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1、第第1 1講講 坐標系與參數(shù)方程坐標系與參數(shù)方程考情分析考情分析總綱目錄考點一 極坐標方程及其應(yīng)用考點二 參數(shù)方程及其應(yīng)用考點三 極坐標方程與參數(shù)方程的綜合問題考點一 極坐標方程及其應(yīng)用1.圓的極坐標方程若圓心為M(0,0),半徑為r,則圓的方程為:2-20cos(-0)+-r2=0.幾個特殊位置的圓的極坐標方程:(1)當圓心位于極點,半徑為r時:=r;(2)當圓心位于M(a,0),半徑為a時:=2acos;(3)當圓心位于M,半徑為a時:=2asin.20,2a2.直線的極坐標方程若直線過點M(0,0),且與極軸所成的角為,則它的極坐標方程為sin(-)=0sin(0-).幾個特殊位置的直線
2、的極坐標方程:(1)直線過極點的極坐標方程為=0和=+0;(2)直線過點M(a,0)且垂直于極軸的極坐標方程為cos=a;(3)直線過點M且平行于極軸的極坐標方程為sin=b.,2b3.極坐標與直角坐標的互化方法 點M直角坐標(x,y)極坐標(,)互化公式x,ycossin222xy,y(0)xtanx典型例題典型例題(2017課標全國,22,10分)選修44:坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C1的極坐標方程為cos=4.(1)M為曲線C1上的動點,點P在線段OM上,且滿足|OM|OP|=16,求點P的軌跡C2的直角坐標方程;(2)設(shè)點
3、A的極坐標為,點B在曲線C2上,求OAB面積的最大值.解析解析(1)設(shè)P的極坐標為(,)(0),M的極坐標為(1,)(10).由題設(shè)知|OP|=,|OM|=1=.由|OM|OP|=16得C2的極坐標方程為=4cos(0).2,34cos因此C2的直角坐標方程為(x-2)2+y2=4(x0).(2)設(shè)點B的極坐標為(B,)(B0).由題設(shè)知|OA|=2,B=4cos,于是OAB的面積S=|OA|BsinAOB=4cos=22+.當=-時,S取得最大值2+.所以O(shè)AB面積的最大值為2+.12sin33sin 23231233方法歸納方法歸納(1)求曲線的極坐標方程的一般思路求曲線的極坐標方程問題通
4、?？衫没セ睫D(zhuǎn)化為直角坐標系中的問題求解,然后再次利用互化公式即可轉(zhuǎn)化為極坐標方程,熟練掌握互化公式是解決問題的關(guān)鍵.(2)解決極坐標問題的一般思路一是將極坐標方程化為直角坐標方程,求出交點的直角坐標,再將其化為極坐標;二是將曲線的極坐標方程聯(lián)立,根據(jù)限制條件求出極坐標.跟蹤集訓跟蹤集訓1.在極坐標系中,已知圓O:=cos+sin 和直線l:sin=(0,02).(1)求圓O和直線l的直角坐標方程;(2)當(0,)時,求直線l與圓O的公共點的極坐標.422解析解析(1)圓O:=cos+sin,即2=cos+sin,故圓O的直角坐標方程為x2+y2-x-y=0.直線l:sin=,即sin-c
5、os=1,即直線l的直角坐標方程為x-y+1=0.(2)由(1)知圓O與直線l的直角坐標方程,將兩方程聯(lián)立得解得即圓O與直線l在直角坐標系下的公共點為(0,1),將(0,1)轉(zhuǎn)化為極坐標為,即為所求.422220,10,xyxyxy 0,1,xy1,22.(2017安徽合肥第二次質(zhì)量檢測)在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,圓C的極坐標方程為=4cos.(1)求出圓C的直角坐標方程;(2)已知圓C與x軸相交于A,B兩點,直線l:y=2x關(guān)于點M(0,m)(m0)對稱的直線為l.若直線l上存在點P使得APB=90,求實數(shù)m的最大值.解析解析(1)由=4cos
6、 得2=4cos,即x2+y2-4x=0,故圓C的直角坐標方程為x2+y2-4x=0.(2)l:y=2x關(guān)于點M(0,m)對稱的直線l的方程為y=2x+2m,而AB為圓C的直徑,故直線l上存在點P使得APB=90的充要條件是直線l與圓C有公共點,故2,解得-2-m-2,又m0,所以-2-m0或0b0)的參數(shù)方程為(為參數(shù));雙曲線-=1(a0,b0)的參數(shù)方程為(為參數(shù));拋物線y2=2px(p0)的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).22xa22ybcos,sinxayb22xa22yb,costanaxyb22,2xptypt 典型例題典型例題(2017課標全國,22,10分)選修44:坐標系與參數(shù)方
