 0; 0; 0; 0; p=eig(A); num,den=ss2tf(A,B,C,D,1); printsys(num,den) Q=1000 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0; 0 0 10 0 0 0; 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 10 0; 0 0 0 0 0 0; Tc=ctrb(A,B); rank(Tc) To=obsv(A,C); rank(To) R=1; K=lqr(A,B,Q,R); Ac=(A-B*K); Bc=B; Cc=C; Dc=D; T=0:0.005:20; U=0.2*ones(size(T); Y,X=lsim(Ac,B
9、c,Cc,Dc,U,T); plot(T,Y(:,1),:,T,Y(:,2),-,T,Y(:,3),-) legend(小車(chē)位移 , 下擺角 ,上擺角) Grid通過(guò)MATLAB的仿真，我們可以得到小車(chē)位移與上下擺角之間的關(guān)系圖如圖2所示。 圖2 小車(chē)位移及上下擺角 通過(guò)圖2可以看出小車(chē)在受到一個(gè)恒定的外力作用時(shí)小車(chē)的位移變化是一個(gè)階躍的變化然后趨于穩(wěn)定。上下擺的運(yùn)動(dòng)是一種是上擺桿整體相對(duì)位移是比較較小的，小車(chē)在運(yùn)動(dòng)時(shí)帶動(dòng)下擺桿的運(yùn)動(dòng)，下擺桿的整體的擺動(dòng)幅度較大的，于是可以看出在上下兩個(gè)擺桿之間連接點(diǎn)處下擺桿有明顯的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，然后上下擺桿基本一致趨于穩(wěn)定。 我們可以發(fā)現(xiàn)用數(shù)學(xué)模型的建立可以得到
10、一個(gè)良好的控制數(shù)值，在進(jìn)行MATLAB分析選取對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制，系統(tǒng)可以很好的穩(wěn)定，在給倒立擺干擾后大概在六秒鐘的時(shí)候系統(tǒng)趨于穩(wěn)定恢復(fù)到平衡點(diǎn)的位置，由圖像可以明顯的看到在給定輸入后系統(tǒng)劇烈的變化上擺角和下擺角成階躍式變化在一秒的時(shí)候達(dá)到最大值然后快速衰減在四秒的時(shí)候基本趨于穩(wěn)定，在六秒的時(shí)候系統(tǒng)到達(dá)平衡點(diǎn)位置，說(shuō)明用數(shù)學(xué)模型和LQR算法還是可以很好的控制系統(tǒng)的。5 結(jié)論 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:本文從二級(jí)倒立擺的實(shí)際運(yùn)用出發(fā)對(duì)系統(tǒng)的組成結(jié)構(gòu)，工作原理進(jìn)行分析，希望用機(jī)理建模法在牛頓力學(xué)的基礎(chǔ)之上運(yùn)用最優(yōu)控制理論對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行良好的控制，經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)模型的建立運(yùn)算在利用LQR算法，使用MATLAB軟件對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿
11、真和運(yùn)算，找到最優(yōu)的系統(tǒng)控制，使得系統(tǒng)在給一個(gè)階躍輸入后系統(tǒng)可以很快的穩(wěn)定下來(lái)，結(jié)果證明此次的實(shí)驗(yàn)是成功的完成了系統(tǒng)的控制性能好，穩(wěn)定性高，具有較強(qiáng)的魯棒性的要求。可見(jiàn)運(yùn)用線性二次型最優(yōu)控制器對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制有很好的效果，證明二級(jí)倒立擺系統(tǒng)可以對(duì)非線性的，抽象的問(wèn)題在此實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上進(jìn)行研究對(duì)未來(lái)的實(shí)驗(yàn)打下良好基礎(chǔ)。參考文獻(xiàn)1 王海英，袁立英，吳勃，控制系統(tǒng)的MATLAB仿真與設(shè)計(jì)M，北京：高等教育出版社，2009。2 李 俊，倒立擺系統(tǒng)的線性二次型狀態(tài)反饋控制J，自動(dòng)測(cè)量與控制，2007，26（3）: 56-58。3 黃忠霖,周向明，控制系統(tǒng)MATLAB 計(jì)算及仿真實(shí)訓(xùn)M，北京：國(guó)防工業(yè)出版社 ,
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二級(jí)倒立擺的建模與MATLAB仿真-畢業(yè)論文