7、程在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).(1)若a=-1,求C與l的交點坐標;(2)若C上的點到l距離的最大值為,求a.解析解析(1)曲線C的普通方程為+y2=1.當a=-1時,直線l的普通方程為x+4y-3=0.由3cos,sinxy4,1xatyt 1729x22430,19xyxy解得或從而C與l的交點坐標為(3,0),.(2)直線l的普通方程為x+4y-a-4=0,故C上的點(3cos,sin)到l的距離為d=.當a-4時,d的最大值為,由題設(shè)得=,所以a=8;當a-4時,d的最大值為,3,0 xy21,2524.25xy 21 24,25
8、 25|3cos4sin4|17a917a917a17117a 由題設(shè)得=,所以a=-16.綜上,a=8或a=-16.117a 17參數(shù)方程與普通方程的互化及參數(shù)方程的應(yīng)用(1)將參數(shù)方程化為普通方程的過程就是消去參數(shù)的過程,常用的消參方法有代入消參、加減消參、三角恒等式消參等,往往需要對參數(shù)方程進行變形,為消去參數(shù)創(chuàng)造條件.(2)在與直線、圓、橢圓有關(guān)的題目中,參數(shù)方程的使用會使問題的解決事半功倍,尤其是求取值范圍和最值問題,可將參數(shù)方程代入相關(guān)曲線的普通方程中,根據(jù)參數(shù)的取值條件求解.方法歸納方法歸納跟蹤集訓跟蹤集訓1.(2017云南昆明模擬)在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(
9、t為參數(shù)).以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C1的極坐標方程為=.(1)寫出直線l的普通方程和曲線C1的參數(shù)方程;(2)若將曲線C1上各點的橫坐標縮短為原來的,縱坐標縮短為原來的,得到曲線C2,設(shè)點P是曲線C2上任意一點,求點P到直線l的距離的最小值.12,232xtyt 66622解析解析(1)直線l的普通方程為x-y+2=0,曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(2)由題意知,曲線C2的參數(shù)方程為(為參數(shù)).可設(shè)點P(cos,sin),則點P到直線l的距離d=,所以dmin=,即點P到直線l距離的最小值為.336cos,6sinxycos,3sinxy3|3cos3sin
10、2 3|3 132sin2422 3622 3622.(2017河南鄭州質(zhì)量預測(二)已知曲線C1的極坐標方程是=1,在以極點為坐標原點,極軸為x軸的正半軸的平面直角坐標系中,將曲線C1所有點的橫坐標伸長為原來的3倍(縱坐標不變),得到曲線C2.(1)求曲線C2的參數(shù)方程;(2)直線l過點M(1,0),傾斜角為,與曲線C2交于A,B兩點,求|MA|MB|的值.4解析解析(1)曲線C1的直角坐標方程為x2+y2=1,則曲線C2的直角坐標方程為+y2=1.曲線C2的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(2)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),代入曲線C2的直角坐標方程+y2=1,化簡得5t2+t-8=0,設(shè)A,B對
11、應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2.依直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義知|MA|MB|=|t1|t2|=|t1t2|,|MA|MB|=|t1t2|=.29x3cos,sinxy21cos1,4220sin42xttytt 29x285考點三 極坐標方程與參數(shù)方程的綜合問題典型例題典型例題(2017課標全國,22,10分)在直角坐標系xOy中,直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線l2的參數(shù)方程為(m為參數(shù)).設(shè)l1與l2的交點為P,當k變化時,P的軌跡為曲線C.(1)寫出C的普通方程;(2)以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,設(shè)l3:(cos+sin)-=0,M為l3與C的交點,求M的極徑.解
12、析解析(1)消去參數(shù)t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去參數(shù)m得l2的普通方程l2:y=(x+2).2,xtykt2,xmmyk 21k設(shè)P(x,y),由題設(shè)得消去k得x2-y2=4(y0).所以C的普通方程為x2-y2=4(y0).(2)C的極坐標方程為2(cos2-sin2)=4(02,).聯(lián)立得cos-sin=2(cos+sin).故tan=-,從而cos2=,sin2=,代入2(cos2-sin2)=4得2=5,(2),1(2).yk xyxk222(cossin)4,(cossin)2013910110所以交點M的極徑為.5解決極坐標、參數(shù)方程的綜合問題應(yīng)關(guān)注三點(1)在對
13、于參數(shù)方程或極坐標方程應(yīng)用不夠熟練的情況下,可以先化成普通方程或直角坐標方程,這樣思路可能更加清晰.(2)對于一些運算比較復雜的問題,用參數(shù)方程計算會比較簡捷.(3)利用極坐標方程解決問題時,要注意題目所給的限制條件及隱含條件.方法歸納方法歸納跟蹤集訓跟蹤集訓1.(2017湖北四校聯(lián)考)在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為cos=.(1)求曲線C的普通方程與直線l的直角坐標方程;(2)設(shè)M為曲線C上的動點,求點M到直線l的距離的最大值.5cos1,5sin2xy43 22解析解析(1)曲線C的普通方程為(x+
14、1)2+(y-2)2=5.因為cos=,所以(cos-sin)=,所以直線l的直角坐標方程為x-y-3=0.(2)設(shè)M(cos-1,sin+2),則點M到直線l的距離d=,所以dmax=3+.43 22223 2255|5cos5sin6|210cos642252.(2017福建福州五校聯(lián)考)在直角坐標系xOy中,直線l:.在以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C:2=(02),若直線l與y軸正半軸交于點M,與曲線C交于A、B兩點,其中點A在第一象限.(1)寫出曲線C的直角坐標方程及點M對應(yīng)的參數(shù)tM(用表示);(2)設(shè)曲線C的左焦點為F1,若|F1B|=|AM|,求直線l的傾
15、斜角的值.2cos,sinxtyt,02t為參數(shù)2312sin 解析解析(1)由2=得2+22sin2=3,+y2=1,即曲線C的直角坐標方程為+y2=1.又由題意可知點M的橫坐標為0,代入x=-+tcos,得tcos=,tM=.(2)由(1)知,F1的坐標為(-,0),則直線l過點F1.將代入+y2=1,化簡可得(1+2sin2)t2-2cos t-1=0,設(shè)A,B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,|t1+t2|=|tM|,即=,2312sin cos,sin,xy23x23x222cos22cos,sinxtyt 23x222 2cos12sin2cos得sin=,又0,=.12261.(201
16、7安徽合肥模擬)已知曲線C的極坐標方程是=4cos.以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系,直線l的參數(shù)方程是(t是參數(shù)).(1)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程;(2)若直線l與曲線C相交于A、B兩點,且|AB|=,求直線l的傾斜角的值.1cos,sinxtyt 14隨堂檢測隨堂檢測解析解析(1)由=4cos 得其直角坐標方程為(x-2)2+y2=4.(2)將代入圓C的直角坐標方程得(tcos-1)2+(tsin)2=4,化簡得t2-2tcos-3=0.設(shè)A、B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2,則|AB|=|t1-t2|=,4cos2=2,故cos=,即=或.1
17、cos,sinxtyt 121 22cos,3,ttt t 2121 2()4ttt t24cos12 14224342.(2017河北石家莊質(zhì)量檢測(一)在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為2cos2+22sin2=12,且直線l與曲線C交于P,Q兩點.(1)求曲線C的直角坐標方程及直線l恒過的定點A的坐標;(2)在(1)的條件下,若|AP|AQ|=6,求直線l的普通方程.2cos,sinxtyt解析解析(1)x=cos,y=sin,C:x2+2y2=12.直線l恒過的定點為A(2,0).(2)把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程中得:(sin2+1)t2+4cos t-8=0.設(shè)P,Q對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,由t的幾何意義知|AP|=|t1|,|AQ|=|t2|,點A在橢圓內(nèi),這個方程必有兩個實根,t1t2=-,|AP|AQ|=|t1t2|=6,即=6,sin2=,(0,),28sin1 281 sin 13sin=,cos=,直線l的斜率k=,因此,直線l的方程為y=(x-2)或y=-(x-2).3363222222
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